定积分几何应用（面积、体积、弧长）

§3.8 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.64 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

1.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）定积分的概念与性质定积分的计算③ 掌握后可解锁定积分物理应用（功、压力、引力）第一类曲线积分（对弧长）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 定积分几何应用的公式总表：面积的三种算法、旋转体体积的三种方法、弧长的三种形式★★ 必会

① 平面图形面积：

直角坐标情形（上曲线减下曲线）：

A = \int_{a}^{b} [f_{上} (x) - g_{下} (x)] d x

；如果图形是左右型的，那么改为对

y

积分，

A = \int_{c}^{d} [x_{右} (y) - x_{左} (y)] d y

。

极坐标情形（曲边扇形）：由曲线

ρ = ρ (θ)

与射线

θ = α, θ = β

所围图形的面积为

A = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} ρ^{2} (θ) d θ .

参数方程情形：设

y (t) \geq 0

，且

x (t)

单调地由

a

增到

b

，相应地

t : t_{1} \to t_{2}

，则曲边梯形的面积为

A = \int_{t_{1}}^{t_{2}} y (t) x^{'} (t) d t

，这就是把

A = \int_{a}^{b} y d x

中的

y d x

整体化为参数表示。如果

x (t)

是递减的，那么应交换积分限或加绝对值。

② 旋转体体积：

圆盘法（曲线

y = f (x)

绕

x

轴旋转）：

V_{x} = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

；

垫圈法（两曲线之间的图形绕

x

轴旋转）：

V = π \int_{a}^{b} [R^{2} (x) - r^{2} (x)] d x

，这里是外半径的平方减内半径的平方，而不是

(R - r)^{2}

；

柱壳法（

0 \leq a \leq x \leq b

，

f \geq 0

，绕

y

轴旋转）：

V_{y} = 2 π \int_{a}^{b} x f (x) d x

；

一般地，若立体的横截面面积

A (x)

已知，则

V = \int_{a}^{b} A (x) d x

。

③ 弧长三形式（光滑曲线）：

直角坐标

y = y (x)

：

s = \int_{a}^{b} 1 + y^{'2} d x

；

参数方程

x = x (t), y = y (t)

：

s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} x^{'2} (t) + y^{'2} (t) d t (t_{1} < t_{2})

；

极坐标

ρ = ρ (θ)

：

s = \int_{α}^{β} ρ^{2} (θ) + ρ^{'2} (θ) d θ

。

附（数一要求）：旋转曲面的侧面积为

S = 2 π \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ 1 + f^{'2} (x) d x

。这是因为弧长微元

d s

绕轴旋转一周所得为

d S = 2 π ∣ y ∣ d s

。必须注意，不可把

d s

误写成

d x

。

证明 / 推导

极坐标下的面积公式。 在

[θ, θ + d θ]

上，图形可近似看作半径为

ρ (θ)

、圆心角为

d θ

的小扇形，故

d A = \frac{1}{2} ρ^{2} d θ

，这里用到扇形面积

= \frac{1}{2} r^{2} \times

圆心角。把这些微元累加，即得

A = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} ρ^{2} d θ

。

弧长公式。 弧微分为

d s = (d x)^{2} + (d y)^{2}

。在直角坐标下代入

d y = y^{'} d x

，得

d s = 1 + y^{'2} d x

；在参数方程下代入

d x = x^{'} d t, d y = y^{'} d t

，得

d s = x^{'2} + y^{'2} d t

；在极坐标下，把

x = ρ cos θ, y = ρ sin θ

看作以

θ

为参数的参数方程，则

x^{'} y^{'} x^{'2} + y^{'2} = ρ^{'} cos θ - ρ sin θ = ρ^{'} sin θ + ρ cos θ = ρ^{'2} + ρ^{2}

故

d s = ρ^{2} + ρ^{'2} d θ

，弧长为

s = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ρ^{2} + ρ^{'2} d θ

，其中

θ_{1}, θ_{2}

是两个端点所对应的极角。必须注意

θ_{1} < θ_{2}

，因为

d s > 0

，弧长与绕行方向无关。参数方程的情形同理，必须

t_{1} < t_{2}

。这一点与第二类曲线积分不同，后者用积分限的先后表示方向，允许下限大于上限。（圆盘法、垫圈法、柱壳法的微元推导见后面各条。）

■

举例说明

真题（1993 数一） 双纽线

(x^{2} + y^{2})^{2} = x^{2} - y^{2}

所围区域的面积可表示为（A）

2 \int_{0}^{π /4} cos 2 θ d θ

；（B）

4 \int_{0}^{π /4} cos 2 θ d θ

；（C）

2 \int_{0}^{π /4} cos 2 θ d θ

；（D）

\frac{1}{2} \int_{0}^{π /4} cos^{2} 2 θ d θ

。

解. 代入

x = ρ cos θ, y = ρ sin θ

，左端

= ρ^{4}

，右端

= ρ^{2} (cos^{2} θ - sin^{2} θ) = ρ^{2} cos 2 θ

，于是得极坐标方程

ρ^{2} = cos 2 θ

。由

ρ^{2} \geq 0

可知，第一象限对应于

θ \in [0, \frac{π}{4}]

