定积分的经济应用（由边际求总量、剩余）

§3.9 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.32 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

0.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）微积分基本定理与变限积分定积分的计算边际与弹性（导数的经济意义）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 由边际量求总量：积分是微分的逆运算（固定成本不能遗漏）★★ 必会

上一章讲过边际就是导数，本节讨论它的逆问题：已知边际量，用积分求总量。
- 总成本

C (Q) = C (0) + \int_{0}^{Q} C^{'} (q) d q

，其中

C (0)

是固定成本，不能遗漏。
- 总收益

R (Q) = \int_{0}^{Q} R^{'} (q) d q

（这里

R (0) = 0

，没有常数项）。
- 总利润

L (Q) = R (Q) - C (Q)

。
识别的标志是：题目给出边际成本或边际收益的表达式，问总成本、总收益，或者产量从

a

到

b

的增量。

证明 / 推导

由牛顿–莱布尼茨公式，

\int_{0}^{Q} C^{'} (q) d q = C (Q) - C (0)

，移项即得

C (Q) = C (0) + \int_{0}^{Q} C^{'} (q) d q

。这就是由边际量（导数）还原出总量（原函数）的过程：把每多生产一件所增加的量

C^{'} (q) d q

从

0

累加到

Q

，再补上没有产量时也要支付的固定成本

C (0)

。

■

举例说明

例. 已知边际成本

C^{'} (Q) = 3 Q^{2} - 14 Q + 100

（元/单位），固定成本为

1000

元，求产量由

0

增加到

10

时的总成本

C (10)

。
解.

C (10) = C (0) + \int_{0}^{10} (3 q^{2} - 14 q + 100) d q = 1000 + [q^{3} - 7 q^{2} + 100 q]_{0}^{10} = 1000 + (1000 - 700 + 1000) = 2300

（元）。
易错之处： 如果漏掉固定成本

C (0) = 1000

，只算积分而得

1300

，那就错了。

2. 消费者剩余与生产者剩余：需求曲线、供给曲线与价格线所围的面积★★ 必会

设均衡价格为

P_{0}

、均衡产量为

Q_{0}

，反需求曲线为

P = D (Q)

、供给曲线为

P = S (Q)

，则

消费者剩余 C S = \int_{0}^{Q_{0}} [D (Q) - P_{0}] d Q 生产者剩余 P S = \int_{0}^{Q_{0}} [P_{0} - S (Q)] d Q .

在几何上，

C S

是需求曲线以下、价格线

P_{0}

以上那一块的面积；

P S

与之对称。解题时先由供给与需求相等定出 $(Q_{0}, P_{0})$ ，再代入面积公式。

证明 / 推导

消费者愿意支付的总额是需求曲线下方的面积

\int_{0}^{Q_{0}} D (Q) d Q

，而实际支付的是

P_{0} Q_{0}

，两者之差

\int_{0}^{Q_{0}} D (Q) d Q - P_{0} Q_{0} = \int_{0}^{Q_{0}} [D (Q) - P_{0}] d Q

就是消费者剩余；生产者剩余同理，是实际收入

-

最低可接受的收入。归根到底，它仍是第 3.8 节中两条曲线之间的面积。

■

举例说明

例. 设反需求曲线为

P = 10 - Q

，均衡价格为

P_{0} = 4

。求消费者剩余。
解. 由

4 = 10 - Q_{0}

得

Q_{0} = 6

，故

C S = \int_{0}^{6} [(10 - Q) - 4] d Q = \int_{0}^{6} (6 - Q) d Q = [6 Q - \frac{Q ^{2}}{2}]_{0}^{6} = 36 - 18 = 18.

3. 平均值型与现值型的经济量：定积分在经济中的其他应用★★ 必会

- 函数在一段时间上的平均值：

\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t

，例如平均成本、平均产量。
- 加权平均，即按份额加权的平均价格：

\overset{p}{ˉ} = \frac{\int _{0}^{T} p ( t ) q ^{'} ( t ) d t}{\int _{0}^{T} q ^{'} ( t ) d t}

，其中分子是总支出，分母是总份额。
- 连续复利下收益流的现值：设年利率为

r

、收益流为

a (t)

，则现值

= \int_{0}^{T} a (t) e^{- r t} d t

。

证明 / 推导

加权平均价格

= \frac{总支出}{总份额}

。在

[t, t + d t]

