平面及其方程

高等数学 · 向量代数与空间解析几何

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 点法式：一个点加一个法向量就定了一张平面

过点

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

、以

n = (A, B, C)

为法向量的平面：

A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0.

展开就是一般式

A x + B y + C z + D = 0,

其中

D = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})

。

最要紧的一句：一般式里

x, y, z

的系数就是法向量。
看到

2 x - y + 3 z - 5 = 0

，立刻读出

n = (2, - 1, 3)

。

为什么点法式成立：平面上任一点

M

都使

M_{0} M ⊥ n

，
写成数量积为零就是上式。

2. 法向量从哪儿来：三种常见给法

做题的全部功夫在于把题给的条件翻译成法向量。

① 给三点：取两条从同一点出发的边，叉乘：

n = A B \times A C .

② 给「平行于某平面」：照抄那张平面的法向量。

③ 给「垂直于某直线」：直线的方向向量就是法向量。

还有两种组合情形：

④ 平面过某直线：直线的方向向量

s

与法向量垂直，即

n \cdot s = 0

；

⑤ 平面垂直于另两张平面：

n = n_{1} \times n_{2}

。

一句话：要垂直就叉乘，要平行就照抄。

3. 两平面的关系：全看法向量

设两平面的法向量为

n_{1}

、

n_{2}

。

平行：

n_{1} ∥ n_{2}

，即系数成比例；
若连常数项也成同一比例，两平面重合。

垂直：

n_{1} \cdot n_{2} = 0

。

夹角（取锐角）：

cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣} .

那个绝对值不能漏：法向量的方向可正可反，
不取绝对值会算出钝角，而两平面的夹角按约定取锐角。

4. 点到平面的距离

点

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

到平面

A x + B y + C z + D = 0

的距离

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} .

分子是把点代进方程左边取绝对值，分母是法向量的模。

由它可以直接读出两个常用结论：

① 两平行平面间的距离：在其中一张上任取一点，代另一张的公式；

② 对称点：从

M_{0}

沿法向走

2 d

就到对称点
（方向由代入后的符号决定）。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求平面方程

第一步：从条件里定出法向量（叉乘、照抄或读系数）。

第二步：找平面上的一个已知点。

第三步：代点法式

A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0

。

第四步：展开成一般式，并把另一个已知点代回验算。

例例. 求过三点

A (1, 0, 0)

、

B (0, 1, 0)

、

C (0, 0, 1)

的平面方程。

第一步，定法向量。

A B = (- 1, 1, 0)

、

A C = (- 1, 0, 1)

，

n = A B \times A C = (1, 1, 1) .

第二步，平面上取已知点

A (1, 0, 0)

（取

B

或

C

结果一样）。

第三步，点法式：

1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - 0) = 0

。

第四步，展开成一般式

x + y + z - 1 = 0

，再把另一个已知点代回验算：

C (0, 0, 1)

代入得

0 + 0 + 1 - 1 = 0

✓

验算不能省：叉乘算错一个分量，前三步照样写得出一个像模像样的「平面方程」，只有代点才看得出来。

判两平面的关系

第一步：从一般式读出两个法向量。

第二步：系数成比例

\Rightarrow

平行；连常数项也成比例

\Rightarrow

重合。

第三步：点积为零

\Rightarrow

垂直。

第四步：求夹角用

cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}

，带绝对值。

例例. 判断

π_{1} : x - 2 y + z = 1

与

π_{2} : 2 x - 4 y + 2 z = 5

的关系。

第一步，读法向量：

n_{1} = (1, - 2, 1)

、

n_{2} = (2, - 4, 2)

。

第二步，

n_{2} = 2 n_{1}

，系数成比例

\Rightarrow

平行。再看常数项：按同一个比例，

π_{1}

该写成

2 x - 4 y + 2 z = 2

，而

π_{2}

右边是

5

\Rightarrow

不重合。所以是两张平行但不重合的平面。

第三步，顺带验一下不垂直：

n_{1} \cdot n_{2} = 2 + 8 + 2 = 12 \neq = 0

✓

第四步，换一对算夹角。

π_{3} : x + y = 0

与

π_{1}

：

cos θ = \frac{∣ ( 1 , - 2 , 1 ) \cdot ( 1 , 1 , 0 ) ∣}{6 \cdot 2} = \frac{∣ - 1∣}{2 3} = \frac{1}{2 3} .

