反常（广义）积分

§3.7 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.03 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

3.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）定积分的概念与性质微积分基本定理与变限积分③ 掌握后可解锁正项级数的判别法

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 两个基准积分： $\int_{1}^{+ \infty} x^{- p}$ 与 $\int_{0}^{1} x^{- p}$ 的收敛条件恰好相反★★ 必会

判断反常积分敛散性的基准就是下面两个积分。无穷限的情形：

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}

当

p > 1

时收敛，

p \leq 1

时发散；瑕点在 $0$ ：

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}}

当

p < 1

时收敛，

p \geq 1

时发散。分界点都是

p = 1

，但收敛的一侧恰好相反，这一点最容易混淆，也是考查的重点。可以这样理解：在

+ \infty

处要使面积有限，函数必须衰减得足够快，即

p

较大；在瑕点

0

处要使面积有限，函数趋于无穷必须足够慢，即

p

较小。

证明 / 推导

无穷限的情形（设

p \neq = 1

）：

\int_{1}^{b} x^{- p} d x = [\frac{x ^{1 - p}}{1 - p}]_{1}^{b} = \frac{b ^{1 - p} - 1}{1 - p}

。

b \to + \infty

时，

p > 1 \Rightarrow 1 - p < 0 \Rightarrow b^{1 - p} \to 0

，极限

= \frac{1}{p - 1}

（收敛）；

p < 1 \Rightarrow b^{1 - p} \to + \infty

（发散）。

p = 1

时

\int_{1}^{b} \frac{d x}{x} = ln b \to + \infty

（发散）。
瑕点 $0$ （设

p \neq = 1

）：

\int_{ε}^{1} x^{- p} d x = \frac{1 - ε ^{1 - p}}{1 - p}

。

ε \to 0^{+}

时，

p < 1 \Rightarrow ε^{1 - p} \to 0

，极限

= \frac{1}{1 - p}

（收敛）；

p > 1 \Rightarrow ε^{1 - p} \to + \infty

（发散）。

p = 1

时

- ln ε \to + \infty

（发散）。

■

举例说明

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{3/2}}

：

p = \frac{3}{2} > 1

，收敛（积分值为

\frac{1}{3/2 - 1} = 2

）；而

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{3/2}}

：

p = \frac{3}{2} \geq 1

，发散。同一个函数

\frac{1}{x ^{3/2}}

，在无穷远处的积分收敛，而在瑕点处的积分发散，可见两者的收敛条件恰好相反。

2. 判定敛散性的主要工具：比较判别法及其极限形式★★ 必会

多数题目只要求判定敛散性，不要求求出积分值。基本方法是把所给的积分与基准

\frac{1}{x ^{p}}

相比较。比较判别法：设

0 \leq f \leq g

，

\int g

收敛，则

\int f

收敛，

\int f

发散，则

\int g

发散。更便于使用的是极限形式：如果

lim \frac{f ( x )}{1/ x ^{p}} = ℓ \in (0, + \infty)

，那么

\int f

与

\int x^{- p}

同时收敛或同时发散。使用时，先在

+ \infty

处或瑕点附近找出

f

的主要部分，定出相应的

p

，再用上面的基准结论。

证明 / 推导

证. 先证比较判别法，以无穷限的情形为例。设

f, g

在

[a, + \infty)

上连续，且

0 \leq f (x) \leq g (x)

。令

F (b) = \int_{a}^{b} f (x) d x .

因

f \geq 0

，故

b

增大时

F (b)

不减，即

F

单调增加。又由

f \leq g

与定积分的保号性，得

F (b) \leq \int_{a}^{b} g (x) d x \leq \int_{a}^{+ \infty} g (x) d x = M,

其中

M

是有限的数，这是因为

\int_{a}^{+ \infty} g

收敛。于是

F

单调增加而有上界。由单调有界准则，

lim_{b \to + \infty} F (b)

存在，即

\int_{a}^{+ \infty} f

收敛。后一半是它的逆否命题：如果

\int f

发散，那么

\int g

不能收敛，否则由已证的部分

\int f

就要收敛。
再证极限形式。设

f \geq 0

，且

x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{1/ x ^{p}} = ℓ

，其中

0 < ℓ < + \infty

。取

ε = \frac{ℓ}{2} > 0

。由极限的定义，存在

X \geq a

，使当

x > X

时

\frac{ℓ}{2} \cdot \frac{1}{x ^{p}} < f (x) < \frac{3 ℓ}{2} \cdot \frac{1}{x ^{p}} .

