微分方程与差分方程的经济应用

§7.6 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.59 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

0.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）常系数非齐次线性微分方程微积分基本定理与变限积分

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 经济问题的建模：边际、弹性、增长率如何化为微分方程★★ 必会

解经济应用题的第一步，是把经济语言逐条化为微积分的语言：变化率与增长率

\to

导数

\frac{d y}{d t}

；边际（marginal，即边际成本、边际收益、边际利润）

=

总量函数的导数；与某量成正比

\to

= k \times

；初始值或起始值

\to

初值条件。数三中最有特色的一类是由弹性列方程：需求（或收益）对价格的弹性定义为

η = \frac{需求量相对变化率}{价格相对变化率} = \frac{p}{y} \cdot \frac{d y}{d p},

给定

η = η (p)

，就得到一个可分离变量的一阶方程

\frac{d y}{y} = \frac{η ( p )}{p} d p

，积分即得所求的经济函数，如需求函数、收益函数等。这里要注意符号：需求随价格上升而下降，故需求弹性常带负号；题目有时按惯例取它的绝对值，必须看清正负。

证明 / 推导

由弹性的定义

η = \frac{p}{y} \frac{d y}{d p}

解出

\frac{d y}{d p} = \frac{η ( p )}{p} y

，这是关于

y (p)

的可分离变量方程，同时也是一阶线性齐次方程。分离变量并积分，得

\frac{d y}{y} = \frac{η ( p )}{p} d p ⟹ ln ∣ y ∣ = \int \frac{η ( p )}{p} d p + C ⟹ y = A exp (\int \frac{η ( p )}{p} d p) .

其中常数

A

由题设条件（例如最大需求量，或某一价位上的收益）确定。由边际求总量的做法与此相同：

y = \int (边际) d q + C

，其中

C

由固定成本或初值确定。

■

举例说明

例（数三 1987）. 已知某商品的需求量

x

对价格

p

的弹性

η = - 3 p^{3}

，最大需求量为

1

（万件），求需求函数。

由

η = \frac{p}{x} \frac{d x}{d p} = - 3 p^{3}

得

\frac{d x}{x} = - 3 p^{2} d p

，积分得

ln x = - p^{3} + C

，即

x = A e^{- p^{3}}

。最大需求量在

p \to 0^{+}

时取得，故

x (0) = A = 1

，于是

x = e^{- p^{3}} (万件)

。
用同样的方法可解收益弹性一类的题目：例如由

\frac{p}{R} \frac{d R}{d p} = 1 + p^{3}, R (1) = 1

得

\frac{d R}{R} = (\frac{1}{p} + p^{2}) d p

，从而

R = p e^{(p^{3} - 1) /3}

（数三 2010）。

2. 含平均值或累积量的经济方程：两边求导以降低阶数，令下限相等读出初值★★ 必会

经济题中常给出平均量，或含有累积量

\int_{0}^{t} f (s) d s

（如累计资产、累计产量）的关系式。函数在

[0, t]

上的平均值为

\frac{1}{t} \int_{0}^{t} f (s) d s

。处理的方法是：先乘以 $t$ 去掉分母，化成含变限积分的方程；再在两边对 $t$ 求导（用

(\int_{0}^{t} f)^{'} = f (t)

），把它降为微分方程；初值则在原方程中令

t = 0

（此时积分为

0

）直接读出；最后按一阶线性方程或可分离变量方程求解。这是数三中把积分方程与微分方程结合起来的典型综合题。如果被积函数含有

(t - s)

这种卷积型因子，即

t

既出现在上限又出现在被积式中，那么不能直接求导，应先把

t

提到积分号外，拆成两项，再逐次求导（往往求导两次后得到二阶常系数方程）。

证明 / 推导

设平均值条件为

\frac{1}{t} \int_{0}^{t} f (s) d s = g (t)

。两边乘以

t

，得

\int_{0}^{t} f (s) d s = t g (t)

。再在两边对

t

求导，左端

= f (t)

，右端

= g (t) + t g^{'} (t)

，故

f (t) = g (t) + t g^{'} (t),

这就化成了微分方程（或代数方程）。再令

t = 0

，代入

\int_{0}^{t} f = t g

，得

0 = 0

，或由此读出

f (0)

。

■

举例说明

例（数三 2023）. 设公司在

t

时刻的资产为

f (t)

，从

0

到

t

的平均资产等于

\frac{f ( t )}{t} - t

；又设

f

连续，且

f (0) = 0

，求

f (t)

