定积分的计算

高等数学 · 一元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 定积分换元：积分限要跟着换，而且不必回代

设

x = φ (t)

把

[α, β]

映到

[a, b]

（

φ (α) = a

、

φ (β) = b

），则

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t .

与不定积分的换元比，有两处不同，一处省事、一处添事：

省事的：不必回代. 积分限一换，算出来就是个数，不用再换回

x

。

添事的：积分限必须跟着换. 换了变量不换限，是这一节最常见、也最致命的错——算出来的数会完全不对，而过程看着很顺。

口诀是「换元必换限，换限不回代」。

换限的办法：把原来的上下限代进

t

与

x

的关系式，解出新的限。新的上下限不一定比原来大——

x = cos t

这类递减的换元会把顺序颠过来，照写即可（定积分允许上限小于下限）。

2. 定积分的分部积分

\int_{a}^{b} u d v = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u .

和不定积分一样，挑

u

仍按「反对幂三指」。唯一多出来的是 $uv$ 那一项要立刻代入上下限算成一个数。

两条实用的：

① 先把 $[uv]_{a}^{b}$ 算出来再往下走. 它常常等于

0

（例如

u

在某个端点为零），一算出来后面就轻了。

② 剩下的积分还可以再分部. 幂次是几就用几次，和不定积分一样。

最容易丢分的是那个方括号：写成

uv - \int v d u

而忘了代限，最后答案里混着一个带

x

的项，一看就不对。

3. 对称性与周期性：先看一眼能不能省掉整道题

动笔算之前，先花三秒看两件事。

① 积分限对称 $[- a, a]$ ：查被积函数的奇偶。奇则为

0

，偶则折半算两倍。整体不奇不偶时先拆项。

② 被积函数有周期 $T$ ：则在任何一个长为 $T$ 的区间上积分值都相同，

\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x .

于是

\int_{0}^{n T} f = n \int_{0}^{T} f

，长区间立刻缩成一个周期。

还有一条很好用的换元恒等式（区间再现）：

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (a - x) d x .

令

t = a - x

即得。它的用处是：把被积函数换个样子之后，与原式相加常常能消成一个好算的式子。

\int_{0}^{π /2} \frac{sin x}{sin x + cos x} d x

就是这么做的——换元后两式相加得

\int_{0}^{π /2} 1 d x = \frac{π}{2}

，故原式为

\frac{π}{4}

。

4. 分段函数与带绝对值的积分：按分界点拆开

被积函数分段，或者带绝对值、带

max / min

、带取整时，一律先找分界点，按区间可加性拆开，每段用各自的表达式。

\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b} .

找分界点的办法：

① 分段函数：题目给的分界点。

② 带 $∣ g (x) ∣$ ：解

g (x) = 0

，根就是分界点；在每段上按

g

的符号脱绝对值。

③ 带 $max (f, g)$ ：解

f = g

，根是分界点；每段上取大的那个。

脱绝对值时符号别弄反：

g < 0

的那一段

∣ g ∣ = - g

。

另外，分界点落在积分区间之外时就不必拆——

\int_{1}^{2} ∣ x ∣ d x

里

x

恒正，直接去掉绝对值即可。先看分界点在不在区间内，能省一半功夫。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

定积分换元：换元必换限，换限不回代

第一步：设出换元关系，写出

d x = φ^{'} (t) d t

。

第二步：在同一行把新的上下限写出来——把原限代进关系式解出。

第三步：换完之后整个式子里只剩

t

，按新限积分。

第四步：算出一个数，不必回代。

例例. 求

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x}

。

第一步，设

x = t

，即

x = t^{2}

，

d x = 2 t d t

。

第二步，就在同一行把限换掉：

x = 0

时

t = 0

，

x = 1

时

t = 1

。

第三步，换完整个式子里只剩

t

：

\int_{0}^{1} \frac{2 t}{1 + t} d t = 2 \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{1 + t}) d t = 2 [t - ln (1 + t)]_{0}^{1} .

第四步，算出一个数

2 (1 - ln 2)

，不必回代回 $x$ ——这是定积分换元比不定积分省的那一步。

动笔前先看三样，能省就省

第一样：积分限是不是

[- a, a]

——是就查奇偶（先拆项）。

第二样：被积函数有没有周期——有就把区间平移或缩成一个周期。

第三样：是不是

\int_{0}^{a}

的形状——试一下

x \to a - x

再相加。

三样都不中，才老实算。

例例. 求

\int_{- π /2}^{π /2} (x^{5} cos x + sin^{2} x) d x

。

第一样，积分限是

[- a, a]

，先拆项查奇偶：

x^{5} cos x

是奇函数（奇

\times

偶），

sin^{2} x

是偶函数。

奇的那项直接记 $0$ 。

第二样，偶的那项写成两倍：

2 \int_{0}^{π /2} sin^{2} x d x = 2 \int_{0}^{π /2} \frac{1 - cos 2 x}{2} d x = 2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2} .