如果

\int_{X}^{+ \infty} x^{- p} d x

收敛，那么由右端的不等式与比较判别法，

\int_{X}^{+ \infty} f

收敛。如果

\int_{X}^{+ \infty} x^{- p} d x

发散，那么由左端的不等式与比较判别法，

\int_{X}^{+ \infty} f

发散。而

f

在

[a, X]

上的积分是一个有限的数，改变下限并不影响敛散性。因此

\int_{a}^{+ \infty} f

与

\int_{a}^{+ \infty} x^{- p} d x

同敛散。这就证明了比较判别法及其极限形式。
边界情形必须注意. 如果

ℓ = 0

，那么只能由

\int x^{- p}

收敛推出

\int f

收敛。如果

ℓ = + \infty

，那么只能由

\int x^{- p}

发散推出

\int f

发散。这两种情形都不能反过来使用。此外，以上讨论都要求

f

保持定号。如果

f

变号，那么

F (b)

不再单调，单调有界准则就用不上，这时应当先考察

\int ∣ f ∣

。瑕积分的情形只须把

x \to + \infty

换成

x

趋于瑕点，讨论与此相类似。

■

举例说明

判断

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{3} + 1}

。当

x \to + \infty

，

\frac{1}{x ^{3} + 1}

的主要部分是

\frac{1}{x ^{3/2}}

。用极限形式，得

x \to + \infty lim \frac{1/ x ^{3} + 1}{1/ x ^{3/2}} = x \to + \infty lim \frac{x ^{3/2}}{x ^{3} + 1} = x \to + \infty lim \frac{1}{1 + x ^{- 3}} = 1 \in (0, + \infty) .

所以它与

\int_{1}^{+ \infty} x^{- 3/2} d x

（

p = \frac{3}{2} > 1

时收敛）同时收敛或同时发散，因此原积分收敛。整个过程并没有求出积分的具体值。

3. 判别区间内部的瑕点是计算瑕积分的第一步，遗漏就会得出错误的结果★ 要懂

计算反常积分时，第一步总是先找出瑕点：分母在区间内是否为零？是否出现

ln 0

、

tan \frac{π}{2}

这样的情形？如果瑕点在区间内部而被忽视，就会把发散的积分算出一个有限的数值，所得结果往往明显不合理，例如被积函数为正而积分值为负。对于内部瑕点

c \in (a, b)

，必须把积分拆成 $\int_{a}^{c} + \int_{c}^{b}$ ，两段都收敛时才算收敛；对于无穷区间上的

\int_{- \infty}^{+ \infty}

，同样要拆成两段，且各段分别收敛，不能用对称的主值

lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{R}

来代替。

举例说明

考察

\int_{0}^{2} \frac{d x}{( x - 1 ) ^{2}}

。被积函数在

x = 1 \in (0, 2)

处无界，这是区间内部的瑕点，必须拆开：

\int_{0}^{2} \frac{d x}{( x - 1 ) ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{( x - 1 ) ^{2}} + \int_{1}^{2} \frac{d x}{( x - 1 ) ^{2}} .

前一段

\int_{0}^{1} \frac{d x}{( x - 1 ) ^{2}} = ε \to 0^{+} lim [- \frac{1}{x - 1}]_{0}^{1 - ε} = ε \to 0^{+} lim (\frac{1}{ε} - 1) = + \infty

，它已经发散，所以原积分发散。如果忽视了瑕点而直接用牛顿-莱布尼茨公式，就会得到

[- \frac{1}{x - 1}]_{0}^{2} = - 2

。被积函数为正而积分值为负，这本身就说明所得的结果是错误的。

4. $\int_{0}^{+ \infty} x^{n} e^{- x} d x = n!$ ：用分部积分建立递推，逐次降低幂次★ 要懂

这一积分（即伽马函数在正整数处的值）在反常积分以及以后的应用中反复出现，它的证法同样应当掌握。关键是用分部积分建立递推关系

I_{n} = n I_{n - 1}

：每作一次分部积分，就把幂次

x^{n}

降低一次，同时分离出系数

n

；再由

I_{0} = 1

逐步递降，即得

n!

