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定积分的经济应用（由边际求总量、剩余）

高等数学 · 一元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 由边际求总量：积分是边际的逆运算

微分学那一章讲过：边际就是导数。反过来，由边际求总量就是积分。

C (Q) = C (0) + \int_{0}^{Q} C^{'} (q) d q,

其中

C (0)

是固定成本（产量为零时仍要付的那部分）。

那个 $C (0)$ 不能漏——它正是不定积分里那个

+ C

，在经济问题里有确切的含义，而且题目一定会给（或者由其他条件定出）。

收益与利润同理：

R (Q) L (Q) = \int_{0}^{Q} R^{'} (q) d q, = R (Q) - C (Q) .

收益没有常数项：

R (0) = 0

（不卖就没有收入），这是它与成本的区别。

产量从 $a$ 增加到 $b$ 时总量的改变，就是定积分：

C (b) - C (a) = \int_{a}^{b} C^{'} (q) d q .

这正是牛顿–莱布尼茨公式在经济里的说法。

2. 消费者剩余与生产者剩余

设市场的需求曲线为

P = D (Q)

（愿意出的价随数量下降），供给曲线为

P = S (Q)

（愿意供的价随数量上升），二者交于均衡点

(Q_{0}, P_{0})

。

消费者剩余：消费者愿意付的总额减去实际付的总额，

C S = \int_{0}^{Q_{0}} D (Q) d Q - P_{0} Q_{0} .

生产者剩余：实际收到的总额减去最低愿意收的总额，

P S = P_{0} Q_{0} - \int_{0}^{Q_{0}} S (Q) d Q .

几何上：两者分别是需求曲线与水平线

P = P_{0}

之间、水平线与供给曲线之间的那块面积。

两个公式的减法方向相反，这是唯一要记的事. 用一句话记住它：剩余总是正的——消费者占的便宜是「愿付减实付」，生产者占的便宜是「实收减愿收」。方向写反就得负数，一看就知道错了。

均衡点要先解出来：令

D (Q) = S (Q)

求

Q_{0}

，再代回任一式得

P_{0}

。

3. 资本现值与收益流

一笔将来的钱，现在值多少？按连续复利，年利率

r

、

t

年后的

A

元，现在值

A e^{- r t}

元。这叫现值（贴现）。

若收益不是一次到账，而是连续地按速率

f (t)

（元/年）流入，那么

[t, t + d t]

这一小段流入

f (t) d t

，贴现到现在是

f (t) e^{- r t} d t

。积起来：

P = \int_{0}^{T} f (t) e^{- r t} d t .

这就是

T

年内收益流的总现值。

$f (t)$ 是常数 $A$ 时（等额收益流）可以直接算出来：

P = A \int_{0}^{T} e^{- r t} d t = \frac{A}{r} (1 - e^{- r T}) .

$T \to + \infty$ （永续收益流）时这是个反常积分，收敛于

\frac{A}{r}

——上一节的内容在这里用上了。

那个负号别丢：

e^{- r t}

的指数是负的（越晚到手越不值钱），写成

e^{r t}

就成了「越晚越值钱」，结果会大得离谱。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

由边际求总量：积分 + 常数项

第一步：看清给的是哪个边际（成本、收益、利润）。

第二步：积分得到总量函数。

第三步：定常数——成本加固定成本 $C (0)$ ，收益的常数是 $0$ 。

第四步：求导验回去，并核对常数项。

例例. 已知边际成本

C^{'} (Q) = 2 Q + 10

，固定成本

C (0) = 100

，求总成本函数。

第一步，看清给的是边际成本（不是收益，也不是利润）。

第二步，积分：

\int (2 Q + 10) d Q = Q^{2} + 10 Q + C .

第三步，定常数。令

Q = 0

：

C (0) = C = 100

，所以

C (Q) = Q^{2} + 10 Q + 100.

第四步，求导验回去得

2 Q + 10

✓，常数项正是固定成本。

若给的是边际收益，常数取

0

——

R (0) = 0

，不卖就没有收入。

求剩余：先解均衡点

第一步：令

D (Q) = S (Q)

解出

Q_{0}

，代回得

P_{0}

。

第二步：消费者剩余

= \int_{0}^{Q_{0}} D - P_{0} Q_{0}

。

第三步：生产者剩余

= P_{0} Q_{0} - \int_{0}^{Q_{0}} S

。

第四步：结果必须为正；直线型的可以用三角形面积核对。

例例. 需求函数

D (Q) = 20 - Q

，供给函数

S (Q) = 5 + 2 Q

，求消费者剩余与生产者剩余。

第一步，解均衡点：令

20 - Q = 5 + 2 Q

得

Q_{0} = 5

，代回任一式得

P_{0} = 15

。

第二步，消费者剩余（愿意付的减去实际付的）：

C S = \int_{0}^{5} (20 - Q) d Q - 15 \times 5 = (100 - \frac{25}{2}) - 75 = \frac{25}{2} .

第三步，生产者剩余（实际收到的减去愿意卖的）：

P S = 15 \times 5 - \int_{0}^{5} (5 + 2 Q) d Q = 75 - (25 + 25) = 25.

