定积分物理应用（功、压力、质心、形心）

§3.9 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.15 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

1.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）定积分的概念与性质定积分几何应用（面积、体积、弧长、侧面积）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 物理应用的统一方法：在微元上把随位置变化的量近似为常量再累加★★ 必会

物理应用的题目形式多样，例如功、压力、质心等等，但做法只有一套：找出一条在小范围内近似不变的物理规律，写出微元

d U

，再作积分。建立微元时要弄清三个问题：用的是哪一条物理规律？在微元上哪个量可以近似看作常量？其中的几何量，如长度、面积、体积、距离，应当怎样表示？变力做功是最简明的例子：力

F (x)

随位置而变，但在

d x

内可近似看作不变，于是

d W = F (x) d x

，

W = \int_{a}^{b} F d x

。只要力随位置改变，就一律这样处理，而不能沿用恒力做功的

F \times d

。

证明 / 推导

为什么变力必须积分：把位移区间

[a, b]

分成

n

个小段，在第

i

段

[x_{i - 1}, x_{i}]

上取力在

ξ_{i}

处的值

F (ξ_{i})

。由于段内的力近似不变，此段所做的功近似为

F (ξ_{i}) Δ x_{i}

。于是总功

W \approx i = 1 \sum n F (ξ_{i}) Δ x_{i} λ \to 0 \int_{a}^{b} F (x) d x,

右端就是黎曼和的极限。由此可见，变力做功在本质上是一个定积分。

■

举例说明

把一条悬挂的匀质铁链提上楼：设链长为

L

，线密度为

λ

，一端固定在楼顶，现将它全部提到楼顶。设提起一部分后还剩长为

x

的一段悬垂，此时悬垂部分重

λ g x

，再提高

d x

所做的功为

d W = λ g x d x

，于是

W = \int_{0}^{L} λ g x d x = \frac{1}{2} λ g L^{2} .

这与把整条链的质量集中于质心、并把质心提升

\frac{L}{2}

所得的

m g \cdot \frac{L}{2} = λ Lg \cdot \frac{L}{2}

完全一致。

2. 静水压力：为什么要取水平窄条， $p = ρ g x$ 如何使用★ 要懂

解静水压力问题的要点是取水平窄条作微元。由于压强

p = ρ g x

只与深度

x

有关，同一水平条上各点的深度相同，压强也相同，因而可以把

p

近似看作常量，写出

d F = p \cdot d A

。如果取竖直窄条，条上的压强随深度连续变化，就不能直接相乘。具体步骤是：先建立坐标系并确定深度

x

，再写出深度

x

处水平条的宽度

L (x)

，它由闸门的几何形状决定，于是

d F = ρ g x L (x) d x

，最后沿深度积分。必须注意不要漏掉

g

。

证明 / 推导

在深度

x

处取宽为

L (x)

、高为

d x

的水平窄条，其面积

d A = L (x) d x

。条上的压强可近似看作常量

p = ρ g x

，因此所受的压力为

d F = p d A = ρ g x L (x) d x ⟹ F = \int_{a}^{b} ρ g x L (x) d x .

宽度

L (x)

随闸门形状而定：矩形闸门的

L

是常数；三角形或圆形闸门的

L (x)

则由相应的几何关系确定。

■

举例说明

设有倒置的等腰三角形闸门，顶点在水面上，底边长为

2

，位于水下深

3

处。由相似三角形可知，深度

x

处的宽度随深度线性增大，即

L (x) = 2 \cdot \frac{x}{3} = \frac{2 x}{3}

，故

F = \int_{0}^{3} ρ g x \cdot \frac{2 x}{3} d x = \frac{2 ρ g}{3} \int_{0}^{3} x^{2} d x = \frac{2 ρ g}{3} \cdot 9 = 6 ρ g (牛) .