。其中已积出的项之所以为零，是因为指数函数的衰减快于多项式的增长。

证明 / 推导

记

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} x^{n} e^{- x} d x

。用分部积分法（取

u = x^{n}, d v = e^{- x} d x, v = - e^{- x}

），得

I_{n} = [- x^{n} e^{- x}]_{0}^{+ \infty} + n \int_{0}^{+ \infty} x^{n - 1} e^{- x} d x .

先看已积出的项。当

x \to + \infty

时

\frac{x ^{n}}{e ^{x}} \to 0

，因为指数函数的增长快于多项式；当

x = 0

时它也等于

0

，所以这一项

= 0

，于是得递推关系

I_{n} = n I_{n - 1}

。又

I_{0} = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x} d x = 1

。逐次递降，得

I_{n} = n (n - 1) \dots 1 \cdot I_{0} = n!

。

■

举例说明

\int_{0}^{+ \infty} x^{3} e^{- x} d x = 3! = 6

。如果遇到

\int_{0}^{+ \infty} x^{2} e^{- 2 x} d x

，先换元

u = 2 x

，则原积分

= \int_{0}^{+ \infty} \frac{( u /2 ) ^{2} e ^{- u}}{2} d u = \frac{1}{8} \int_{0}^{+ \infty} u^{2} e^{- u} d u = \frac{2 !}{8} = \frac{1}{4}

。

💡 小知识

加百利号角悖论：把

y = 1/ x (x \geq 1)

绕

x

轴旋转，得到一只无限长的小号，它的体积是有限的（

= π

），表面积却是无穷大。于是有限的油漆能把它灌满，却永远刷不完它的内壁。收敛与发散之间这样大的差别，就藏在

1/ x^{2}

与

1/ x

之间的那一线上。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 计算无穷限反常积分

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}}

。难度 1

无穷限反常积分的定义是「先积到

b

，再令

b \to + \infty

」：

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}} = b \to + \infty lim \int_{1}^{b} x^{- 2} d x = b \to + \infty lim [- \frac{1}{x}]_{1}^{b} = b \to + \infty lim (- \frac{1}{b} + 1) = 1.

极限存在（有限），故积分收敛，值为

1

。
方法总结：无穷限积分

=

先算定积分

F (b) - F (a)

，再取

lim_{b \to + \infty} F (b)

。这里

p = 2 > 1

，与「标尺」

\int_{1}^{+ \infty} x^{- p} d x

（

p > 1

收敛）一致。

例 2 计算瑕积分

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x}

。难度 2

先找瑕点：被积函数

\frac{1}{x}

在

x = 0

处趋于无穷，

x = 0

是瑕点（在端点）。按定义对瑕点取单侧极限：

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = ε \to 0^{+} lim \int_{ε}^{1} x^{- 1/2} d x = ε \to 0^{+} lim [2 x]_{ε}^{1} = ε \to 0^{+} lim (2 - 2 ε) = 2.

收敛，值为

2

。
方法总结：瑕积分

=

把瑕点端换成

ε

、算完取极限。这里

p = \frac{1}{2} < 1

，与「标尺」

\int_{0}^{1} x^{- p} d x

（

p < 1

收敛）一致。

例 3 计算

\int_{0}^{+ \infty} x e^{- x} d x

。难度 2

先求不定积分（分部，取

u = x, d v = e^{- x} d x, v = - e^{- x}

）：

\int x e^{- x} d x = - x e^{- x} - e^{- x} = - (x + 1) e^{- x}

。再取上限极限：

\int_{0}^{+ \infty} x e^{- x} d x = b \to + \infty lim [- (x + 1) e^{- x}]_{0}^{b} = b \to + \infty lim (- \frac{b + 1}{e ^{b}} + 1) = 1.