。

平均资产为

\frac{1}{t} \int_{0}^{t} f (s) d s = \frac{f ( t )}{t} - t

，两边乘以

t

，得

\int_{0}^{t} f (s) d s = f (t) - t^{2}

。求导降阶，得

f (t) = f^{'} (t) - 2 t \Rightarrow f^{'} (t) - f (t) = 2 t

。初值：在原式中令

t = 0

，得

0 = f (0)

，与

f (0) = 0

相符。下面解这个一阶线性方程：齐次方程的解为

C e^{t}

，特解设为

a t + b

，代入得

- a t + (a - b) = 2 t \Rightarrow a = - 2, b = - 2

，故通解为

f = C e^{t} - 2 t - 2

。由

f (0) = C - 2 = 0

得

C = 2

，故

f (t) = 2 e^{t} - 2 t - 2

。

3. 动态供需与价格调整模型：由 dp/dt=k(D−S) 求均衡价格并判定稳定性★★ 必会

这是经济动态模型中最典型的一类：价格按供不应求则上涨、供过于求则下跌的规律连续调整，即

\frac{d p}{d t} = k [D (p) - S (p)] (k > 0),

其中

D (p)

为需求，

S (p)

为供给。均衡价格

p_{e}

由

\frac{d p}{d t} = 0

，即

D (p_{e}) = S (p_{e})

定出。求出

p (t)

以后，再看

t \to \infty

时它是否

\to p_{e}

，以判定系统是否稳定：若

D - S

在

p_{e}

附近有价格偏高时为负、价格偏低时为正的性质（这就是

D

减少而

S

增加的通常情形），那么价格总被拉回

p_{e}

，系统就是稳定的。这是离散的蛛网模型在连续情形下的微分方程形式，也是数三经济应用中的主要模型。

证明 / 推导

以

D = \frac{a}{p ^{2}}, S = b p (a, b > 0)

为例。均衡时

\frac{a}{p _{e}^{2}} = b p_{e} \Rightarrow p_{e}^{3} = \frac{a}{b}, p_{e} = 3 a / b

。
方程为

\frac{d p}{d t} = k (\frac{a}{p ^{2}} - b p) = \frac{k ( a - b p ^{3} )}{p ^{2}}

。令

u = p^{3}

，则

u^{'} = 3 p^{2} p^{'} = 3 k (a - b p^{3}) = 3 k b (\frac{a}{b} - u)

，于是

u^{'} + 3 k b u = 3 k a ⟹ u = \frac{a}{b} + (u_{0} - \frac{a}{b}) e^{- 3 k b t} = p_{e}^{3} + (p_{0}^{3} - p_{e}^{3}) e^{- 3 k b t} .

因

e^{- 3 k b t} \to 0

，故

u \to p_{e}^{3}

，从而

p = u^{1/3} \to p_{e}

，可见系统稳定。

■

举例说明

例（数三 1988）. 设需求

D = \frac{a}{p ^{2}}

、供给

S = b p

（

a, b > 0

），价格满足

\frac{d p}{d t} = k (D - S)

，且

p (0) = 1

。求均衡价格

p_{e}

、价格函数

p (t)

及

t \to \infty lim p (t)

。

均衡价格：

\frac{a}{p _{e}^{2}} = b p_{e} \Rightarrow p_{e} = 3 a / b

。求 $p (t)$ ：由上面的推导，令

u = p^{3}

，得

u^{'} + 3 k b u = 3 k a

，且

u (0) = 1

，解得

u = p_{e}^{3} + (1 - p_{e}^{3}) e^{- 3 k b t}

，故

p (t) = [p_{e}^{3} + (1 - p_{e}^{3}) e^{- 3 k b t}]^{1/3} .

极限：

e^{- 3 k b t} \to 0 \Rightarrow t \to \infty lim p (t) = p_{e}

，即价格收敛于均衡价格，模型是稳定的。

4. 几何应用：由切线或面积条件列出一阶方程（截距公式可当场推出）★ 要懂

除经济应用外，数三还考几何型的微分方程：题目给出曲线上任一点处切线的截距、切线与坐标轴所围成的面积等条件，要求把它化成含

y^{'}

的方程。为此需要一组可以当场推出的截距公式：曲线

y = y (x)

上点

P (x, y)

处的切线方程为

Y - y = y^{'} (X - x)

