微积分基本定理与变限积分

§3.5 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.28 分/卷近 11 年平均

9/11 年出现年份

7.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）定积分的概念与性质不定积分的概念与性质③ 掌握后可解锁定积分的计算反常（广义）积分定积分的经济应用（由边际求总量、剩余）微分方程与差分方程的经济应用

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 变限积分求导的一般公式：上限取正、下限取负，各乘以自身的导数★★ 必会

变限积分的上限与下限常常都是函数，只记住单一的公式是不够的，必须掌握一般形式：上限的贡献取正号，下限的贡献取负号，各自再乘以自身的导数。这条公式是由第一基本定理、链式法则与区间可加性合成的。理解了它的来历，各种特殊情形就不必另记。

证明 / 推导

证. 设

f

连续，

G (u) = \int_{a}^{u} f (t) d t

，则

G^{'} (u) = f (u)

。对

\int_{ψ (x)}^{φ (x)} f (t) d t

，由区间可加性拆开：

\int_{ψ (x)}^{φ (x)} f d t = \int_{a}^{φ (x)} f d t - \int_{a}^{ψ (x)} f d t = G (φ (x)) - G (ψ (x)) .

对

x

求导，再用链式法则，得

\frac{d}{d x} \int_{ψ (x)}^{φ (x)} f (t) d t = f (φ (x)) φ^{'} (x) - f (ψ (x)) ψ^{'} (x) . ■

举例说明

例. 求

\frac{d}{d x} \int_{x}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t

。这里

φ (x) = x^{2}, ψ (x) = x

，于是

= e^{- (x^{2})^{2}} \cdot (x^{2})^{'} - e^{- x^{2}} \cdot (x)^{'} = 2 x e^{- x^{4}} - e^{- x^{2}} .

注意

e^{- t^{2}}

本身的原函数不能用初等函数表示，但这并不影响求导。

2. 被积函数中含有上限变量 $x$ ：必须先把 $x$ 提到积分号外★★ 必会

这是变限积分求导中最容易出错的地方。如果所给的积分形如

\int_{0}^{x} g (x, t) d t

，被积函数中含有上限变量

x

，那么不能直接把上限代入求导。因为对

t

积分时

x

是常量，而对

x

求导时它又是变量，二者不能混为一谈。正确的做法是：先注意到对 $t$ 积分时 $x$ 是常数，把含 $x$ 的因子提到积分号外，化成只含

x

的函数与纯变限积分之积，再用乘积法则逐项求导。

证明 / 推导

证. 以常见的

Φ (x) = \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t

为例（

f

连续）。先把它拆开，并把

x

提到积分号外：

Φ (x) = x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) d t .

对第一项用乘积法则，对两项都用变限积分求导公式，得

Φ^{'} (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t + x f (x) - x f (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t .

于是

Φ^{''} (x) = f (x)

。这说明

Φ

是

f

的两次积累。凡是含变限积分的方程或证明题，常常出现这种结构。

■

举例说明

例. 设

Φ (x) = \int_{0}^{x} (x - t) e^{t} d t

，求

Φ^{'} (x), Φ^{''} (x)

。把

x

提到积分号外，得

Φ (x) = x \int_{0}^{x} e^{t} d t - \int_{0}^{x} t e^{t} d t = x (e^{x} - 1) - [(t - 1) e^{t}]_{0}^{x}

。化简得

Φ (x) = e^{x} - 1 - x

。于是

Φ^{'} (x) = e^{x} - 1 = \int_{0}^{x} e^{t} d t

，

Φ^{''} (x) = e^{x} = f (x)

，与上面的一般结果一致。

3. 牛顿-莱布尼茨公式要求被积函数连续：区间内有瑕点时套用会得到荒谬的结果★ 要懂

\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)

成立的前提是 $f$ 在整个 $[a, b]$ 上连续（或原函数

F

在

[a, b]

上连续可导）。如果被积函数在区间内部有瑕点（在该点趋于无穷），那么

F

在那里就不再连续，直接代入端点将得到自相矛盾的答案。因此，计算定积分之前应先检查被积函数在区间内是否处处有定义、是否有界。

举例说明

例（错误的算法）. 计算

\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}

。如果不加考虑地取原函数

- \frac{1}{x}

，直接套用牛顿-莱布尼茨公式，那么

[- \frac{1}{x}]_{- 1}^{1} = (- 1) - (1) = - 2.