。图形关于两坐标轴都对称，因此

A = 4 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{π /4} ρ^{2} d θ = 2 \int_{0}^{π /4} cos 2 θ d θ,

故应选 A。必须注意两处常见的错误：极坐标下的面积公式漏乘

\frac{1}{2}

；未用

ρ^{2} \geq 0

确定

θ

的实际范围。

2. 微元法中以直代曲为什么可行： $d U$ 是增量的线性主部★ 要懂

微元法的依据往往被略过，这里作严格的说明。设所求量在

[a, x]

上的部分为

U (x)

。当自变量增加

d x

时，如果增量

Δ U = U (x + d x) - U (x)

可以写成

Δ U = g (x) d x + o (d x)

，那么其中的线性主部

g (x) d x

就是微元

d U

，而舍去的

o (d x)

是比

d x

高阶的无穷小。由此得

U^{'} (x) = g (x)

，再由牛顿-莱布尼茨公式得

U = \int_{a}^{b} g (x) d x

。因此，把微元累加起来，在数学上就是对导数求积分。以直代曲之所以不引入误差，是因为舍去的是高阶无穷小，求和并取极限后它自动为零。

证明 / 推导

证以曲边梯形的面积

A (x) = \int_{a}^{x} f

为例，其中

f

连续且

\geq 0

。此时

Δ A = \int_{x}^{x + d x} f (t) d t

。因

f

连续，故

\int_{x}^{x + d x} [f (t) - f (x)] d t \leq d x \cdot [x, x + d x] max ∣ f (t) - f (x) ∣ = d x \cdot o (1) = o (d x),

于是

Δ A = f (x) d x + o (d x)

，其线性主部就是微元

d A = f (x) d x

。对于一般的几何量与物理量，只要能证明

Δ U = g d x + o (d x)

，就可以取

d U = g d x

再积分。

■

3. 柱壳法的由来：竖条旋转成薄壳， $d V = 2 π x \cdot y d x$ ★ 要懂

绕

y

轴旋转时，垂直于

x

轴的竖条扫出的不是圆盘，而是薄圆柱壳。与其只记公式，不如弄清体积微元

2 π x y d x

的来历：在

x

处取宽为

d x

、高为

y = f (x)

的竖条，它绕

y

轴旋转一周，得到半径为

x

、高为

y

、壁厚为

d x

的薄壳。把这个薄壳展开成一块薄板，其长

=

周长

2 π x

、宽

=

高

y

、厚

= d x

，因此

d V = 2 π x \cdot y \cdot d x

，积分即得

V_{y} = 2 π \int_{a}^{b} x f (x) d x

。

至于何时用柱壳法、何时用圆盘法，由旋转轴是哪一条、所切的条与该轴平行还是垂直决定：绕

y

轴旋转而切竖条（与

y

轴平行）时用柱壳法，切横条（此时需把曲线写成

x = g (y)