，在其中令

Y = 0

与令

X = 0

，即得

x

轴上的截距

x - \frac{y}{y ^{'}}

与

y

轴上的截距

y - x y^{'}

；再配合三角形面积公式

\frac{1}{2} \times

底

\times

高，就把几何条件化成了一阶方程。这些截距公式当场推导即可，不必强记，以免混淆。

证明 / 推导

切线方程为

Y - y = y^{'} (X - x)

。
$x$ 轴上的截距（令

Y = 0

）：

- y = y^{'} (X - x) \Rightarrow X = x - \frac{y}{y ^{'}}

。
$y$ 轴上的截距（令

X = 0

）：

Y - y = y^{'} (0 - x) \Rightarrow Y = y - x y^{'}

。
二者只是在切线方程中分别代入

Y = 0

与

X = 0

，当场推导即可，不必强记，以免混淆。

■

举例说明

例（数三 2015）. 设

f^{'} (x) > 0

，曲线

y = f (x)

在点

(x_{0}, f (x_{0}))

处的切线与直线

x = x_{0}

及

x

轴所围成的面积恒为

4

，又

f (0) = 2

，求

f (x)

。

所围成的区域是一个直角三角形：竖直的一边在直线

x = x_{0}

上，其长为

f (x_{0})

；底边则是

x_{0}

到切线在

x

轴上的截距

x_{0} - \frac{f}{f ^{'}}

之间的距离

\frac{f}{f ^{'}}

。故面积为

\frac{1}{2} \cdot \frac{f}{f ^{'}} \cdot f = 4 ⟹ \frac{f ^{2}}{f ^{'}} = 8 ⟹ f^{'} = \frac{f ^{2}}{8} .

分离变量，得

\frac{df}{f ^{2}} = \frac{d x}{8}

，积分得

- \frac{1}{f} = \frac{x}{8} + C

。由

f (0) = 2

得

C = - \frac{1}{2}

，故

- \frac{1}{f} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} = \frac{x - 4}{8}

，即

f (x) = \frac{8}{4 - x}

。

💡 小知识

1798 年，马尔萨斯用 dN/dt=kN 这个指数增长模型预言人口终将超过粮食供给，一时掀起末日般的恐慌；1838 年，费尔许尔斯特（Verhulst）添上一个表示拥挤程度的修正项，得到 Logistic 方程 dN/dt=kN(1−N/M)，增长被环境容量 M 刹住，曲线变成平缓的 S 形。同一支笔，把末日预言改写成了可持续的曲线。而达尔文正是读了马尔萨斯，才想到生存竞争这一层。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 （数三 2010）设某商品的收益函数为

R (p)

，收益对价格的弹性为

1 + p^{3}

，且

R (1) = 1

，求

R (p)

。难度 2

收益弹性

\frac{p}{R} \frac{d R}{d p} = 1 + p^{3}

，分离得

\frac{d R}{R} = \frac{1 + p ^{3}}{p} d p = (\frac{1}{p} + p^{2}) d p

。积分

ln R = ln p + \frac{p ^{3}}{3} + C_{1}

，即

R = A p e^{p^{3} /3}

。由

R (1) = A e^{1/3} = 1

得

A = e^{- 1/3}

，故

R (p) = p e^{(p^{3} - 1) /3}

。

例 2 【例】某产品的边际成本为

C^{'} (q) = 2 q + 6

（元/件），固定成本

C (0) = 100

元，求总成本函数

C (q)

。难度 1

由边际求总量即积分：

C (q) = \int (2 q + 6) d q = q^{2} + 6 q + K

。固定成本是

q = 0

时的成本，

C (0) = K = 100

，故

C (q) = q^{2} + 6 q + 100

。（边际成本积分得可变成本，加固定成本得总成本。）

例 3 【例】本金

A_{0}

按年利率

r

连续复利计息，则本息

A (t)

满足

\frac{d A}{d t} = r A

。求

A (t)

，并说明与离散年复利的差异。难度 1

「瞬时增长率

=

利率

\times

现有本息」即

\frac{d A}{d t} = r A

，可分离：

\frac{d A}{A} = r d t \Rightarrow A (t) = A_{0} e^{r t}

。连续复利用指数函数

e^{r t}

；离散年复利则是差分方程

A_{t + 1} = (1 + r) A_{t}

，解为

A_{t} = A_{0} (1 + r)^{t}

。因

e^{r} > 1 + r

，同利率下连续复利略多——这正是微分方程（连续）与差分方程（离散）的对照。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

设某公司在

t

时刻的资产为

f (t)

