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定积分物理应用（功、压力、引力）

高等数学 · 一元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 变力做功： $d W = F d s$

恒力做功是

W = F s

。力随位置变化时，用微元法：

d W = F (x) d x, W = \int_{a}^{b} F (x) d x .

在一小段上把力当作常数——这就是微元法的全部思想。

两类常考的：

① 弹簧. 胡克定律

F = k x

（

x

是伸长量），把弹簧从

a

拉到

b

做功

W = \int_{a}^{b} k x d x = \frac{k}{2} (b^{2} - a^{2}) .

$x$ 是伸长量，不是弹簧长度——这是最常见的设错。

② 抽水. 把容器里的水抽到某个高度，把水按深度切成一层层薄片，每层单独算：

d W = ρ g \cdot A (x) d x \cdot h (x),

其中

A (x)

是该层的截面积、

h (x)

是这一层要被提升的高度。

抽水题的难点全在 $h (x)$ 上：它是「这一层现在在哪儿」到「要送到哪儿」的距离，随层而变。先把坐标原点定在哪儿写清楚，

h (x)

才写得对。

2. 水压力： $d P = ρ g x \cdot b (x) d x$

液体内部某点的压强只与深度有关：

p = ρ g x

（

x

是深度）。压强随深度变，所以竖直放置的闸门受的压力要积分。

取深度为

x

处的一条水平细条，宽

b (x)

、高

d x

，这一条上各点的深度都近似是

x

，故压强近似是常数：

d P P = 压强 ρ g x \cdot 面积 b (x) d x, = ρ g \int_{a}^{b} x b (x) d x .

为什么取水平细条：只有水平的条上深度才一致，压强才能当常数提出来。取竖直条就不行了——微元的取法由「哪个方向上量是均匀的」决定。

$x$ 是深度，从水面往下量. 坐标原点若取在别处，要把

x

换算成深度。这和抽水题是同一个讲究：先把坐标系写清楚。

b (x)

由闸门的形状给出：矩形是常数，三角形、半圆要按几何关系写出来。

3. 引力与其他：都是同一套微元法

引力. 质点与细棒之间的引力，把棒切成小段，每小段当质点用万有引力公式，再积起来：

d F = \frac{G m d M}{r ^{2} ( x )},

其中

d M = λ d x

（

λ

是线密度）、

r (x)

是那一小段到质点的距离。

引力是矢量，严格说要分解到坐标轴上再分别积分。考研里多数只考「质点在棒的延长线上」这种同向的情形，可以直接相加；题目若把质点放在棒的垂直平分线上，就要取分量（通常由对称性只剩一个方向）。

其他常见的量，模式完全一样：

质量 平均值 路程 d m = ρ (x) d x \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} ∣ v (t) ∣ d t

路程那一条的绝对值别漏：位移是

\int v

，路程是

\int ∣ v ∣

，物体折返时两者不同——和「定积分不是面积」是同一件事。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

物理应用通法：定坐标，取微元，写出一小片

第一步：画图，把坐标原点和正方向写在卷面上。

第二步：取微元——取在「那个量近似均匀」的方向上（抽水、压力都取水平薄层/细条）。

第三步：写出这一小片对应的量（

d W

、

d P

、

d F

），其中随位置变的因子要写成

x

的函数。

第四步：定积分限（由几何决定），积分，带单位作答。

例例. 一个高

3 m

、底半径

1 m

的圆柱形容器装满水，把水全部抽到桶口要做多少功？（取

ρ = 1000 kg/ m^{3}

，

g = 9.8 m/ s^{2}

）

第一步，把坐标写在卷面上：取桶底为原点，

x

轴竖直向上，水面在

x = 3

。

第二步，取水平薄层——同一层里每一点要提升的高度相同，这个量才近似均匀。

第三步，这一层厚

d x

，体积

π \cdot 1^{2} d x

，重量

ρ g π d x

；它要提升的高度是

3 - x

（由第一步的坐标决定）：

d W = ρ g π (3 - x) d x .

第四步，积分并带单位：

W = ρ g π \int_{0}^{3} (3 - x) d x = ρ g π \cdot \frac{9}{2} \approx 1.39 \times 1 0^{5} J .

弹簧做功： $x$ 是伸长量

第一步：设

x

为伸长量（不是弹簧长度），写一句说明。

第二步：由胡克定律

F = k x

。

第三步：积分限是伸长量的始末值，从原长拉起时下限是

0

。

第四步：

W = \frac{k}{2} (b^{2} - a^{2})

，带单位。

例例. 弹簧原长

10 cm

，用

5 N

的力可以把它拉到

12 cm

。求从原长拉到

15 cm

所做的功。

第一步，设

x

为伸长量（单位：米）——写下这一句，后面就不会把长度当成伸长量。

第二步，定

k

：拉到

12 cm

时伸长

0.02 m

，由

F = k x

得

5 = k \times 0.02

，故

k = 250 N/m

。

第三步，积分限是伸长量的始末值：从原长拉起，下限是

0

；拉到

15 cm

时伸长

0.05 m

。

第四步，

W = \int_{0}^{0.05} 250 x d x = \frac{250}{2} \times (0.05)^{2} = 0.3125 J .