但被积函数

\frac{1}{x ^{2}} > 0

，积分值不可能是负数，可见这个结果是荒谬的。原因在于

x = 0

是区间内部的瑕点，

- \frac{1}{x}

在

0

处不连续，牛顿-莱布尼茨公式失效。正确的做法是按反常积分分段判别敛散性，此积分实际上是发散的。所得的

- 2

就是漏看瑕点的典型标志。

4. 变限积分函数的性质由被积函数决定：连续、可导、奇偶、单调★★ 必会

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

是一个新的函数，常常要研究它的分析性质，其规律很整齐：

f

可积

\Rightarrow Φ

连续；

f

连续

\Rightarrow Φ

可导（且

Φ^{'} = f

）；由

Φ^{'} = f

的符号判定

Φ

的单调性与极值；由

f

的奇偶性判定

Φ

的奇偶性。积分是一种使函数变得更光滑的运算，即使

f

有跳跃间断点，

Φ

仍然连续。

证明 / 推导

奇偶性的判定. 设

f

连续。考察

Φ (- x) = \int_{0}^{- x} f (t) d t

，令

t = - s

（

d t = - d s

，积分限变为

0 \to x

），得

Φ (- x) = \int_{0}^{x} f (- s) (- d s) = - \int_{0}^{x} f (- s) d s .

若

f

是偶函数（

f (- s) = f (s)

），则

Φ (- x) = - \int_{0}^{x} f (s) d s = - Φ (x)

，即

Φ

是奇函数；若

f

是奇函数，同理可得

Φ

是偶函数。

■

举例说明

例. 判断

Φ (x) = \int_{0}^{x} sin t^{2} d t

的奇偶性与单调区间。被积函数

sin t^{2}

是偶函数，由上述结论知

Φ

为奇函数。又

Φ^{'} (x) = sin x^{2}

，在

x^{2} \in (0, π)

即

x \in (0, π)

上

Φ^{'} > 0

，故

Φ

在该区间上单调增加。可见这些性质都可以由被积函数直接看出，不必求出

Φ

的显式表达式（事实上它的原函数不能用初等函数表示）。

💡 小知识

微积分基本定理被称作微积分的心脏：它证明了看似风马牛不相及的两件事，求切线斜率的微分与求曲边面积的积分，原来是同一枚硬币的正反面。牛顿从流数入手，莱布尼茨从求和入手，两条完全不同的思路最后殊途同归。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

F (x) = \int_{1}^{x} \frac{ln t}{t} d t

，求

F^{'} (x)

。难度 1

由微积分第一基本定理：若被积函数连续，则变上限积分的导数就是「把上限代入被积函数」。这里被积函数

\frac{ln t}{t}

在

t > 0

连续，上限就是

x

本身，故

F^{'} (x) = \frac{ln x}{x} .

方法总结：

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)

——变上限积分是被积函数的一个原函数。注意求导结果里把

t

换成

x

。

例 2 求

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} 1 + t^{2} d t

。难度 2

上限是

φ (x) = x^{2}

（复合），用复合变限求导公式

\frac{d}{d x} \int_{a}^{φ (x)} f (t) d t = f (φ (x)) \cdot φ^{'} (x) .

这里

f (t) = 1 + t^{2}

，

φ (x) = x^{2}

，

φ^{'} (x) = 2 x

，故

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} 1 + t^{2} d t = 1 + (x^{2})^{2} \cdot 2 x = 2 x 1 + x^{4} .

方法总结：上限是函数时，别忘乘上限的导数

φ^{'} (x)

（本质是链式法则）。

例 3 求极限

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} ( e ^{t^{2}} - 1 ) d t}{x ^{3}}

。难度 2

x \to 0

时分子、分母都趋于

0

，是

\frac{0}{0}

型，用洛必达法则。分子是变上限积分，由第一基本定理求导

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} (e^{t^{2}} - 1) d t = e^{x^{2}} - 1

：

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} ( e ^{t^{2}} - 1 ) d t}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - 1}{3 x ^{2}} .

再用等价无穷小

e^{x^{2}} - 1 \sim x^{2} (x \to 0)

：

= x \to 0 lim \frac{x ^{2}}{3 x ^{2}} = \frac{1}{3} .