，从

0

时刻到

t

时刻的平均资产等于

\frac{f ( t )}{t} - t

。假设

f (t)

连续且

f (0) = 0

，则

f (t) =

______。

2016 年 · 数三 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

设某商品的最大需求量为

1200

件，该商品的需求函数

Q = Q (p)

，需求弹性

η = \frac{p}{120 - p}

（

η > 0

），

p

为单价（万元）。（Ⅰ）求需求函数的表达式；（Ⅱ）求

p = 100

万元时的边际收益，并说明其经济意义。

2015 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

设函数

f (x)

在定义域

I

上的导数大于零。若对任意的

x_{0} \in I

，曲线

y = f (x)

在点

(x_{0}, f (x_{0}))

处的切线与直线

x = x_{0}

及

x

轴所围成区域的面积恒为

4

，且

f (0) = 2

，求

f (x)

的表达式。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设需求量

Q

对价格

p

的需求弹性为

η = \frac{p}{Q} \frac{d Q}{d p}

。若已知

η = - 2

（常数），则需求函数

Q (p)

的形式为（　）。

A $Q = C p^{- 2}$
B $Q = C e^{- 2 p}$
C $Q = C - 2 p$
D $Q = C p^{2}$

练习 2 · 填空题

（数三 1987）已知某商品需求量

x

对价格

p

的弹性为

η = - 3 p^{3}

，最大需求量为

1

（万件），则需求函数

x =

____。

练习 3 · 选择题

（数三 1988 型）设需求

D = \frac{a}{p ^{2}}

、供给

S = b p

（

a, b > 0

），价格满足

\frac{d p}{d t} = k (D - S)

。则使供求相等的均衡价格

p_{e} =

（　）。

A $3 a / b$
B $a / b$
C $a / b$
D $3 b / a$

练习 4 · 选择题

本金按年利率

r

连续复利计息，本息

A (t)

满足的微分方程是（　）。

A $\frac{d A}{d t} = r A$
B $\frac{d A}{d t} = r t$
C $\frac{d A}{d t} = r$
D $\frac{d A}{d t} = \frac{r}{A}$

练习 5 · 选择题

差分方程

y_{t + 1} - 2 y_{t} = 3 \cdot 2^{t}

的通解为（　　）（

C

为任意常数）。

A $y_{t} = C \cdot 2^{t} + 3 \cdot 2^{t}$
B $y_{t} = (C + \frac{3 t}{2}) 2^{t}$
C $y_{t} = C \cdot 2^{t} + 3 t$
D $y_{t} = C \cdot 2^{t} - 3 \cdot 2^{t}$

练习 6 · 填空题

某地区第

t

期的国民收入

y_{t}

满足差分方程

y_{t + 1} = 0.8 y_{t} + 100,

且初期收入

y_{0} = 200

。则

y_{t} =

____。

练习 7 · 解答题

某新产品投放市场后，销量

x (t)

（单位：万件，

t

以年为单位）的增长速度既与当时的销量

x

成正比，又与市场尚未饱和的份额

(10 - x)

成正比，即满足

\frac{d x}{d t} = k x (10 - x), k > 0,

其中

10

（万件）为市场容量。已知

x (0) = 1

，

x (1) = 2

。

(1) 求

x (t)

的表达式（表达式中不含

k

）；

(2) 求比例常数

k

；

(3) 求销量增长最快的时刻

t^{*}

，并求

t \to + \infty lim x (t)

。

2010 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

设某商品的收益函数为

R (p)

，收益弹性为

1 + p^{3}

，其中

p

为价格，且

R (1) = 1

，则

R (p) =

______.

2001 年 · 数三 · 第 2 题 · 填空题 · 3 分

某公司每年的工资总额在比上一年增加

20%

的基础上再追加

2

百万元。若以

W_{t}

表示第

t

年的工资总额（单位：百万元），则

W_{t}

满足的差分方程是______。

1988 年 · 数三 · 第 16 题 · 解答题 · 8 分

已知某商品的需求量

D

和供给量

S

都是价格

p

的函数：

D = D (p) = \frac{a}{p ^{2}}, S = S (p) = b p

，其中

a > 0, b > 0

为常数；价格

p

是时间

t

的函数且满足方程

\frac{d p}{d t} = k [D (p) - S (p)]

（

k

为正常数）。假设当

t = 0

时价格为

1

，求：(1) 需求量等于供给量时的均衡价格

p_{e}

；(2) 价格函数

p (t)

；(3) 极限

t \to + \infty lim p (t)

。