可见解这类题的要点在于正确写出随深度变化的宽度

L (x)

。

3. 抽水做功：难点在于各薄层提升的高度互不相同

解抽水做功问题时，常见的错误是把各层的提升高度当作相同。正确的做法是把水按深度分成薄层：深度

x

处薄层的体积为

d V = A (x) d x

，其中

A (x)

是容器在该处的水平截面积，其重量为

ρ g A (x) d x

，再乘以这一层各自的提升距离 $h (x)$ ，才得到

d W

。位置越深的水层提升得越高，或者说提到同一出口所经过的路程互不相同，

h (x)

随层而变，因而不能把它提到积分号外当作常数。

证明 / 推导

在深度

x

处取厚为

d x

的薄层，其体积为

d V = A (x) d x

，重量为

d G = ρ g A (x) d x

，需要提升的高度为

h (x)

，它由出口位置

-

该层位置确定。于是做功微元为

d W = d G \cdot h (x) = ρ g h (x) A (x) d x ⟹ W = \int_{a}^{b} ρ g h (x) A (x) d x . ■

举例说明

设半径为

R

、高为

H

的圆柱形桶中盛满水，现将水全部抽到桶口。以自桶口向下计的深度为

x

（

0 \to H

），则截面积

A (x) = π R^{2}

是常数，深度

x

处的水层提到桶口需要升高

h (x) = x

，于是

W = \int_{0}^{H} ρ g x \cdot π R^{2} d x = π ρ g R^{2} [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{H} = \frac{1}{2} π ρ g R^{2} H^{2} .

（如果容器是圆锥形或半球形，

A (x)

就随

x

而变，这一步的差别便显示出来。）

4. 质心 / 形心 $=$ 力矩 $\div$ 总量；利用对称性与古尔丁定理可以简化计算

质心是质量分布的平衡点，以它为支点时两侧的力矩相互抵消。把每个微元的量

\times

位置，即力矩微元，累加起来作分子，把微元的量累加起来作分母，相除便得到质心的坐标。当密度均匀时，质量与面积成正比，密度可以约去，质心就成为纯几何的形心。有两条能简化计算的性质：① 对称性，如果图形有对称轴，那么形心必在该轴上，计算量可减少一半；② 古尔丁（帕普斯）定理，平面图形绕与它不相交的轴旋转一周，所得立体的体积

=

面积

\times

形心绕行一周的路程

= 2 π \overset{ˉ}{d} A

；反过来，也可由体积与面积反求形心。

证明 / 推导

用古尔丁定理反求半圆形心。 设半径为

R

的半圆形薄片，其面积

A = \frac{π R ^{2}}{2}

，形心到直径（即

x

轴）的距离为

\overset{y}{ˉ}

。让它绕直径旋转一周，得到一个球，体积

V = \frac{4}{3} π R^{3}

。由古尔丁定理

V = 2 π \overset{y}{ˉ} \cdot A

，得

\frac{4}{3} π R^{3} = 2 π \overset{y}{ˉ} \cdot \frac{π R ^{2}}{2} = π^{2} R^{2} \overset{y}{ˉ} ⟹ \overset{y}{ˉ} = \frac{4 R}{3 π} .

这样不必积分就求出了半圆的形心，所得结果与直接积分一致。

■

举例说明

求由

y = x^{2}

、

y = 0

、

x = 1

所围成的均匀薄片的形心。其面积

A = \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}

，于是

\overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ} = \frac{\int _{0}^{1} x \cdot x ^{2} d x}{A} = \frac{1/4}{1/3} = \frac{3}{4} = \frac{\frac{1}{2} \int _{0}^{1} ( x ^{2} ) ^{2} d x}{A} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}}{1/3} = \frac{3}{10} .

故形心为

(\frac{3}{4}, \frac{3}{10})

。必须注意，

\overset{y}{ˉ}

的分子中的因子

\frac{1}{2}

不能遗漏。

💡 小知识

帕普斯定理（也叫古尔丁定理）说：一块平面图形绕一条与它不相交的轴转一圈，所得旋转体的体积等于图形面积乘以形心走过的路程。于是甜甜圈这样的圆环体不必积分就能算出来：半径

r

的小圆面积为

π r^{2}

，形心绕大圈走过的路程是

2 π R

，两者相乘得

2 π^{2} r^{2} R

。让旋转一圈的体积如此好算的，就是质心与形心这个位置。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 一弹簧使其伸长

x

（米）所需的力为

F (x) = 200 x

（牛）。求把它从自然长度拉伸

0.1

米所做的功。难度 1

力随位移变化，不能用「力

\times

距离」直接乘，要用变力做功公式

W = \int_{a}^{b} F (x) d x

。在小位移

d x

上力近似不变，做功微元

d W = F (x) d x = 200 x d x

：

W = \int_{0}^{0.1} 200 x d x = 200 \cdot [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{0.1} = 100 \times (0.1)^{2} = 1 (焦耳) .