方法总结：「分子含变限积分的

\frac{0}{0}

极限」是经典组合——洛必达 + 第一基本定理求分子导数，再配等价无穷小。

例 4 用牛顿-莱布尼茨公式计算

\int_{0}^{1} x e^{x} d x

。难度 2

第二基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：先求一个原函数，再代端点作差。对

x e^{x}

分部积分得原函数（取

u = x, d v = e^{x} d x

）：

\int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C .

于是取原函数

F (x) = (x - 1) e^{x}

，代入端点：

\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [(x - 1) e^{x}]_{0}^{1} = (1 - 1) e^{1} - (0 - 1) e^{0} = 0 - (- 1) = 1.

方法总结：定积分计算的核心三步——求原函数、代端点、作差；原函数里的

+ C

在作差时抵消，可省。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x) = \int_{1}^{x^{3}} \frac{e ^{t}}{1 + t ^{2}} d t

，

f

的反函数为

g

，则（　　）。

A $g (0) = 1, g^{'} (0) = \frac{3}{2} e$
B $g (0) = 1, g^{'} (0) = \frac{2}{3 e}$
C $g (1) = 0, g^{'} (1) = \frac{3}{2} e$
D $g (1) = 0, g^{'} (1) = \frac{2}{3 e}$

2026 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知函数

g (x)

连续。设

f (x) = \int_{0}^{x^{2}} g (x t) d t

，求

f^{'} (x)

的表达式，并判断

f^{'} (x)

在

x = 0

处的连续性。

2025 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} sin t d t

，

g (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot sin^{2} x

，则（　　）。

A $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，也是 $g (x)$ 的极值点
B $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的拐点
C $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点
D $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点，也是曲线 $y = g (x)$ 的拐点

2025 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

z = z (x, y)

由

z + ln z - \int_{y}^{x} x e^{- t^{2}} d t = 1

确定，则

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}_{(1, 1)} =

______。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} cos t^{3} d t =

______

练习 2 · 选择题

\frac{d}{d x} \int_{0}^{s i n x} e^{t^{2}} d t =

（　　）

A $e^{s i n^{2} x} cos x$
B $e^{s i n^{2} x}$
C $e^{x^{2}} cos x$
D $e^{s i n^{2} x} sin x$

练习 3 · 填空题

\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x) d x =

______

练习 4 · 选择题

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} sin t d t}{x ^{2}} =

（　　）

A $0$
B $\frac{1}{2}$
C $1$
D $2$

练习 5 · 填空题

函数

Φ (x) = \int_{0}^{x} (t - 1) d t

的极小值点为

x =

______

练习 6 · 选择题

设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续，令

F (x) = \int_{0}^{x} t f (x - t) d t

，则

F^{'} (x) =

（　　）

A $\int_{0}^{x} f (u) d u$
B $x f (x)$
C $\int_{0}^{x} f (u) d u + x f (x)$
D $f (x) - f (0)$

练习 7 · 填空题

设

f (x)

连续，且对一切

x

满足

\int_{0}^{x^{2} + x^{3}} f (t) d t = x

，则

f (2) =

____

练习 8 · 解答题

设

f (x) = \int_{0}^{1} t^{2} - x^{2} d t

，其中

x \in [0, 1]

。

(1) 求

f (x)

的表达式；

(2) 求

f (x)

在

[0, 1]

上的最大值与最小值。

2024 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x} \frac{( 1 + t ^{2} ) sin t ^{2}}{1 + cos ^{2} t} d t

与

x^{k}

是同阶无穷小，则

k =

______。

2021 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t

是

x^{7}

的（　　）。

A低阶无穷小。
B等价无穷小。
C高阶无穷小。
D同阶但非等价无穷小。

微积分基本定理与变限积分

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 变限积分求导的一般公式：上限取正、下限取负，各乘以自身的导数★★ 必会

2. 被积函数中含有上限变量 x：必须先把 x 提到积分号外★★ 必会

3. 牛顿-莱布尼茨公式要求被积函数连续：区间内有瑕点时套用会得到荒谬的结果★ 要懂

4. 变限积分函数的性质由被积函数决定：连续、可导、奇偶、单调★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 被积函数中含有上限变量 $x$ ：必须先把 $x$ 提到积分号外★★ 必会