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微积分基本定理与变限积分

高等数学 · 一元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 变上限积分：把定积分的上限放开，得到一个函数

定积分

\int_{a}^{b} f

是一个数。把上限换成变量

x

，就得到一个函数：

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .

积分变量必须换个字母. 写成

\int_{a}^{x} f (x) d x

是错的——同一个

x

既当上限又当积分变量，意思就乱了。习惯用

t

，这也是「定积分与积分变量字母无关」那条性质的用处。

Φ

的几何意义：从

a

到

x

这一段曲边梯形的带符号面积，随右端点

x

移动而变化。

两条基本事实：

① $Φ (a) = 0$ （上下限相同）。

② $f$ 连续时 $Φ$ 不但连续，而且可导——这正是下一条的内容。注意这是一个「变光滑」的过程：

f

只要连续，积出来的

Φ

就可导了。

2. 微积分基本定理： $Φ^{'} (x) = f (x)$

定理. 设

f

在

[a, b]

上连续，则

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

在

[a, b]

上可导，且

Φ^{'} (x) = f (x) .

这是整个微积分的枢纽：它说明变上限积分就是一个原函数，于是「求面积」（积分）与「求变化率」（求导）这两件看起来毫不相干的事，原来互为逆运算。

它同时证明了上一章提过的原函数存在定理：连续函数必有原函数，因为

Φ

就是现成的一个。

上限带复合时要用链式法则：

\frac{d}{d x} \int_{a}^{φ (x)} f (t) d t = f (φ (x)) \cdot φ^{'} (x) .

下限是变量时要变号（把它换到上限去）：

\frac{d}{d x} \int_{ψ (x)}^{b} f (t) d t = - f (ψ (x)) \cdot ψ^{'} (x) .

上下限都是变量时，拆成两个（中间插一个常数

c

）分别处理。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

这一条的「证明 / 推导」里，已经证过微积分基本定理

Φ^{'} (x) = f (x)

，即变上限积分 $Φ$ 是 $f$ 的一个原函数。

下面要证的牛顿–莱布尼茨公式，用的正是这个结论，再加上微分学那一章的一条：同一个函数的任意两个原函数只差一个常数（拉格朗日中值定理的推论）。先把那一段看懂，再动笔。设

f

在

[a, b]

上连续，

F

是

f

的任意一个原函数。请你证明牛顿–莱布尼茨公式：

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

3. 牛顿–莱布尼茨公式：积分的实用算法

定理. 设

f

在

[a, b]

上连续，

F

是

f

的任意一个原函数，则

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a),

通常记作

[F (x)]_{a}^{b}

或

F (x)_{a}^{b}

。

这条公式把定积分的计算彻底换了一副面孔：从「分割、近似、求和、取极限」变成「求原函数、代两个数、相减」。整个第三章后面的内容，算的都是它。

三件要注意的：

① 取哪个原函数都行. 加上常数

C

之后，

F (b) + C - (F (a) + C)

把

C

消掉了。所以定积分不写 $+ C$ ——这是它与不定积分最明显的区别。

② 条件是连续. 被积函数在

[a, b]

上若有间断点（尤其是无穷间断点），直接套公式会得到荒唐的结果——那属于反常积分，另有办法。

③ 代入的次序是「上减下」. 写反就差一个负号。

4. 变限积分的两种常考用法

① 求含变限积分的极限. 分子或分母是变限积分时，它在

x \to a

时通常趋于

0

（因为

Φ (a) = 0

），构成

\frac{0}{0}

型，用洛必达，求导时套基本定理。

② 研究变限积分定义的函数. 把

Φ

当普通函数，求它的单调区间、极值、凹凸—— $Φ^{'} = f$ 、 $Φ^{''} = f^{'}$ ，于是「

f

的符号」决定

Φ

的单调，「

f

的增减」决定

Φ

的凹凸。

这类题看着新，其实用的全是单调性、极值、凹凸那一套办法，只是导数由基本定理给出。

还有一个常见的坑：被积函数里含

x

时，必须先把 $x$ 提到积分号外面（或换元搬走），才能求导。例如

\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) d t,

拆开之后第一项用乘积法则，两项分别求导。直接对原式用基本定理是错的——基本定理只管被积函数里不含 $x$ 的情形。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

变限积分求导：代上限，乘导数，下限变号

第一步：确认被积函数里不含 $x$ ；含了就先提出去或换元。

第二步：把上限整块代进被积函数，再乘上限的导数。

第三步：下限是变量时，结果要加负号，同样乘下限的导数。

第四步：上下限都是变量时，中间插一个常数拆成两个，分别处理。

例例. 求

\frac{d}{d x} \int_{x}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t

。

第一步，被积函数是

e^{- t^{2}}

，里面不含 $x$ ，可以直接用基本定理。

第二步，上下限都是变量，中间插一个常数拆成两个：

\int_{x}^{x^{2}} = \int_{0}^{x^{2}} - \int_{0}^{x} .

第三步，第一项：上限整块代进被积函数，再乘上限的导数——

e^{- (x^{2})^{2}} \cdot 2 x = 2 x e^{- x^{4}} .

第四步，第二项是下限那一支，带负号：

- e^{- x^{2}}

。合起来

2 x e^{- x^{4}} - e^{- x^{2}} .

e^{- t^{2}}

没有初等原函数——这正说明这条路不是「先积出来再求导」。

算定积分：求原函数，上减下

第一步：确认被积函数在

[a, b]

上连续（有间断点要另当反常积分）。

第二步：求出一个原函数

F

（不必加

C

）。

第三步：代入算

F (b) - F (a)

，上减下。

第四步：原函数带负号或括号时，代入要整块代，别丢符号。

例例. 求

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}}

。

第一步，

\frac{1}{1 + x ^{2}}

在

[0, 1]

上连续，可以用牛顿–莱布尼茨。

第二步，求出一个原函数：

arctan x

（不必加

C

）。

第三步，上减下：

[arctan x]_{0}^{1} = arctan 1 - arctan 0 = \frac{π}{4} - 0 = \frac{π}{4} .