方法总结：胡克定律

F = k x

型变力做功

W = \int_{0}^{x_{0}} k x d x = \frac{1}{2} k x_{0}^{2}

，正是弹性势能。这里

k = 200

，

x_{0} = 0.1

，

W = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0.01 = 1

J。

例 2 求由

y = sin x (0 \leq x \leq π)

与

x

轴所围均匀薄片的形心坐标

(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})

。难度 2

形心

=

力矩

\div

面积。先算面积（分母）：

A = \int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = 2

。
横坐标

\overset{x}{ˉ}

：区域关于直线

x = \frac{π}{2}

对称，形心必在对称轴上，故

\overset{x}{ˉ} = \frac{π}{2}

（也可由

\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{A} \int_{0}^{π} x sin x d x = \frac{π}{2}

算得）。
纵坐标

\overset{y}{ˉ}

（分子带

\frac{1}{2}

）：

\overset{y}{ˉ} = \frac{\frac{1}{2} \int _{0}^{π} sin ^{2} x d x}{A} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}}{2} = \frac{π /4}{2} = \frac{π}{8} .

（用了

\int_{0}^{π} sin^{2} x d x = \frac{π}{2}

。）故形心为

(\frac{π}{2}, \frac{π}{8})

。
方法总结：有对称轴时

\overset{x}{ˉ}

直接落在轴上；

\overset{y}{ˉ}

的分子务必带

\frac{1}{2}

。

例 3 一矩形闸门宽

2

米、高

3

米，竖直放置且上边与水面齐平。求闸门一侧所受的水静压力（水的重度

ρ g

）。难度 2

静水压强

p = ρ g x

（

x

为深度）。在深度 $x$ 处取水平窄条（宽

2

、高

d x

），因同一水平条上各点深度相同、压强相同，才能近似当常量。受力微元

d F = p \cdot d A = ρ g x \cdot (2 d x) .

深度

x

从

0

（水面）到

3

（底）积分：

F = \int_{0}^{3} ρ g x \cdot 2 d x = 2 ρ g [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{3} = 9 ρ g (牛) .

代入

ρ g = 1000 \times 9.8 = 9800

，得

F = 8.82 \times 1 0^{4}

N。
方法总结：静水压力必须切水平条（同深度压强相同）；别漏

g

。

例 4 一根长

2

米的细棒，其线密度为

ρ (x) = 1 + x

（

x

为到左端的距离，

0 \leq x \leq 2

）。求它的质心坐标

\overset{x}{ˉ}

。难度 2

质心

=

力矩

\div

总质量。总质量（分母）：

m = \int_{0}^{2} ρ (x) d x = \int_{0}^{2} (1 + x) d x = [x + \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{2} = 2 + 2 = 4.

力矩（分子，每段「质量

\times

位置」累加）：

\int_{0}^{2} x ρ (x) d x = \int_{0}^{2} x (1 + x) d x = \int_{0}^{2} (x + x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3} .

相除：

\overset{x}{ˉ} = \frac{14/3}{4} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} .