分子那个绝对值不能丢：丢了会算出一个钝角，而两平面的夹角按约定取锐角。

算距离

第一步：把平面整理成

A x + B y + C z + D = 0

（右边必须是

0

）。

第二步：把点的坐标代入左边，取绝对值作分子。

第三步：分母取

A^{2} + B^{2} + C^{2}

。

第四步：两平行平面的距离就在其一上取点，再代另一张的公式。

例例. 求点

P (1, 2, - 1)

到平面

2 x - y + 2 z + 3 = 0

的距离。

第一步，平面已经是右边为

0

的形式 ✓（若给的是

2 x - y + 2 z = - 3

，先移项再用公式，否则常数项的符号会错）。

第二步，把点代入左边取绝对值作分子：

∣ 2 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot (- 1) + 3 ∣ = ∣2 - 2 - 2 + 3∣ = 1.

第三步，分母

2^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2} = 3

，所以

d = \frac{1}{3}

。

第四步（两平行平面），求

2 x - y + 2 z + 3 = 0

与

2 x - y + 2 z - 6 = 0

的距离：在前一张上随便取一点，令

y = z = 0

得

(- \frac{3}{2}, 0, 0)

，代后一张的公式：

d = \frac{2 \cdot ( - \frac{3}{2} ) - 0 + 0 - 6}{3} = \frac{9}{3} = 3.

取点时哪一张都行，但公式要用另一张的——用回自己那张算出来的是

0

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把一般式的系数当成平面上的点

A x + B y + C z + D = 0

里的

(A, B, C)

是法向量，不是平面上的点。

点要另外给或另外求。

读方程的第一件事就是把法向量读出来。

求夹角漏了绝对值

法向量方向可正可反，不加绝对值会算出钝角。

两平面的夹角按约定取锐角。

自检：算出的

cos θ

必须非负。

距离公式里平面没移项

公式要求右边为

0

。

x + y + z = 6

必须写成

x + y + z - 6 = 0

。

不移项，分子就少了那个

D

。

写公式前先把方程整理成一般式。

三点取边时起点不统一

求法向量要用

A B

与

A C

，都从

A

出发。

混用

A B

与

B C

虽然也能得到平行的法向量，
但容易在符号与坐标上出错。

算出 $n = 0$ 时先查三点是否共线。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 读方程

练 1

平面

2 x - y + 3 z - 5 = 0

的一个法向量是 ________。

练 2

点法式方程的依据是（）。

A $M_{0} M \cdot n = 0$
B $M_{0} M \times n = 0$
C $∣ M_{0} M ∣ = ∣ n ∣$
D $M_{0} M ∥ n$

练 3

与平面

2 x - y + z = 0

平行的平面，其法向量可取 ________。

练 4

两平面垂直的判据是（）。

A $n_{1} \times n_{2} = 0$
B $n_{1} \cdot n_{2} = 0$
C系数成比例
D常数项相等

第二组 · 会求

练 5

过

A (1, 0, 0)

、

B (0, 1, 0)

、

C (0, 0, 1)

的平面方程为

x + y + z =

________。

练 6

点

(1, 1, 1)

到平面

x + y + z = 0

的距离为 ________。

练 7

平面

x + y = 0

与

x + z = 0

的夹角为 ________。

练 8

求过点且垂直于另两张平面的平面，其法向量应取（）。

A $n_{1} + n_{2}$
B $n_{1} \cdot n_{2}$
C $n_{1}$
D $n_{1} \times n_{2}$

第三组 · 想清楚

练 9

求过三点的平面时算出

n = 0

，说明（）。

A三点共线，定不出平面
B平面过原点
C三点重合
D计算一定出错了

练 10

两平行平面

x + y + z = 0

与

x + y + z = 3

之间的距离为 ________。

练 11

平面过直线

L

，则

L

的方向向量

s

与平面法向量

n

满足（）。

A $s ∥ n$
B $s = n$
C $s \times n = 0$
D $s \cdot n = 0$

练 12

平面

2 x - y + 2 z + 1 = 0

的法向量模为 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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