定积分的概念与性质

高等数学 · 一元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 定积分的定义：分割、近似、求和、取极限

要算曲边梯形的面积（曲边由

y = f (x)

给出），办法是用一堆小矩形去凑：

① 分割. 把

[a, b]

分成

n

小段，第

i

段长

Δ x_{i}

。

② 近似. 在第

i

段里任取一点

ξ_{i}

，用矩形

f (ξ_{i}) Δ x_{i}

近似那一小块。

③ 求和. 全部加起来得

i = 1 \sum n f (ξ_{i}) Δ x_{i}

。

④ 取极限. 让最长的那一段趋于零（记作

λ \to 0

）。若极限存在且与分法、与 $ξ_{i}$ 的取法都无关，就记作

\int_{a}^{b} f (x) d x = λ \to 0 lim i = 1 \sum n f (ξ_{i}) Δ x_{i} .

「与取法无关」这五个字是定义的要害：正因为无关，求极限时才可以挑最省事的分法（通常是等分）和最省事的

ξ_{i}

（通常取右端点）。

定积分是一个数，不是函数. 它与积分变量用什么字母无关：

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t .

这一点在变限积分那一节会变得很要紧。

可积的充分条件：

f

在

[a, b]

上连续，或者有界且只有有限个间断点。

四个字——分割、近似、求和、取极限——画出来就是一排竖条：每根的面积是

f (ξ_{i}) Δ x_{i}

，把它们加起来，再让最宽的那根趋于零：

2. 几何意义：带符号的面积

\int_{a}^{b} f (x) d x

是曲线

y = f (x)

与

x

轴在

[a, b]

上围成的带符号的面积：

$f > 0$ 的部分记正， $f < 0$ 的部分记负。

所以定积分可以是负数，也可以是零——这是它与「面积」最要紧的区别。

\int_{- 1}^{1} x d x = 0

，因为左右两块正好抵消；而那两块的面积之和是

1

。

题目要「面积」时要写

\int ∣ f ∣

，或者分段积分再取绝对值相加。

由几何意义能直接读出两类积分，不必计算：

① 规则图形.

\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}

（三角形），

\int_{0}^{R} R^{2} - x^{2} d x = \frac{π R ^{2}}{4}

（四分之一圆）。

② 对称区间上的奇偶函数（下一条专讲）。

3. 性质：线性、可加、保号，以及对称区间那一条

线性（和不定积分一样）：

\int_{a}^{b} [α f + β g] d x = α \int_{a}^{b} f d x + β \int_{a}^{b} g d x .

区间可加性：对任意

c

（不要求在

a

与

b

之间）

\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b} .

它的依据是两条规定：

\int_{a}^{a} = 0

，以及

\int_{b}^{a} = - \int_{a}^{b}

（上下限交换要变号，这是最常被漏掉的）。

保号性：若

[a, b]

上

f \leq g

，则

\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g

。由此得一条常用的估计：

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f d x \leq M (b - a),

其中

m

、

M

是

f

在

[a, b]

上的最小值与最大值。

对称区间上的奇偶性（考场上用得最多的一条）：

\int_{- a}^{a} f (x) d x = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 2 \int_{0}^{a} f, f 为奇函数, f 为偶函数 .

看到积分限是 $[- a, a]$ ，第一件事就是查被积函数的奇偶性——奇函数直接写

0

，省掉整道题。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

这一条的「证明 / 推导」里，已经证出估计式

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)

。它只用了两步：最值定理给出 $m$ 与 $M$ ，再把 $m \leq f \leq M$ 三边同时积分。

下面这条就接着它往下走一步：把那个估计式同除

b - a

，中间那个数就夹在

m

与

M

之间了——而第一章的介值定理正好说，夹在最小值与最大值之间的数一定被某个

f (ξ)

取到。先把那一段看懂，再动笔。请你证明积分中值定理：设

f

在

[a, b]

上连续，则存在

ξ \in [a, b]

，使

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a) .

4. 估计与比较：不算出来也能比大小

有一类题不要求算出积分，只问两个积分谁大或者落在什么范围。办法全在保号性上。

比大小：在积分区间上比较两个被积函数。谁大谁的积分就大——前提是两者的积分区间相同、而且上限大于下限。

常用的比较手段：

① 幂的大小随区间变.

0 < x < 1

时

x^{2} < x

；

x > 1

时反过来。所以

\int_{0}^{1} x^{2} < \int_{0}^{1} x

，而

\int_{1}^{2} x^{2} > \int_{1}^{2} x

。

② 用熟悉的不等式.

sin x < x (x > 0)

、

e^{x} > 1 + x

、

ln (1 + x) < x

这些都是微分学那一章证过的。

估范围：用

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)

，先求

f

在区间上的最值。

最值要在闭区间上求——驻点、不可导点、两个端点，和求极值最值时一样。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用定义算积分：等分 + 右端点

第一步：把

[a, b]

等分成

n

段，每段长

\frac{b - a}{n}

。

第二步：取右端点

ξ_{i} = a + i \cdot \frac{b - a}{n}

。

第三步：写出和式，用求和公式（

\sum i = \frac{n ( n + 1 )}{2}

一类）化简。

第四步：令

n \to \infty

求极限。依据是「与分法、取法无关」。

等分

+

右端点之后，和式长成这个样子——反过来，看到

\frac{1}{n} \sum f (\frac{i}{n})

这种形状，就该想到它是

\int_{0}^{1} f

：

例例. 用定义求

\int_{0}^{1} x d x

。

第一步，把

[0, 1]

等分成

n

段，每段长

\frac{1}{n}

。

第二步，取右端点

ξ_{i} = \frac{i}{n}

。

第三步，写出和式并用求和公式化简：

i = 1 \sum n \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{2}} i = 1 \sum n i = \frac{1}{n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2 n} .

