不定积分的概念与性质

§3.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.43 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

6.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）导数与微分的概念求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁换元积分法与分部积分法有理函数及三角有理式积分微积分基本定理与变限积分一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 原函数只差一个常数有一个隐含的前提：函数定义在一个区间上★ 要懂

教材中的结论是，

f

的任意两个原函数只差一个常数，这一点几乎人人都能背出，但在同一个区间上这个条件常被忽略，而考试恰好爱在这里设置疑难。原因在于这条结论的证明依赖拉格朗日中值定理，而中值定理要求函数定义在一个连通的区间上。如果定义域是断开的，例如

(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)

，那么各个连通部分上的常数可以各取各的，原函数族就不再是只差一个常数那样简单了。

证明 / 推导

设

F, G

都是

f

在区间

I

上的原函数，令

H = F - G

，则对每个

x \in I

有

H^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0

。任取

I

中两点

x_{1} < x_{2}

，对

H

在

[x_{1}, x_{2}]

上应用拉格朗日中值定理，得

H (x_{2}) - H (x_{1}) = H^{'} (ξ) (x_{2} - x_{1}) = 0

，故

H (x_{2}) = H (x_{1})

。这说明

H

在

I

上恒为常数，即

F - G \equiv C

。注意这里用到了 $[x_{1}, x_{2}] \subset I$ ，而只有当 $I$ 是区间时才能保证这一点。

■

举例说明

考察

\int \frac{1}{x} d x

在

x \neq = 0

上的情形，此时定义域

(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)

是断开的。它的全体原函数是

F (x) = {ln x + C_{1}, ln (- x) + C_{2}, x > 0, x < 0, C_{1}, C_{2} 可不相等 .

所以严格地说，这里的原函数并非只差一个常数，而是每个分支各差一个常数。平时写

ln ∣ x ∣ + C

，只是默认在某一个不含

0

的区间上讨论。看清定义域，在这类判断题中最为要紧。

2. 判断原函数是否存在的有力工具：含第一类间断点的函数一定没有原函数★★ 必会

若

f

连续，则

\Rightarrow

它有原函数，这是充分条件；考试中更常反过来问，一个不连续的

f

有没有原函数。判别的依据是达布定理：导函数一定具有介值性，即能取到任意两个函数值之间的一切中间值，即使它本身不连续。由此立即得到一条结论：只要 $f$ 在某点有第一类间断点，即跳跃间断点或可去间断点， $f$ 就没有原函数；反倒是某些具有第二类振荡间断点的函数可能有原函数。这是因为在跳跃间断点处函数值跳过了一整段，破坏了介值性，所以它不可能是任何函数的导数。

证明 / 推导

达布定理，即导函数取中间值定理的证明梗概. 设

F

在

[a, b]

上可导，且

F^{'} (a) < c < F^{'} (b)

。令

g (x) = F (x) - c x

，则

g^{'} (a) < 0

，

g^{'} (b) > 0

。由

g^{'} (a) < 0

知

g

从

a

往右还在下降，故最小值不在端点

a

处取得；同理也不在

b

处取得。而连续函数

g

必在

[a, b]

的某个内点

ξ

处取得最小值，由费马定理

g^{'} (ξ) = 0

，即

F^{'} (ξ) = c

。这就证明了导函数能取到中间值

c

。推论. 若

f

有跳跃间断点，则它在断点两侧的取值之间留有空档，违反介值性，所以

f

没有原函数。

■

举例说明

问：符号函数

f (x) = sgn x

（当

x > 0

时取

1

，当

x < 0

时取

- 1

，当

x = 0

时取

0

）在

[- 1, 1]

上有没有原函数？
答：没有。 若存在

F

使

F^{'} = sgn x

，则当

x > 0

时

F = x + a

，当

x < 0

时

F = - x + b

；要使

F

在

0

处可导，首先它必须连续，由此得

a = b

，即

F = ∣ x ∣ + a

。但

∣ x ∣

在

x = 0

处不可导，矛盾。其根源在于

sgn x

在

0

处从

- 1

跳到

1

，跳过了

(- 1, 1)

，破坏了介值性。

3. 微分号 $d$ 与积分号 $\int$ 相消的规则，这是凑微分法的基础★★ 必会

积分与微分互为逆运算，但并不完全对称，两个记号相邻时的作用要分清：

(\int f d x)^{'} = f, d (\int f d x) = f d x (先积后微，完全抵消);

\int d F = \int F^{'} d x = F + C (先微后积，多出一个 C) .