第四步，两个都为正 ✓。直线型还可以用三角形面积核一遍：

C S = \frac{1}{2} \times 5 \times (20 - 15) = \frac{25}{2}

、

P S = \frac{1}{2} \times 5 \times (15 - 5) = 25

，对上了。

求现值：贴现因子 $e^{- r t}$

第一步：写出收益速率

f (t)

（元/年）。

第二步：乘上贴现因子

e^{- r t}

，指数是负的。

第三步：在

[0, T]

上积分；

T = + \infty

时按反常积分算。

第四步：核对——现值必须小于名义总额

\int_{0}^{T} f

。

例例. 某项目在

10

年内以每年

A

万元的速率均匀产生收益，连续贴现率

r = 5%

。求这笔收益的现值。

第一步，写出收益速率：

f (t) = A

（万元/年）。

第二步，乘上贴现因子

e^{- 0.05 t}

——指数是负的，将来的钱折回现在要变少。

第三步，在

[0, 10]

上积分：

P V = \int_{0}^{10} A e^{- 0.05 t} d t = A \cdot \frac{1 - e ^{- 0.5}}{0.05} \approx 7.87 A .

第四步，核对：名义总额是

10 A

，而现值

7.87 A < 10 A

✓。

算出来比 $10 A$ 大，就一定是指数的符号写反了——这个检验不用想，一眼就能做。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

由边际求成本时漏掉固定成本

C (Q) = C (0) + \int_{0}^{Q} C^{'}

，那个

C (0)

就是不定积分的

+ C

，在这里是固定成本，题目一定会给。

收益函数则没有常数项（

R (0) = 0

）——两者的区别要记住。

两个剩余的减法方向写反

C S = \int D - P_{0} Q_{0}

，

P S = P_{0} Q_{0} - \int S

，方向相反。

记法：剩余总是正的，谁占便宜就减谁的实际支付。 写反会得负数，自带检验。

现值的指数符号写反

贴现因子是

e^{- r t}

（将来的钱折回现在要变少），不是

e^{r t}

。

核对：现值必须小于名义总额。 算出来更大就一定是符号反了。

不解均衡点就积分

剩余的积分上限是均衡产量 $Q_{0}$ ，

P_{0}

也要由它定出。

先令

D (Q) = S (Q)

解出来，这是第一步，不能跳。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 由边际求总量

练 1

已知边际成本

C^{'} (Q)

与固定成本

C_{0}

，则总成本为（）。

A $\int_{0}^{Q} C^{'} (q) d q$
B $C_{0} + \int_{0}^{Q} C^{'} (q) d q$
C $C_{0} \int_{0}^{Q} C^{'} (q) d q$
D $C^{'} (Q) \cdot Q$

练 2

设

C^{'} (Q) = 2 + 0.2 Q

，固定成本

100

，则

C (Q) = 100 + 2 Q +

________

Q^{2}

。

练 3

收益函数

R (Q)

由边际收益积分得到时，常数项应取（）。

A $0$
B任意常数
C固定成本
D $R^{'} (0)$

练 4

产量由

a

增加到

b

时成本的改变量等于

\int_{a}^{b}

________

d q

（填被积函数）。

第二组 · 剩余

练 5

设需求

P = 20 - Q

、供给

P = 2 + 2 Q

，则均衡产量

Q_{0} =

________。

练 6

承上题，均衡价格

P_{0} =

________。

练 7

消费者剩余的公式是（）。

A $P_{0} Q_{0} - \int_{0}^{Q_{0}} D (Q) d Q$
B $P_{0} Q_{0} - \int_{0}^{Q_{0}} S (Q) d Q$
C $\int_{0}^{Q_{0}} S (Q) d Q - P_{0} Q_{0}$
D $\int_{0}^{Q_{0}} D (Q) d Q - P_{0} Q_{0}$

练 8

承前两题，消费者剩余

C S = \int_{0}^{6} (20 - Q) d Q - 84 =

________。

第三组 · 现值

练 9

连续复利下，

t

年后的

1

元在现在的价值是（）。

A $e^{r t}$
B $1 + r t$
C $e^{- r t}$
D $\frac{1}{r t}$

练 10

收益速率为常数

A

、年利率

r

时，

T

年内收益流的现值

P = \frac{A}{r} (1 - e)

，指数处填 ________。

练 11

某收益流

10

年名义总额为

1000

万元，贴现后的现值应当（）。

A大于 $1000$ 万
B等于 $1000$ 万
C小于 $1000$ 万
D无法比较

练 12

永续收益流（

T \to + \infty

）、速率为常数

A

时，现值等于

A

，分母填 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

定积分的经济应用（由边际求总量、剩余）

先打基础

1. 由边际求总量：积分是边际的逆运算

2. 消费者剩余与生产者剩余

3. 资本现值与收益流

常用结构

由边际求总量：积分 + 常数项

求剩余：先解均衡点

求现值：贴现因子 e−rt

基础易错

由边际求成本时漏掉固定成本

两个剩余的减法方向写反

现值的指数符号写反

不解均衡点就积分

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

求现值：贴现因子 $e^{- r t}$