）时则用圆盘法。

证明 / 推导

证薄壳的精确体积等于两个同心圆柱体积之差：

π [(x + d x)^{2} - x^{2}] y = π (2 x d x + d x^{2}) y = 2 π x y d x + o (d x),

其线性主部即

d V = 2 π x y d x

，与把薄壳展开成薄板所得的结果一致。

■

4. 绕非坐标轴的直线旋转：半径应取微元到旋转轴的距离

旋转轴不一定是坐标轴，也可能是

x = c

或

y = c

这样与坐标轴平行的直线。这时公式的形式不变，只需把半径重新理解为微元到旋转轴的距离：绕

x = c

旋转而用柱壳法时，半径为

∣ x - c ∣

；绕

y = c

旋转而用圆盘法或垫圈法时，半径为

∣ y - c ∣

。必须注意，不能仍旧取

x

或

y

本身作半径。通常的做法是先画图，把微元到轴的距离写清楚，再套用圆盘法、垫圈法或柱壳法。

证明 / 推导

证 ① 平移是公式形式不变的理由. 作平移变换

X = x - c, Y = y

。它把旋转轴

x = c

移成坐标轴

X = 0

，把区域

D

移成区域

D^{'}

。平移是刚体运动，不改变面积与体积。因此

D

绕

x = c

旋转所得立体的体积，等于

D^{'}

绕坐标轴

X = 0

旋转所得立体的体积。对后者可以直接使用绕坐标轴旋转的三个公式。算完以后把

X

换回

x - c

，即得所要的结果。这就说明了公式的形式为什么不变，而半径为什么应当取

∣ x - c ∣

。

② 三种方法的半径各是什么. 用柱壳法绕

X = 0

旋转时，半径是横坐标

X

，换回原来的变量就是

x - c

；半径必须非负，故一般写成

∣ x - c ∣

。当

D

位于旋转轴的左侧时

x < c

，这时

∣ x - c ∣ = c - x

。用圆盘法或垫圈法绕横轴旋转时，半径是纵坐标，同理换成

∣ y - c ∣

。至于薄壳的体积为什么等于

2 π r h d x

，前面已由两个同心圆柱体积之差推出，这里不再重复。

③ 区域必须位于旋转轴的一侧. 上述做法的前提是

D

完全落在旋转轴的一侧，即在

D

上恒有

x \leq c

，或者恒有

x \geq c

。如果

D

跨过旋转轴，那么轴两侧的部分旋转以后所得的立体互相重叠。这时重叠的部分被算了两次，两块的体积不能直接相加。遇到这种情形，应当先用旋转轴把

D

分成两块，分别旋转，再按二者的并集计算体积。

■

举例说明

求由

y = x^{2}, y = 0, x = 1

所围区域绕直线

x = 2

旋转所得旋转体的体积。用柱壳法，微元到轴

x = 2

的距离，即半径，为

2 - x

，高为

y = x^{2}

，且

x \in [0, 1]

，于是

V = 2 π \int_{0}^{1} (2 - x) x^{2} d x = 2 π \int_{0}^{1} (2 x^{2} - x^{3}) d x = 2 π [\frac{2}{3} - \frac{1}{4}] = 2 π \cdot \frac{5}{12} = \frac{5 π}{6} .

5. 帕普斯（Pappus）定理：由形心直接求旋转体的体积与旋转曲面的侧面积

下面介绍一个常被忽视而又很有用的定理，它既可用于快速计算，也可用于验算。设平面图形的面积为

A

，其形心到旋转轴的距离为

\overset{ˉ}{d}

，且图形不与该轴相交。如果它绕该轴旋转一周，那么所得旋转体的体积为

V = 2 π \overset{ˉ}{d} A;

又设平面曲线的弧长为

L

，其形心到轴的距离为

\overset{ˉ}{d}

。如果它绕该轴旋转一周，那么所得旋转曲面的侧面积为

S = 2 π \overset{ˉ}{d} L

。直观地说，形心所经过的圆周长为

2 π \overset{ˉ}{d}

，用它乘以被扫过的量（面积或弧长）即可。

对于形心已知的规则图形，例如圆和矩形，这一定理能把繁复的积分化为一行运算。

证明 / 推导

证. 先证体积的一式。为叙述方便，取旋转轴为

y

轴，并设平面图形

D

位于轴的右侧，由

0 \leq a \leq x \leq b

与

g (x) \leq y \leq h (x)

确定。在

[x, x + d x]

上取竖条，它绕

y

轴旋转成一薄壳。由柱壳法（见本节柱壳法一条），

V = \int_{a}^{b} 2 π x [h (x) - g (x)] d x = 2 π \int_{a}^{b} x [h (x) - g (x)] d x .

另一方面，图形的面积为

A = \int_{a}^{b} [h (x) - g (x)] d x

，其形心的横坐标按定义为

\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{A} \int_{a}^{b} x [h (x) - g (x)] d x .

由此得

\int_{a}^{b} x [h (x) - g (x)] d x = \overset{x}{ˉ} A

，代入前式即得

V = 2 π \overset{x}{ˉ} A

。因旋转轴是

y

轴，

\overset{x}{ˉ}

就是形心到轴的距离

\overset{ˉ}{d}

，故

V = 2 π \overset{ˉ}{d} A

。

再证侧面积的一式。设光滑曲线为

x = x (t), y = y (t) (α \leq t \leq β)

，且

x (t) \geq 0

。弧微元

d s

绕

y

轴旋转，划出一个半径为

x

的圆周，所成窄带的面积为

d S = 2 π x d s

。于是

S = \int_{α}^{β} 2 π x d s = 2 π \int_{α}^{β} x d s .

