定积分物理应用（功、压力、引力）

① 变力沿直线做功：物体沿 $x$ 轴从 $a$ 移到 $b$，在位置 $x$ 处所受的力为 $F(x)$，方向沿位移方向，则$$W={\int }_a^{b}F(x)dx.$$理由是：在 $[x,x+dx]$ 上力近似不变，故 $dW=F(x)dx$。常见的有三类模型：弹簧（由胡克定律 $F=kx$，其中 $x$ 为形变量；从伸长 $x_1$ 拉到 $x_2$ 所做的功为 $W={\int }_{x_1}^{x_2}kxdx=\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$）；提升类（缆绳、链条与抽水：$dW=$ 此位置仍需承担的重量 $\times dx$，或者用薄层的重量 $\times$ 该层提升的高度）；克服阻力类（例如打桩，阻力随深度增大而增大，$F=kx$）。

② 引力：平方反比公式 $F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$ 只对质点成立。细棒等连续体对质点的引力必须用微元法：在棒上取小段 $[x,x+dx]$，其质量 $dm=\rho dx$，到质点的距离为 $r(x)$，则$$dF=\frac{Gm\rho dx}{r^2(x)},$$必须注意，$dF$ 的方向随 $x$ 而变，因此要把 $dF$ 沿坐标方向分解（$d{F}_x=dF\cos \alpha$，$d{F}_y=dF\sin \alpha$），再分别积分。如果质点在对称轴上，那么垂直于轴的分量成对相消，只需对轴向分量积分。不可把连续体的质量集中到质心，再套用平方反比公式。

③ 一般步骤：选定积分变量并确定区间 $\to$ 写出微元（弄清哪一部分在动、移动多远，或者哪一小块、贡献多少）$\to$ 积分。

抽水（提升液体）做功是微元法中的一个难点，难在有两个随位置变化的量：薄层的横截面积 $A(x)$ 由容器的形状决定，提升高度 $h(x)$ 则随深度增大而增大。一般步骤是：① 建立竖直坐标，标出深度 $x$ 的范围；② 在深度 $x$ 处取厚为 $dx$ 的水平薄层，其体积为 $dV=A(x)dx$，重量为 $\rho gA(x)dx$；③ 确定该层需要提升的距离 $h(x)$，即提到出口处的距离；④ 写出 $dW=\rho gh(x)A(x)dx$，再积分。关键在于按几何关系把 $A(x)$ 与 $h(x)$ 写正确。

静水压力问题的关键在于只有同一深度处的压强才相等，因此必须切取水平的窄条：深度 $x$ 处的压强 $p=\rho gx$ 在整条上近似不变，窄条的宽为 $L(x)$，由闸门的几何形状确定，高为 $dx$，于是受力微元 $dF=p\cdot dA=\rho gxL(x)dx$，积分即得总压力。做法是：建立深度坐标，把闸门的边界写成 $L(x)$，定出深度的范围，然后积分。如果切取竖直的条，那么条上的压强随深度而变，不能当作常量。这是这类题目最容易出错的地方。

提升链条、卷起垂绳、从井中拉绳吊桶等，是另一类变力做功问题，其模型与抽水相类似，只是对象换成线密度均匀的链条或绳索。要点是：按位置把链条分成微元，写清每个微元被提升的距离，其重量 $=\rho gdx$，其中 $\rho$ 为线密度。各题的差别只在于每一段提升的高度不同。

三类物理应用的背后是同一个思想：定积分把变化的量按其分布累加起来，其结果等于某种平均值与总量之积。由此得到两个可以独立验算的简便结论：
- 静水压力：平板所受的总压力 $=$ 形心处的压强 $\times$ 面积，即 $F=\rho g\bar{x}A$，其中 $\bar{x}$ 为形心的深度；
- 抽水与提升做功：$W=$ 总重 $\times$ 质心提升的高度 $=Mg\Delta \bar{x}$。
这两个结论实质上都来自形心与质心的定义 ${\int }_a^{b}xw(x)dx=\bar{x}{\int }_a^{b}w(x)dx$。用它们验算微元法所得的结果，可以有效地防止计算出错。