简单地说，

d

写在

\int

外面时可以完全抵消，而

\int

作用在

d

上时会多出一个任意常数

C

。把这一条理解透彻，就能自如地把

g^{'} (x) d x

看成

d g (x)

。这就是下一节凑微分法，即第一类换元法的全部内容。

证明 / 推导

两条规则的证明. 按定义，

\int f d x

表示

f

的全体原函数。设

F^{'} = f

，则

\int f d x = F + C

，其中

C

为任意常数。

先看先积后微。求导得

(\int f d x)^{'} = (F + C)^{'} = F^{'} = f

，两边乘以

d x

，即得

d (\int f d x) = f d x

。可见求导把任意常数消去了，因此两个记号完全抵消。

再看先微后积。由

d F = F^{'} d x

得

\int d F = \int F^{'} d x

。因为

F

是

F^{'}

的一个原函数，所以按定义

\int F^{'} d x = F + C

。这里的

C

不能省去。事实上

F

与

F + C

的微分相同，只知道

d F

无法定出常数项。因此积分只能把

F

还原到相差一个常数的程度。

凑微分法的一般定理. 设

\int f (u) d u = Φ (u) + C

，即

Φ^{'} = f

；又设

u = g (x)

可导。由复合函数求导法则，得

\frac{d}{d x} Φ (g (x)) = Φ^{'} (g (x)) g^{'} (x) = f (g (x)) g^{'} (x) .

这说明

Φ (g (x))

是

f (g (x)) g^{'} (x)

的一个原函数。由不定积分的定义，得

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = Φ (g (x)) + C = [\int f (u) d u]_{u = g (x)} .

这就证明了下述做法是正确的：把

g^{'} (x) d x

写成

d g (x)

，按新变量

u

积出，再把

u = g (x)

回代。使用时只要求

g

可导，且

f

在相应区间上有原函数。

■

举例说明

用凑成

d (某函数)

的眼光计算

\int \frac{e ^{a r c t a n x}}{1 + x ^{2}} d x

。
注意到

\frac{d x}{1 + x ^{2}} = d (arctan x)

，可把整块

arctan x

当作一个新变量，于是

\int \frac{e ^{a r c t a n x}}{1 + x ^{2}} d x = \int e^{a r c t a n x} d (arctan x) = e^{a r c t a n x} + C .

求导即可验证，此时

(e^{a r c t a n x})^{'} = e^{a r c t a n x} \cdot \frac{1}{1 + x ^{2}}

，它就是被积函数。这就是识别出

d

、从而与

\int

相消所起的作用。

4. 认清那些原函数不能用初等函数表示的常见函数，考场上不必在它们身上纠缠

求导运算对初等函数封闭，积分却不然：不少形式极简单的初等函数，其原函数无法用初等函数表示，这有刘维尔理论作严格保证，了解即可。考试中要能一眼认出这些积不出的函数，改走别的途径。它们几乎从不单独要求求出不定积分，而总是以变限积分的形式整体出现在极限题与变限求导题中。常见的有下列几个，必须熟悉：

\int e^{- x^{2}} d x, \int \frac{sin x}{x} d x, \int \frac{cos x}{x} d x, \int \frac{e ^{x}}{x} d x, \int \frac{d x}{ln x}, \int sin x^{2} d x, \int 1 + x^{4} d x .

它们不是不会算，而是在初等函数的范围内根本没有相应的原函数。

举例说明

如果极限题中出现积不出的变限积分，不要去求它，而应当用变限积分求导配合洛必达法则绕过去。例如

x \to 0 lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t \frac{0}{0} x \to 0 lim \frac{e ^{- x^{2}}}{1} = 1.

这里

\int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

没有初等表达式，但题目根本不需要它的显式表达式。识别出它积不出，反而看清了正确的解法。

💡 小知识

牛顿与莱布尼茨几乎同时各自创立了微积分，却为谁先发明争执了一生。今天通用的积分号

\int

和微分号

d x

沿用的都是莱布尼茨的写法，牛顿的流数一词则早已弃用。可见一套好的符号本身就是能够流传下来的思想。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 已知

F (x) = x^{2} e^{x}

是

f (x)

的一个原函数，求

f (x)

，并写出

\int f^{'} (x) d x

。难度 1

「

F (x) = x^{2} e^{x}

是

f (x)

的原函数」的意思就是

F^{'} (x) = f (x)

。所以直接求导：

f (x) = (x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = (x^{2} + 2 x) e^{x} .

再看

\int f^{'} (x) d x

。由「先求导、再积分只能还原到差一个常数」这条性质：

\int f^{'} (x) d x = f (x) + C = (x^{2} + 2 x) e^{x} + C .

方法总结：牢牢抓住原函数定义

F^{'} = f

与两条互逆性质——

\int f^{'} (x) d x = f (x) + C

、

(\int f d x)^{'} = f (x)

，这类概念题即可一步写出。

例 2 求不定积分

\int \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x} d x

。难度 1

被积函数不在基本积分表里，先展开、降幂化成幂函数之和：

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x} = \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x} = x - 2 + \frac{1}{x} .