（用了

lim_{b \to + \infty} \frac{b + 1}{e ^{b}} = 0

，指数增长快过多项式。）
方法总结：这正是公式

\int_{0}^{+ \infty} x^{n} e^{- x} d x = n!

在

n = 1

的情形（

1! = 1

）。难点常在求上限处的极限。

例 4 判断

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x}

的敛散性。难度 2

先找瑕点：

\frac{1}{x}

在

x = 0

趋于无穷，

x = 0

是瑕点。按定义：

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = ε \to 0^{+} lim \int_{ε}^{1} \frac{d x}{x} = ε \to 0^{+} lim [ln x]_{ε}^{1} = ε \to 0^{+} lim (0 - ln ε) = + \infty.

极限为

+ \infty

，故积分发散。
方法总结：这是「标尺」

\int_{0}^{1} x^{- p} d x

在

p = 1

的临界情形——恰好发散。记牢：瑕点在

0

处，

p < 1

才收敛，

p = 1

已发散。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

设

p

为常数，若反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{arctan x}{x ^{p} ( x + 1 )} d x

收敛，则

p

的取值范围是 ______。

2025 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

设

\int_{1}^{+ \infty} \frac{a}{x ( 2 x + a )} d x = ln 2

，则

a =

______。

2024 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

\int_{2}^{+ \infty} \frac{5}{x ^{4} + 3 x ^{2} - 4} d x =

______。

2023 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知平面区域

D = {(x, y) 0 \leq y \leq \frac{1}{x 1 + x ^{2}}, x \geq 1}

。（Ⅰ）求

D

的面积；（Ⅱ）求

D

绕

x

轴旋转所成旋转体的体积。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

反常积分

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}

收敛的充要条件是（　　）

A $p < 1$
B $p \leq 1$
C $p > 1$
D $p \geq 1$

练习 2 · 填空题

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} d x =

______

练习 3 · 选择题

瑕积分

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}}

（瑕点在

x = 0

）收敛的充要条件是（　　）

A $p < 1$
B $p > 1$
C $p \geq 1$
D $p > 0$

练习 4 · 填空题

\int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x} d x =

______

练习 5 · 选择题

关于

\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}

，下列正确的是（　　）

A收敛，值为 $- 2$
B收敛，值为 $2$
C发散
D收敛，值为 $0$

练习 6 · 选择题

反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{p}}{1 + x ^{2}} d x

收敛的充要条件是（　　）。

A $p < 1$
B $p > - 1$
C $- 1 < p < 1$
D $- 1 < p < 2$

练习 7 · 填空题

\int_{0}^{2} \frac{d x}{∣ x - 1∣} =

______

练习 8 · 解答题

设

f (x) = \int_{x}^{+ \infty} \frac{d t}{t ( 1 + t )}, x > 0.

(1) 说明对每个

x > 0

上述反常积分都收敛，并求出

f (x)

的表达式；

(2) 判断

\int_{0}^{1} f (x) d x

的敛散性；若收敛，求其值；

(3) 判断

\int_{1}^{+ \infty} f (x) d x

的敛散性，并说明理由。

2019 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

求曲线

y = e^{- x} sin x (x \geq 0)

与

x

轴之间图形的面积.

2013 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

\int_{1}^{+ \infty} \frac{ln x}{( 1 + x ) ^{2}} d x =

______.

反常（广义）积分

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 两个基准积分：∫1+∞​x−p 与 ∫01​x−p 的收敛条件恰好相反★★ 必会

2. 判定敛散性的主要工具：比较判别法及其极限形式★★ 必会

3. 判别区间内部的瑕点是计算瑕积分的第一步，遗漏就会得出错误的结果★ 要懂

4. ∫0+∞​xne−xdx=n!：用分部积分建立递推，逐次降低幂次★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 两个基准积分： $\int_{1}^{+ \infty} x^{- p}$ 与 $\int_{0}^{1} x^{- p}$ 的收敛条件恰好相反★★ 必会

4. $\int_{0}^{+ \infty} x^{n} e^{- x} d x = n!$ ：用分部积分建立递推，逐次降低幂次★ 要懂