第四步，原函数带负号时要整块代：例如原函数是

- cos x

，要写成

[- cos x]_{0}^{1} = - cos 1 + cos 0

，那个负号对两端都生效，只给上限加负号是最常见的失手。

含变限积分的极限：验型，洛必达

第一步：代入定型。变限积分在下限处通常给出

0

，多半是

\frac{0}{0}

。

第二步：用洛必达，分子（或分母）里的变限积分用基本定理求导。

第三步：上限是复合的别忘乘内层导数。

第四步：化简，必要时再用一次或改用等价无穷小。

例例. 求

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} sin t ^{2} d t}{x ^{3}}

。

第一步，代入定型：上下限重合时分子为

0

，分母也是

0

，确认是

\frac{0}{0}

。

第二步，用洛必达。分子用基本定理求导得

sin x^{2}

，分母求导得

3 x^{2}

：

x \to 0 lim \frac{sin x ^{2}}{3 x ^{2}} .

第三步，这里上限是单独一个

x

，不必乘内层导数；若上限是

x^{2}

，这一步还要再乘

2 x

。

第四步，

sin x^{2} \sim x^{2}

，极限是

\frac{1}{3}

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

上限与积分变量用同一个字母

要写

\int_{a}^{x} f (t) d t

，不能写

\int_{a}^{x} f (x) d x

。

积分变量是哑的、做完就消失，上限那个要留下来当自变量，两者必须分开。

上限是复合函数却不乘内层导数

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} sin t d t = sin (x^{2}) \cdot 2 x

，不是

sin (x^{2})

。

上限不是单独一个 $x$ ，就是复合的，和链式法则漏乘内层导数是同一个毛病。

被积函数里含 $x$ 就直接套基本定理

\int_{0}^{x} x f (t) d t

要先把

x

提出去，再用乘积法则，结果比直接套公式多一项。

判据：被积函数里出现上限那个字母，就不能直接套。

例例. 求

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t

。

错：直接把上限代进被积函数，写成

(x - x) f (x) = 0

。

对：被积函数里出现了上限那个字母

x

，先把它提出去（对

t

积分时

x

是常数）：

\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) d t .

再求导，第一项要用乘积法则：

\int_{0}^{x} f (t) d t + x f (x) - x f (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t .

结果是

\int_{0}^{x} f

，而直接套公式得到的是

0

——差的不是一点点。

定积分写 $+ C$ 或代入次序写反

定积分是一个数，不写 $+ C$ （常数在相减时消掉了）。

代入是

F (b) - F (a)

，上减下，写反就差一个负号。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 基本定理

练 1

设

Φ (x) = \int_{0}^{x} t^{2} d t

，则

Φ^{'} (x) =

________。

练 2

设

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

，则

Φ (a) =

________。

练 3

下列写法中正确的是（）。

A $\int_{a}^{x} f (x) d x$
B $\int_{a}^{x} f (t) d t$
C $\int_{a}^{t} f (t) d t$
D $\int_{x}^{x} f (x) d x$

练 4

\int_{0}^{π} sin x d x =

________。

第二组 · 变限求导

练 5

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} sin t d t = sin (x^{2}) \cdot

________。

练 6

\frac{d}{d x} \int_{x}^{1} e^{t^{2}} d t =

（）。

A $e^{x^{2}}$
B $- e^{x^{2}}$
C $e^{x^{2}} \cdot 2 x$
D $0$

练 7

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} sin t d t}{x ^{2}} =

________。

练 8

牛顿–莱布尼茨公式中，原函数

F

（）。

A必须取 $\int_{a}^{x} f (t) d t$ 那一个
B必须满足 $F (a) = 0$
C取哪一个都行
D必须带上 $+ C$

第三组 · 综合与陷阱

练 9

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} x f (t) d t =

（）。

A $x f (x)$
B $f (x)$
C $\int_{0}^{x} f (t) d t + x f (x)$
D $\int_{0}^{x} f (t) d t$

练 10

设

Φ (x) = \int_{0}^{x} (t^{2} - 1) d t

，则

Φ

的极小值点为

x =

________。

练 11

微积分基本定理的证明用到了（）。

A罗尔定理
B积分中值定理与 $f$ 的连续性
C洛必达法则
D泰勒公式

练 12

牛顿–莱布尼茨公式的证明中，由

F (x) = Φ (x) + C

定出

C = F (a)

，用的是

Φ (a) =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

微积分基本定理与变限积分

先打基础

1. 变上限积分：把定积分的上限放开，得到一个函数

2. 微积分基本定理：Φ′(x)=f(x)

请你先证

3. 牛顿–莱布尼茨公式：积分的实用算法

4. 变限积分的两种常考用法

常用结构

变限积分求导：代上限，乘导数，下限变号

算定积分：求原函数，上减下

含变限积分的极限：验型，洛必达

基础易错

上限与积分变量用同一个字母

上限是复合函数却不乘内层导数

被积函数里含 x 就直接套基本定理

定积分写 +C 或代入次序写反

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 微积分基本定理： $Φ^{'} (x) = f (x)$

被积函数里含 $x$ 就直接套基本定理

定积分写 $+ C$ 或代入次序写反