第三样用不上了（这题不是

\int_{0}^{a}

的形状）。

硬算第一项要用两次分部积分，而看出它是奇函数只要一秒。

分段 / 绝对值：找分界点，拆区间

第一步：找分界点——分段函数的给定点，或解

g (x) = 0

、

f = g

。

第二步：看分界点在不在积分区间内，不在就不必拆。

第三步：按分界点拆成几个积分，每段脱绝对值（注意负号）或取相应表达式。

第四步：分别算，再相加。

例例. 求

\int_{- 1}^{2} ∣ x ∣ d x

。

第一步，找分界点：

∣ x ∣

在

x = 0

处换表达式。

第二步，

0

落在

[- 1, 2]

内，所以必须拆。

第三步，分段脱绝对值——

x < 0

时

∣ x ∣ = - x

，

x \geq 0

时

∣ x ∣ = x

：

\int_{- 1}^{0} (- x) d x + \int_{0}^{2} x d x = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} .

第四步，相加得

\frac{5}{2}

。

不拆直接写

[\frac{x ^{2}}{2}]_{- 1}^{2} = \frac{3}{2}

是错的——那等于把

x < 0

那块的面积记成了负的。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

换元不换限

这是本节最致命的错：算出来的数完全不对，而过程看着毫无破绽。

防住它只能靠习惯：写下

d x = \dots d t

的同一行，就把新限写出来。

例例. 求

\int_{0}^{2} 2 x e^{x^{2}} d x

，令

u = x^{2}

。

错：换元后限照抄——

\int_{0}^{2} e^{u} d u = e^{2} - 1

。

对：

x = 0 \Rightarrow u = 0

，

x = 2 \Rightarrow u = 4

，新限是

0

到

4

：

\int_{0}^{4} e^{u} d u = e^{4} - 1.

两个答案差了

e^{4} - e^{2} \approx 47

。

这个错最阴的地方：若原题的限恰好是

0

到

1

，换元后

u

也是

0

到

1

，照抄反而「对」——于是习惯养成了，换个限就翻车。防住它只能靠动作：写下

d u = 2 x d x

的同一行就把新限写出来。

分部积分漏掉 $[uv]_{a}^{b}$ 的方括号

定积分的分部要把

uv

当场代入上下限。

漏了之后答案里会留着带

x

的项，而定积分应当是一个数——收笔前扫一眼有没有 $x$ ，这是能自查的。

例例. 求

\int_{0}^{1} x e^{x} d x

。

错：照不定积分的样子写成

x e^{x} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = x e^{x} - (e - 1)

。

答案里还留着

x

——而定积分是一个数，这一眼就该发现。

对：

uv

要当场代入上下限：

\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1.

收笔前扫一眼答案里有没有 $x$ ，这是能自查的。

带绝对值不拆就积

\int_{- 1}^{2} ∣ x ∣ d x = \frac{5}{2}

，而按

[\frac{x ^{2}}{2}]_{- 1}^{2}

算只得

\frac{3}{2}

。

被积函数在区间内换过表达式，就一定要按分界点拆开。

对称区间不查奇偶，硬算

\int_{- π}^{π} x^{3} cos x d x

硬算要用两次分部，而看出它是奇函数只要一秒。

动笔前先看一眼积分限和奇偶性，这是性价比最高的三秒。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 换元与分部

练 1

定积分换元时，下列说法正确的是（）。

A积分限要跟着换，换完不必回代
B积分限不变，最后要回代
C积分限要换，最后还要回代
D积分限不变，也不必回代

练 2

\int_{0}^{1} x d x =

________。

练 3

求

\int_{0}^{4} \frac{d x}{x + 1}

时令

t = x

，则新的积分上限是 ________。

练 4

定积分的分部积分公式是（）。

A $\int_{a}^{b} u d v = uv - \int_{a}^{b} v d u$
B $\int_{a}^{b} u d v = [uv]_{a}^{b} + \int_{a}^{b} v d u$
C $\int_{a}^{b} u d v = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u$
D $\int_{a}^{b} u d v = [uv]_{a}^{b}$

第二组 · 先看对称与周期

练 5

\int_{- π}^{π} x^{3} cos x d x =

________。

练 6

\int_{0}^{1} x e^{x} d x =

________。

练 7

设

f

以

T

为周期，则

\int_{a}^{a + T} f (x) d x

（）。

A与 $a$ 有关
B等于 $0$
C等于 $T$ 倍的 $f (a)$
D与 $a$ 无关，等于 $\int_{0}^{T} f$

练 8

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x =

________。

第三组 · 分段与综合

练 9

\int_{- 1}^{2} ∣ x ∣ d x =

（）。

A $\frac{5}{2}$
B $\frac{3}{2}$
C $2$
D $\frac{1}{2}$

练 10

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x + 1} = 2 - 2 ln

________。

练 11

恒等式

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (a - x) d x

由（）得到。

A分部积分
B奇偶性
C周期性
D换元 $t = a - x$

练 12

\int_{1}^{2} ∣ x ∣ d x =

________（结果用分数）。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

定积分的计算

先打基础

1. 定积分换元：积分限要跟着换，而且不必回代

2. 定积分的分部积分

3. 对称性与周期性：先看一眼能不能省掉整道题

4. 分段函数与带绝对值的积分：按分界点拆开

常用结构

定积分换元：换元必换限，换限不回代

动笔前先看三样，能省就省

分段 / 绝对值：找分界点，拆区间

基础易错

换元不换限

分部积分漏掉 [uv]ab​ 的方括号

带绝对值不拆就积

对称区间不查奇偶，硬算

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

分部积分漏掉 $[uv]_{a}^{b}$ 的方括号