曲线的弧长为

L = \int_{α}^{β} d s

，其形心的横坐标为

\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{L} \int_{α}^{β} x d s

，即

\int_{α}^{β} x d s = \overset{x}{ˉ} L

。代入即得

S = 2 π \overset{x}{ˉ} L = 2 π \overset{ˉ}{d} L

。

这里要求图形或曲线整个落在轴的一侧。如果它跨过旋转轴，那么两侧的部分旋转后互相重叠。这时上面的积分把重叠处算了两次，所得的不再是旋转体的体积。至于一般位置的旋转轴，可先作平移与旋转把它化为

y

轴。体积、面积、弧长与形心到轴的距离在这种刚体运动下都不改变，故结论仍然成立。这就证明了帕普斯定理的两个式子。

■

举例说明

求圆环体的体积：半径为

r

的圆绕一条与圆心相距

R (> r)

的直线旋转一周。圆的面积为

A = π r^{2}

，其形心即圆心，故

\overset{ˉ}{d} = R

。由帕普斯定理，

V = 2 π R \cdot π r^{2} = 2 π^{2} R r^{2} .

若改用垫圈法，这个积分要费不少气力；用帕普斯定理则一步即得。用它来验算旋转体的结果也很方便。

💡 小知识

早在两千多年前，阿基米德就用穷竭法（微元法的雏形）算出了球的体积

\frac{4}{3} π r^{3}

，并证明球体积恰好是外切圆柱的

\frac{2}{3}

。他对这个结果太过得意，留下遗嘱要把圆柱容球的图刻在自己的墓碑上。微元法的思想，就这样比牛顿和莱布尼茨的符号早了近两千年。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求由曲线

y = x^{2}

与直线

y = x

所围平面图形的面积。难度 1

先求交点：

x^{2} = x \Rightarrow x = 0

或

x = 1

。在

(0, 1)

上

x > x^{2}

，即

y = x

在上、

y = x^{2}

在下。用「上减下」的面积微元

d A = (x - x^{2}) d x

：

A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} .

例 2 求曲线

y = x

（

0 \leq x \leq 1

）与

x

轴围成的图形绕

x

轴旋转所得旋转体的体积。难度 1

绕

x

轴旋转用圆盘法，体积微元

d V = π y^{2} d x = π (x)^{2} d x = π x d x

：

V = π \int_{0}^{1} x d x = π [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{π}{2} .

要点：绕

x

轴用

V_{x} = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

，被积是「半径的平方」。

例 3 求曲线

y = \frac{2}{3} x^{3/2}

在

[0, 3]

上的弧长。难度 2

弧长公式

s = \int_{a}^{b} 1 + y^{' 2} d x

。先求导：

y^{'} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = x^{1/2}

，故

1 + y^{' 2} = 1 + x

：

s = \int_{0}^{3} 1 + x d x = [\frac{2}{3} (1 + x)^{3/2}]_{0}^{3} = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1) = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{14}{3} .

易错点：被积是

1 + y^{' 2}

，根号不能丢。

例 4 求由

y = x^{2}

、

x = 1

、

y = 0

围成的图形绕

y

轴旋转所得旋转体的体积。难度 2

绕

y

轴、用

x

为积分变量时，采用柱壳法，体积微元

d V = 2 π x \cdot y d x = 2 π x \cdot x^{2} d x

：

V = 2 π \int_{0}^{1} x^{3} d x = 2 π [\frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{1} = 2 π \cdot \frac{1}{4} = \frac{π}{2} .

要点：绕

y

轴且用

x

积分，首选柱壳

V_{y} = 2 π \int_{a}^{b} x f (x) d x

。

例 5 求极坐标曲线

r = 2 cos θ

所围图形的面积。难度 2

r = 2 cos θ

当

θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

时描出整条闭曲线（一个圆）。用极坐标面积公式

A = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} r^{2} d θ

：

A = \frac{1}{2} \int_{- π /2}^{π /2} (2 cos θ)^{2} d θ = \frac{1}{2} \int_{- π /2}^{π /2} 4 cos^{2} θ d θ = 2 \int_{- π /2}^{π /2} cos^{2} θ d θ = 2 \cdot \frac{π}{2} = π .