内新购入的份额为

d q = q^{'} (t) d t

，花费为

p (t) d q = p (t) q^{'} (t) d t

，累加得总支出

\int_{0}^{T} p (t) q^{'} (t) d t

，总份额为

\int_{0}^{T} q^{'} (t) d t = q (T) - q (0)

，两者相除即得平均价格。

■

举例说明

例（数三 2026 第 4 题，选择 5 分）. 设

t

时刻某证券的交易单价为

p (t)

，某机构持有该证券的份额为

q (t)

，若该机构在

t \in [0, T]

内持续购入一定份额的该证券，则这些证券的平均购入价格为（　　）

(A)

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} p (t) d t

.　(B)

\frac{1}{q ( T ) - q ( 0 )} \int_{0}^{T} p (t) d t

.
(C)

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} p (t) q^{'} (t) d t

.　(D)

\frac{1}{q ( T ) - q ( 0 )} \int_{0}^{T} p (t) q^{'} (t) d t

.

解. 平均购入价格是总花费

\div

总购入份额，而购入的速率为

q^{'} (t)

，故分子与分母都要对

q^{'} (t) d t

积分：

\overset{p}{ˉ} = \frac{\int _{0}^{T} p ( t ) q ^{'} ( t ) d t}{\int _{0}^{T} q ^{'} ( t ) d t} = \frac{1}{q ( T ) - q ( 0 )} \int_{0}^{T} p (t) q^{'} (t) d t,

其中分母

\int_{0}^{T} q^{'} (t) d t = q (T) - q (0)

就是这段时间内的总购入份额，故选 D。

💡 小知识

消费者剩余由法国工程师杜普伊（J. Dupuit）1844 年提出，后经马歇尔发扬光大，用来量化买得便宜所带来的那份满足。它把一块积分面积变成了公共工程该不该修的决策依据。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设某产品边际收益

R^{'} (Q) = 100 - 2 Q

（元/件），求销量由

0

到

30

的总收益

R (30)

。难度 1

R (30) = \int_{0}^{30} (100 - 2 Q) d Q = [100 Q - Q^{2}]_{0}^{30} = 3000 - 900 = 2100

（元）。

总收益

R (Q) = \int_{0}^{Q} R^{'} (q) d q

，无固定项（

R (0) = 0

）。直接积分代限。

例 2 反需求曲线

P = 20 - 2 Q

，均衡价

P_{0} = 8

，求消费者剩余

C S

。难度 1

由

8 = 20 - 2 Q_{0}

得

Q_{0} = 6

；

C S = \int_{0}^{6} [(20 - 2 Q) - 8] d Q = \int_{0}^{6} (12 - 2 Q) d Q = [12 Q - Q^{2}]_{0}^{6} = 72 - 36 = 36

。

先由价格定均衡产量

Q_{0}

，再积「需求曲线

-

价格线」。

例 3 某项目自

t = 0

起

T

年内以恒定速率

a

（万元/年）产生收益，年连续复利率为

r

，求收益流现值。难度 1

现值

= \int_{0}^{T} a e^{- r t} d t = \frac{a}{r} (1 - e^{- r T})

（万元）。

连续复利贴现因子

e^{- r t}

，对收益流积分。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

设

t

时刻某证券的交易单价为

p (t)

，某机构持有该证券的份额为

q (t)

，若该机构在

t \in [0, T]

持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为（　　）。

A $\frac{1}{T} \int_{0}^{T} p (t) d t$
B $\frac{1}{q ( T ) - q ( 0 )} \int_{0}^{T} p (t) d t$
C $\frac{1}{T} \int_{0}^{T} p (t) q^{'} (t) d t$
D $\frac{1}{q ( T ) - q ( 0 )} \int_{0}^{T} p (t) q^{'} (t) d t$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 解答题

边际成本

C^{'} (Q) = 2 Q + 10

，固定成本

50

，求

C (Q)

及

C (5)

。

练习 2 · 解答题

边际利润

L^{'} (Q) = 40 - \frac{Q}{50}

，且

L (0) = - 2000

（固定成本致负），求使利润最大的产量

Q

及最大利润。

练习 3 · 解答题

反需求

P = 12 - Q

、供给

P = 2 + Q

，求均衡点并计算消费者剩余与生产者剩余。

练习 4 · 解答题

某设备收益流

a (t) = 100 - 4 t

（万元/年），连续复利率

r = 0.1

，求

[0, 10]

的收益现值（保留积分式即可）。