若把积分限写成

0.10 \to 0.15

（当成了长度），答案会大出一截。

路程 / 总量：先找变号点

第一步：看题目问的是「位移」还是「路程」（带不带符号）。

第二步：问路程就解

v (t) = 0

，找出变号点。

第三步：按变号点拆区间，每段脱绝对值（

v < 0

的那段取

- v

）。

第四步：分别积分再相加。

例例. 质点沿直线运动，速度

v (t) = t - 2

（

m/s

）。求

0 \leq t \leq 3

内的位移与路程。

第一步，看清问的是哪个：位移带符号，路程不带。

第二步，问路程就先解

v (t) = 0

，得

t = 2

，它落在

[0, 3]

内，所以要拆。

第三步，位移直接积：

\int_{0}^{3} (t - 2) d t = \frac{9}{2} - 6 = - \frac{3}{2} m,

负号表示净位移朝负方向。

路程按

t = 2

拆开，前一段

v < 0

取

- v

：

\int_{0}^{2} (2 - t) d t + \int_{2}^{3} (t - 2) d t = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} m .

第四步，两者不同（

- \frac{3}{2}

对

\frac{5}{2}

），差别正来自中途那次折返。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

弹簧题把长度当伸长量

胡克定律

F = k x

里的

x

是伸长量。原长

10 cm

拉到

20 cm

，积分限是

0 \to 0.1

，不是

0.1 \to 0.2

。

设变量时写一句「

x

为伸长量」就能防住。

抽水题的提升高度写错

h (x)

是这一层到目标高度的距离，随层而变。

先把坐标原点和正方向写在卷面上，

h (x)

才写得对。坐标系没交代清楚，这一项就是蒙的。

例例. 高

3 m

的圆柱形水桶装满水，只把上半桶（最上面

1.5 m

的水）抽到桶口。

坐标取在桶底、 $x$ 轴向上：这一层在高度

x

处，要提到

x = 3

，提升高度是

3 - x

，而上半桶是

1.5 \leq x \leq 3

：

\int_{1.5}^{3} (3 - x) d x = 1.125.

错：坐标这么取了，高度却想当然写成

x

（把它当成了深度）：

\int_{1.5}^{3} x d x = 3.375,

差了三倍。

坐标与高度必须配套：原点在桶口、 $x$ 轴向下时，提升高度才是

x

本身，而上半桶的限变成

0 \leq x \leq 1.5

，算出来仍是

1.125

✓。

先把原点和正方向写在卷面上，这一项才写得对。

压力题取了竖直微元

压强只随深度变，所以要取水平细条——条上各点深度一致，压强才是常数。

微元要取在「那个量近似均匀」的方向上，这条原则对所有应用题都成立。

例例. 一块竖直矩形闸门宽

2 m

、高

3 m

，顶边与水面齐平，求水对它的压力。

取水面为原点、

x

轴向下。

对（水平细条）：条上各点深度都是

x

，压强

ρ g x

在这一条上是常数，条的面积是

2 d x

：

P = \int_{0}^{3} ρ g x \cdot 2 d x = ρ g \cdot 9 \approx 8.82 \times 1 0^{4} N .

错（竖直细条）：一条上从深度

0

一直到

3

，压强根本不是常数，

d P

写不出来——这一步卡住了就说明微元取错了方向。

微元要取在「那个量近似均匀」的方向上，这条原则对所有应用题都成立。

求路程不带绝对值

位移是

\int v

，路程是

\int ∣ v ∣

。物体折返时两者不同。

问路程就先解

v = 0

找变号点，按它拆开。和「定积分不是面积」是同一件事。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 做功

练 1

变力

F (x)

沿

x

轴从

a

移到

b

所做的功是（）。

A $\int_{a}^{b} F (x) d x$
B $F (b) (b - a)$
C $F (b) - F (a)$
D $\frac{F ( a ) + F ( b )}{2}$

练 2

胡克定律

F = k x

中的

x

表示弹簧的 ________ 量。

练 3

k = 100

时，把弹簧从原长拉伸

0.1 m

做功

\int_{0}^{0.1} 100 x d x =

________ J。

练 4

抽水问题中，微元应取（）。

A竖直细条
B任意形状都可以
C一个完整的截面
D水平薄层

第二组 · 压力与引力

练 5

竖直闸门受的水压力微元是（）。

A $ρ g b (x) d x$
B $ρ g x b (x) d x$
C $ρ g x d x$
D $ρ g x^{2} b (x) d x$

练 6

宽

2 m

、高

3 m

的矩形闸门上边与水面齐平，压力

P = 9800 \int_{0}^{3} 2 x d x =

________ N。

练 7

压力微元取水平细条的理由是（）。

A水平细条上各点深度相同，压强是常数
B习惯如此
C水平细条面积好算
D竖直细条会算出负值

练 8

细棒的线密度为

λ

，则长

d x

的一小段质量

d M =

________（用

λ

与

d x

表示）。

第三组 · 位移与路程

练 9

质点速度为

v (t)

，则

t

从

t_{1}

到

t_{2}

的路程是（）。

A $\int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t$
B $\int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t$
C $\int_{t_{1}}^{t_{2}} ∣ v (t) ∣ d t$
D $\int_{t_{1}}^{t_{2}} v^{2} (t) d t$

练 10

设

v (t) = t - 2

，则

t

从

0

到

3

的位移为 ________（结果用分数，带负号）。

练 11

承上题，求路程时应按

v (t) = 0

的点拆开，该点是

t =

________。

练 12

物理应用题中，最该先写在卷面上的是（）。

A最终答案的单位
B所用公式的名称
C坐标原点与正方向
D积分的上下限

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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