第四步，令

n \to \infty

：极限是

\frac{1}{2}

。

和几何意义对得上——底

1

高

1

的三角形，面积正是

\frac{1}{2}

。

看到对称区间：先查奇偶

第一步：确认积分限是

[- a, a]

。

第二步：把被积函数拆成几项，逐项判奇偶（整体往往既不奇也不偶）。

第三步：奇函数那几项直接写

0

。

第四步：偶函数那几项写成

2 \int_{0}^{a}

，再算。

例例. 求

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + x^{2}) d x

。

第一步，积分限是

[- 1, 1]

，对称。

第二步，整体既不是奇函数也不是偶函数，先拆项：

x^{3}

是奇的，

x^{2}

是偶的。

第三步，奇的那一项直接写

0

。

第四步，偶的那一项写成两倍：

2 \int_{0}^{1} x^{2} d x = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} .

硬算也能做，但多一倍的笔。

比大小 / 估范围：都落在保号性上

比大小：确认区间相同且

a < b

，再在区间上比较两个被积函数。

估范围：求

f

在闭区间上的最值

m

、

M

（驻点 + 不可导点 + 端点）。

代入：

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)

。

注意：上下限顺序反了，不等号要跟着翻。

例例. 估计

\int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x

的范围。

第一步，区间是

[0, 1]

，上限大于下限，保号性可以直接用。

第二步，求

f (x) = e^{x^{2}}

在闭区间

[0, 1]

上的最值：它单调增，故

m = f (0) = 1

、

M = f (1) = e

。

第三步，代入估值式：

1 \cdot (1 - 0) \leq \int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x \leq e \cdot (1 - 0) .

即

1 \leq I \leq e

。

这个积分没有初等原函数，算不出来——但范围照样给得出，这正是估值式的用处。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把定积分当成面积

定积分是带符号的面积，

x

轴下方的部分记负。

\int_{- 1}^{1} x d x = 0

，而那两块的面积之和是

1

。

题目问面积就要写

\int ∣ f ∣

或分段积分取绝对值。

对称区间不查奇偶，硬算

积分限是

[- a, a]

时，第一件事是查被积函数的奇偶性，奇函数直接写

0

，一步省掉整道题。

整体不奇不偶时先拆项，每一项通常都好判。

上下限交换忘了变号

\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f

。换元之后积分限跟着换，顺序弄反就差一个负号。

比大小时也要先看顺序：

a > b

的话保号性的不等号要翻过来。

积分中值定理的 $ξ$ 写成开区间

积分中值定理给出的是

ξ \in [a, b]

（闭区间），因为它用的是介值定理。

零点定理给的才是开区间

(a, b)

。两条定理的结论区间不同，别抄混。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 定义与几何意义

练 1

\int_{0}^{1} x d x =

________。

练 2

\int_{- 1}^{1} x d x =

（）。

A $1$
B $\frac{1}{2}$
C $0$
D $2$

练 3

\int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x =

________（用

π

表示）。

练 4

\int_{b}^{a} f (x) d x =

（）。

A $\int_{a}^{b} f (x) d x$
B $- \int_{a}^{b} f (x) d x$
C $0$
D $\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$

第二组 · 用性质

练 5

\int_{- 2}^{2} x^{3} cos x d x =

________。

练 6

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x =

________。

练 7

下列比较中正确的是（）。

A $\int_{0}^{1} x d x < \int_{0}^{1} x^{2} d x$
B $\int_{1}^{2} x d x > \int_{1}^{2} x^{2} d x$
C $\int_{0}^{1} x^{2} d x < \int_{0}^{1} x d x$
D两个区间上结论相同

练 8

设

f

在

[0, 2]

上满足

1 \leq f (x) \leq 3

，则

\int_{0}^{2} f (x) d x

的最小可能值是 ________。

第三组 · 概念辨析

练 9

关于定积分

\int_{a}^{b} f (x) d x

，下列说法正确的是（）。

A它是 $x$ 的函数
B它是一个数，与积分变量的字母无关
C它一定非负
D它等于曲边梯形的面积

练 10

积分中值定理

\int_{a}^{b} f = f (ξ) (b - a)

中，

ξ

属于（）。

A $(a, b)$
B $[a, b)$
C $(a, b]$
D $[a, b]$

练 11

f

在

[a, b]

上的平均值等于

1 \int_{a}^{b} f (x) d x

，横线上填 ________。

练 12

用定义算

\int_{0}^{1} x d x

时取「等分 + 右端点」，依据是（）。

A右端点算出来的值最准
B定积分的值与分法、 $ξ_{i}$ 的取法无关
C等分是唯一允许的分法
D只有取右端点时和式才收敛

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

定积分的概念与性质

先打基础

1. 定积分的定义：分割、近似、求和、取极限

2. 几何意义：带符号的面积

3. 性质：线性、可加、保号，以及对称区间那一条

请你先证

4. 估计与比较：不算出来也能比大小

常用结构

用定义算积分：等分 + 右端点

看到对称区间：先查奇偶

比大小 / 估范围：都落在保号性上

基础易错

把定积分当成面积

对称区间不查奇偶，硬算

上下限交换忘了变号

积分中值定理的 ξ 写成开区间

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

积分中值定理的 $ξ$ 写成开区间