（其中

\int_{- π /2}^{π /2} cos^{2} θ d θ = \frac{π}{2}

。）该曲线实为半径

1

的圆，面积

π

与几何吻合。别漏公式里的 $\frac{1}{2}$ 。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2019 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

求曲线

y = e^{- x} sin x (x \geq 0)

与

x

轴之间图形的面积。

2012 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

已知曲线

L : {x = f (t), y = cos t (0 \leq t < \frac{π}{2})

，其中函数

f (t)

具有连续导数，且

f (0) = 0

，

f^{'} (t) > 0 (0 < t < \frac{π}{2})

. 若曲线

L

的切线与

x

轴的交点到切点的距离恒为

1

，求函数

f (t)

的表达式，并求以曲线

L

及

x

轴和

y

轴为边界的区域的面积.

2011 年 · 数一 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

曲线

y = \int_{0}^{x} tan t d t (0 \leq x \leq \frac{π}{4})

的弧长

s =

______.

2009 年 · 数一 · 第 16 题 · 解答题 · 9 分

设

a_{n}

为曲线

y = x^{n}

与

y = x^{n + 1} (n = 1, 2, \dots)

所围成区域的面积，记

S_{1} = n = 1 \sum \infty a_{n}

，

S_{2} = n = 1 \sum \infty a_{2 n - 1}

，求

S_{1}

与

S_{2}

的值.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

曲线

y = x^{2}

与直线

y = x

所围图形的面积为（　　）

A $\frac{1}{6}$
B $\frac{1}{3}$
C $\frac{1}{2}$
D $1$

练习 2 · 填空题

曲线

y = x

（

0 \leq x \leq 1

）与

x

轴围成的图形绕

x

轴旋转所得体积为 ______

练习 3 · 选择题

曲边梯形（

f (x) \geq 0

）绕

x

轴旋转所得旋转体的体积公式为（　　）

A $π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$
B $2 π \int_{a}^{b} x f (x) d x$
C $π \int_{a}^{b} f (x) d x$
D $\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

练习 4 · 填空题

直角坐标下曲线

y = f (x)

的弧长微元

d s =

______

d x

练习 5 · 选择题

极坐标下由

r = r (θ)

（

α \leq θ \leq β

）所围图形的面积公式为（　　）

A $\frac{1}{2} \int_{α}^{β} r^{2} d θ$
B $\int_{α}^{β} r^{2} d θ$
C $\frac{1}{2} \int_{α}^{β} r d θ$
D $π \int_{α}^{β} r^{2} d θ$

练习 6 · 选择题

设平面图形

D

由抛物线

y = x^{2}

与直线

y = 1

围成，则

D

绕直线

y = 2

旋转一周所得旋转体的体积为（　）。

A $\frac{86 π}{15}$
B $\frac{16 π}{15}$
C $\frac{8 π}{5}$
D $\frac{56 π}{15}$

练习 7 · 填空题

曲线

y = ln x

上相应于

3 \leq x \leq 22

的一段弧的长度为 ____。

练习 8 · 解答题

设平面图形

D

由曲线

y = x

、直线

x = 4

与

x

轴围成。

(1) 求

D

的面积

A

；

(2) 求

D

绕直线

x = 4

旋转一周所得旋转体的体积

V_{1}

；

(3) 求

D

绕直线

y = 2

旋转一周所得旋转体的体积

V_{2}

。

2003 年 · 数一 · 第 13 题 · 解答题 · 10 分

过坐标原点作曲线

y = ln x

的切线，该切线与曲线

y = ln x

及

x

轴围成平面图形

D

.
(1) 求

D

的面积

A

；
(2) 求

D

绕直线

x = e

旋转一周所得旋转体的体积

V

2000 年 · 数一 · 第 1 题 · 填空题 · 3 分

\int_{0}^{1} 2 x - x^{2} d x =

___.

定积分几何应用（面积、体积、弧长）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 定积分几何应用的公式总表：面积的三种算法、旋转体体积的三种方法、弧长的三种形式★★ 必会

2. 微元法中以直代曲为什么可行：dU 是增量的线性主部★ 要懂

3. 柱壳法的由来：竖条旋转成薄壳，dV=2πx⋅ydx★ 要懂

4. 绕非坐标轴的直线旋转：半径应取微元到旋转轴的距离

5. 帕普斯（Pappus）定理：由形心直接求旋转体的体积与旋转曲面的侧面积

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 微元法中以直代曲为什么可行： $d U$ 是增量的线性主部★ 要懂

3. 柱壳法的由来：竖条旋转成薄壳， $d V = 2 π x \cdot y d x$ ★ 要懂