方法总结：非均匀细棒质心

\overset{x}{ˉ} = \frac{\int x ρ d x}{\int ρ d x}

。质心

\frac{7}{6} > 1

（棒的几何中点），因右端更重，符合直觉。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

设线密度为

1

的细直棒的两个端点分别位于点

(- 1, 0)

和点

(1, 0)

处，质量为

m

的质点位于点

(0, 1)

处，

G

为引力常量，则该细直棒对该质点的引力大小为（　　）

A $\int_{0}^{1} \frac{2 G m x}{( x ^{2} + 1 ) ^{1/2}} d x$
B $\int_{0}^{1} \frac{2 G m}{( x ^{2} + 1 ) ^{1/2}} d x$
C $\int_{0}^{1} \frac{2 G m x}{( x ^{2} + 1 ) ^{3/2}} d x$
D $\int_{0}^{1} \frac{2 G m}{( x ^{2} + 1 ) ^{3/2}} d x$

2025 年 · 数二 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设单位质点

P, Q

分别位于点

(0, 0)

和

(0, 1)

处，

P

从点

(0, 0)

出发沿

x

轴正向移动，记

G

为引力常量，则当质点

P

移动到点

(l, 0)

时，克服质点

Q

的引力所做的功为（　　）

A $\int_{0}^{l} \frac{G}{x ^{2} + 1} d x$
B $\int_{0}^{l} \frac{G x}{( x ^{2} + 1 ) ^{3/2}} d x$
C $\int_{0}^{l} \frac{G}{( x ^{2} + 1 ) ^{3/2}} d x$
D $\int_{0}^{l} \frac{G ( x + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{3/2}} d x$

2020 年 · 数二 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

斜边长为

2 a

的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐。记重力加速度为

g

，水的密度为

ρ

，则该平板一侧所受的水压力为 ___。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

弹簧所需拉力为

F (x) = 100 x

（牛，

x

为伸长量/米），把它从自然长度拉伸

0.2

米所做的功为 ______ 焦耳。

练习 2 · 选择题

用微元法计算液体静压力时，为什么要在同一深度取水平窄条作为微元？

A同一水平条上各点深度相同，压强相同，可近似当常量
B水平条比竖直条更容易画出来
C因为压强只与水平位置有关
D为了让积分区间是对称的

练习 3 · 填空题

半径为

1

的均匀半圆形薄片（

x^{2} + y^{2} \leq 1, y \geq 0

）的形心纵坐标

\overset{y}{ˉ} =

______

练习 4 · 选择题

一物体沿

x

轴运动，受到与位置有关的力

F (x) = 3 x^{2}

（牛），从

x = 0

移动到

x = 2

（米）。力所做的功为（　　）

A $4$ 焦耳
B $8$ 焦耳
C $12$ 焦耳
D $24$ 焦耳

练习 5 · 填空题

一根长

1

米的细棒，线密度

ρ (x) = x

（

0 \leq x \leq 1

），其质心坐标

\overset{x}{ˉ} =

______

2017 年 · 数二 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方

10

（单位：m）处，下图中实线表示甲的速度曲线

v = v_{1} (t)

（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线

v = v_{2} (t)

，三块阴影部分面积的数值依次为

10, 20, 3

。计时开始后乙追上甲的时刻记为

t_{0}

（单位：s），则（　　）

A $t_{0} = 10$
B $15 < t_{0} < 20$
C $t_{0} = 25$
D $t_{0} > 25$

2014 年 · 数二 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

一根长度为

1

的细棒位于

x

轴的区间

[0, 1]

上，若其线密度

ρ (x) = - x^{2} + 2 x + 1

，则该细棒的质心坐标

\overset{x}{ˉ} =

___。

2013 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

设曲线

L

的方程为

y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} ln x (1 \leq x \leq e)

。
（Ⅰ）求

L

的弧长；
（Ⅱ）设

D

是由曲线

L

、直线

x = 1

、

x = e

及

x

轴所围平面图形，求

D

的形心的横坐标。

定积分物理应用（功、压力、质心、形心）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 物理应用的统一方法：在微元上把随位置变化的量近似为常量再累加★★ 必会

2. 静水压力：为什么要取水平窄条，p=ρgx 如何使用★ 要懂

3. 抽水做功：难点在于各薄层提升的高度互不相同

4. 质心 / 形心 = 力矩 ÷ 总量；利用对称性与古尔丁定理可以简化计算

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 静水压力：为什么要取水平窄条， $p = ρ g x$ 如何使用★ 要懂

4. 质心 / 形心 $=$ 力矩 $\div$ 总量；利用对称性与古尔丁定理可以简化计算