第一类曲线积分（对弧长）

① 定义：设 $L$ 为 $xOy$ 面内一条光滑曲线弧，$f(x,y)$ 在 $L$ 上有界。用分点把 $L$ 任意分成 $n$ 个小弧段，第 $i$ 段的弧长记为 $\Delta s_i$，并在其上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，作和式 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$。记 $\lambda ={\max }_i\Delta s_i$。如果当 $\lambda \to 0$ 时和式的极限存在，且与曲线的分法及点的取法都无关，那么称此极限为 $f$ 沿 $L$ 的第一类（对弧长的）曲线积分：$${\int }_{L}f(x,y)ds=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i.$$ 当 $f$ 在 $L$ 上连续时，这个积分一定存在。对空间曲线 $\Gamma$ 可同样定义 ${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds$。它的物理原型是变密度曲线的质量：如果 $f$ 表示线密度，那么 $f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$ 就是相应小段质量的近似值。

② 与方向无关：定义中的 $\Delta s_i$ 是弧长，恒为正，整个构造只用到把曲线分成小段，始终不涉及曲线的走向，因此$${\int }_{\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}}fds={\int }_{\stackrel{⌢}{\mathrm{BA}}}fds,$$即写成 ${\int }_L$ 时不必（也不能）给 $L$ 指定方向。第二类（对坐标的）曲线积分在曲线反向后要变号，两者在这一点上本质不同。这一区别落实到计算上就是：化为定积分后下限必须小于上限，即参数由小积到大；不同表示形式下的具体公式，见后面关于弧长元 $ds$ 的条目。

③ 基本性质（与定积分平行）：线性，${\int }_L(\alpha f+\beta g)ds=\alpha {\int }_{L}fds+\beta {\int }_{L}gds$；对路径可加，若 $L=L_1+L_2$，则 ${\int }_L={\int }_{L_1}+{\int }_{L_2}$，因此可以分段计算；特例，${\int }_{L}1ds=L$ 的弧长，这就是求曲线周长的积分表述；保序，若在 $L$ 上 $f\le g$，那么 ${\int }_{L}fds\le {\int }_{L}gds$。此外，由于点在 $L$ 上，曲线方程可以代入被积函数；这一手法与奇偶对称、轮换对称，是化简第一类曲线积分的两个主要工具，详见后面关于对称性与空间交线的两条。

第一类曲线积分的难点常在于空间曲线是两个曲面的交线，例如球面与平面相交所得的圆。直接参数化往往十分繁琐，因此应当首先考察对称性：如果曲线 $\Gamma$ 在坐标轮换下不变，那么 ${\oint }_{\Gamma }{x}^{2}ds={\oint }_{\Gamma }{y}^{2}ds={\oint }_{\Gamma }{z}^{2}ds$。再利用点在曲线上、曲线方程恒成立这一事实，把 $x^2+y^2+z^2$ 整体代换成常数，往往几步即可得出结果，无须写出参数表示。

第一类曲线积分可以用来计算曲线的质量以及有关的几何量与物理量，下面一组公式必须熟记（其中 $\rho$ 为线密度）：
$$\begin{array}{rl}M& ={\int }_L\rho ds\\ \bar{x}& =\frac{1}{M}{\int }_{L}x\rho ds,\bar{y}=\frac{1}{M}{\int }_{L}y\rho ds\\ I_z& ={\int }_L(x^2+y^2)\rho ds(\text{对 }z\text{ 轴的转动惯量}).\end{array}$$
如果曲线是匀质的，那么 $\rho$ 为常数，可以提到积分号外。判断质心时利用对称性尤为方便：如果曲线关于某坐标轴对称，那么质心必落在该轴上，即另一个坐标为 $0$。

化简第一类曲线积分主要靠两个手法联用。①代入曲线方程：由于点在 $L$ 上，曲线方程恒成立，可以把被积函数中相应的组合换成常数，或者减少变量的个数。②奇偶对称：如果 $L$ 关于某坐标轴对称，那么被积函数中的奇函数部分积分为 $0$，偶函数部分等于一半曲线上积分的两倍。解题时先把被积函数分解成可代入化简的项 $+$ 奇对称的项 $+$ 其余部分，然后逐项处理，往往很快就能化简完毕。

弧长元 $ds$ 由勾股定理导出，它随曲线表示形式的不同而不同，必须能够随手写对：
$$\begin{array}{rl}& \text{参数式：}ds=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt\\ & \text{显式 }y=y(x)\text{：}ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx\\ & \text{极坐标 }r=r(\theta )\text{：}ds=\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}d\theta \end{array}$$
$$\text{空间参数式：}ds=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt.$$
不论采用哪一种表示，第一类曲线积分都从较小的参数值积到较大的参数值，这是因为 $ds>0$，积分不带方向。空间曲线（如螺旋线）与平面情形相比，只是在根号内多出一项 $z^{\prime 2}$。