再逐项套基本积分表：

\int \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} - 2 x + ln ∣ x ∣ + C .

注意

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

，绝对值不能丢。求导检验：

(\frac{x ^{2}}{2} - 2 x + ln ∣ x ∣)^{'} = x - 2 + \frac{1}{x} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x}

，正确。

例 3 求不定积分

\int tan^{2} x d x

。难度 1

表里没有

tan^{2} x

的积分，先用三角恒等式把它化到表内。由

sec^{2} x = 1 + tan^{2} x

得

tan^{2} x = sec^{2} x - 1.

于是

\int tan^{2} x d x = \int (sec^{2} x - 1) d x = tan x - x + C .

方法总结：三角被积函数「表里没有」时，第一反应是用恒等式（

tan^{2} = sec^{2} - 1

、

sin^{2} = \frac{1 - c o s 2 x}{2}

等）化成表内形式再积。

例 4 求不定积分

\int \frac{d x}{1 + cos 2 x}

。难度 2

关键是用倍角公式把分母化简。由

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1

得

1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x .

于是被积函数变成表内形式：

\int \frac{d x}{1 + cos 2 x} = \int \frac{d x}{2 cos ^{2} x} = \frac{1}{2} \int sec^{2} x d x = \frac{1}{2} tan x + C .

方法总结：含

1 \pm cos 2 x

、

1 \pm sin 2 x

的积分，优先用倍角/半角公式「降次」或「化平方」，往往一步就落到

sec^{2} x

、

csc^{2} x

这类表内函数。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 + x ^{2}}, (x + 1) cos x, x \leq 0, x > 0

的一个原函数为（　　）。

A $F (x) = {ln (1 + x^{2} - x), (x + 1) cos x - sin x, x \leq 0, x > 0$
B $F (x) = {ln (1 + x^{2} - x) + 1, (x + 1) cos x - sin x, x \leq 0, x > 0$
C $F (x) = {ln (1 + x^{2} + x), (x + 1) sin x + cos x, x \leq 0, x > 0$
D $F (x) = {ln (1 + x^{2} + x) + 1, (x + 1) sin x + cos x, x \leq 0, x > 0$

2018 年 · 数三 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

\int e^{x} arcsin 1 - e^{2 x} d x =

______。

2011 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

求不定积分

\int \frac{arcsin x + ln x}{x} d x

．

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

\int (sec^{2} x - \frac{1}{x}) d x =

______

练习 2 · 选择题

\int 3^{x} d x =

（　　）

A $3^{x} + C$
B $\frac{3 ^{x}}{ln 3} + C$
C $3^{x} ln 3 + C$
D $\frac{3 ^{x + 1}}{x + 1} + C$

练习 3 · 选择题

若

\int f (x) d x = x^{2} + C

，则

f (x) =

（　　）

A $x^{2}$
B $\frac{x ^{3}}{3}$
C $2 x$
D $2 x + C$

练习 4 · 填空题

\int \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1} d x =

______

练习 5 · 选择题

\int \frac{cos 2 x}{cos x - sin x} d x =

（　　）

A $sin x - cos x + C$
B $sin x + cos x + C$
C $- sin x - cos x + C$
D $cos x - sin x + C$

1999 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 3 分

设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数，则（　　）

A当 $f (x)$ 是奇函数时， $F (x)$ 必为偶函数.
B当 $f (x)$ 是偶函数时， $F (x)$ 必为奇函数.
C当 $f (x)$ 是周期函数时， $F (x)$ 必为周期函数.
D当 $f (x)$ 是单调增函数时， $F (x)$ 必为单调增函数.

1996 年 · 数三 · 第 2 题 · 填空题 · 3 分

设

\int x f (x) d x = arcsin x + C

，则

\int \frac{1}{f ( x )} d x =

______.

1995 年 · 数三 · 第 3 题 · 填空题 · 3 分

设

f^{'} (ln x) = 1 + x

，则

f (x) =

______.

不定积分的概念与性质

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 原函数只差一个常数有一个隐含的前提：函数定义在一个区间上★ 要懂

2. 判断原函数是否存在的有力工具：含第一类间断点的函数一定没有原函数★★ 必会

3. 微分号 d 与积分号 ∫ 相消的规则，这是凑微分法的基础★★ 必会

4. 认清那些原函数不能用初等函数表示的常见函数，考场上不必在它们身上纠缠

基础例题

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随堂练习

3. 微分号 $d$ 与积分号 $\int$ 相消的规则，这是凑微分法的基础★★ 必会