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第一类曲线积分（对弧长）
高等数学 · 多元函数积分学
这一条要先会：定积分的概念与性质、定积分几何应用（面积、体积、弧长）
先打基础
一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。
1. 对弧长的积分：把一根弯曲的细丝称一称
第一类曲线积分记作
∫Lf(x,y)ds,
L 是一条平面（或空间）曲线，ds 是弧长微元。
物理意义：f 是线密度时，积分就是这根细丝的质量。
f≡1 时给出弧长：
s=∫Lds.
「第一类」这个名字记不住不要紧，记住关键词：
对弧长 ⇔ 第一类 ⇔ 和方向无关。2. 与方向无关——这是它的身份证
设 L− 是 L 反向的同一条曲线，则
∫L−fds=∫Lfds.
因为 ds 是弧长，永远为正，与沿哪个方向走无关。
这一条是第一类与第二类的根本分界：
第二类（对坐标）反向要变号，第一类不变。
直接的后果：写第一类曲线积分时不必标方向，
题目说「沿 L」就够了，不用管从哪头到哪头。
算的时候：参数的下限必须小于上限——
这是「弧长为正」在计算上的表现。3. 怎么算：把 ds 写出来，化成定积分
参数式 x=x(t)、y=y(t)（α≤t≤β）：
ds=x′2(t)+y′2(t)dt,
∫Lfds=∫αβf(x(t),y(t))×x′2+y′2dt.
三种常见的特殊写法：
① 显式 y=y(x)：ds=1+y′2dx；
② 极坐标 r=r(θ)：ds=r2+r′2dθ；
③ 空间曲线：根号里再加一项 z′2。
下限一定小于上限，这一点在第二类里就不成立了。4. 两招省力：代曲线方程与对称性
第一招：把曲线方程代进被积函数。
积分是沿着 L 走的，所以 L 上的点必然满足 L 的方程，
可以放心代入化简。
例如在圆 x2+y2=4 上，被积函数里的 x2+y2 可以直接写成 4。
这一招常常把一个难积分变成常数倍的弧长。
第二招：用对称性。
若 L 关于 y 轴对称，而 f 关于 x 是奇函数，则积分为 0；
是偶函数则等于一半曲线上积分的两倍。
注意与第二类的区别：第一类的对称性判据只看被积函数的奇偶，
因为 ds 不带方向。常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
标准算法
第一步：先看被积函数能不能用 L 的方程化简。
第二步：把 L 参数化（或用显式 / 极坐标写法）。
第三步：写出 ds，根号里是各分量导数的平方和。
第四步：代入化成定积分，下限小于上限，再算。例例. 求
∮L(x2+y2)ds，
L 是圆
x2+y2=R2。
第一步，先用
L 的方程化简：在
L 上处处有
x2+y2=R2，所以被积函数就是
常数 R2。这一步做完，题基本就没了。
第二步，于是
∮LR2ds=R2⋅(弧长)=R2⋅2πR=2πR3.第三、四步，若非要走完整流程：
x=Rcost、
y=Rsint，
t∈[0,2π]，
ds=x′2+y′2dt=Rdt,得
∫02πR2⋅Rdt=2πR3，一样。
第一步是这一类题的命门：不先用曲线方程化简，很多题会变成一个根本积不出来的定积分。
挑参数化的方式
第一步：圆或圆弧 ⇒ 用角度作参数（x=Rcost、y=Rsint）。
第二步：直线段 ⇒ 用 x 或 t∈[0,1] 线性插值。
第三步：显式给出的 y=y(x) ⇒ 直接拿 x 当参数。
第四步：极坐标曲线 ⇒ 用 ds=r2+r′2dθ。例例. 同一个被积函数
∫Lyds，四种曲线四种写法。
① 圆弧（
x2+y2=1 的第一象限部分）用
角度：
x=cost、
y=sint，
t∈[0,2π]，
ds=dt，得
∫02πsintdt=1。
② 直线段（
(0,0)→(1,1)）用
t∈[0,1] 线性插值：
x=t、
y=t，
ds=2dt，得
2∫01tdt=22。
③ 显式曲线 y=x2（
x∈[0,1]）直接拿
x 当参数：
ds=1+4x2dx，得
∫01x21+4x2dx。
④ 极坐标曲线 r=r(θ)：
ds=r2+r′2dθ，被积函数里
y=rsinθ。
挑的标准只有一个：
哪种写法让 ds 那个根号最好开。
用对称性
第一步：看曲线关于哪条轴（或原点）对称。
第二步：看被积函数关于那个变量是奇是偶。
第三步：奇 ⇒ 积分为 0；偶 ⇒ 取一半算再乘 2。
第四步：只看函数奇偶即可，ds 不带方向。例例. 求 ∮Lxds 与 ∮Lx2ds，L 是圆 x2+y2=R2。
第一步，L 关于 y 轴对称（也关于 x 轴）。
第二步，x 关于 x 是奇函数 ⇒ ∮Lxds=0。
第三步，x2 是偶的，可以取一半再乘 2；但这里有更省力的路——L 在 x↔y 轮换下不变，故两者相等，相加得
2∮Lx2ds=∮L(x2+y2)ds=R2⋅2πR,
于是 ∮Lx2ds=πR3。
第四步，这里只看函数的奇偶就够了：ds 是弧长，不带方向，不会跟着变号。这是第一类与第二类曲线积分最大的分别。
基础易错
基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。
ds 写成了 dx
第一类是对弧长积分，必须带那个根号。
直接写 dx 就变成了第二类（而且还漏了方向的讨论）。
看到 ds 就先把根号写下来。下限大于上限
弧长为正，参数必须从小积到大。
起点对应的参数更大时要交换上下限，不是加负号。
自检：密度非负时结果必须非负。忘了把曲线方程代进被积函数
L 上的点满足 L 的方程，被积函数能化简就化简。
圆上的 x2+y2 直接是常数，不化简要多算好几行。
动笔前先看一眼能不能代。给第一类标了方向
第一类与方向无关，题目写「沿 L」即可。
纠结「从 A 到 B 还是从 B 到 A」是白费力气。
要分方向的是第二类。自己试一试
这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。
第一组 · 认定义
练 1
第一类曲线积分 ∫L1ds 的几何意义是 L 的 ________。练 2
第一类曲线积分与积分路径的方向（ ）。- A有关，反向变号
- B空间曲线时才有关
- C闭曲线时才有关
- D无关
练 3
参数式下 ds=□dt，其中 □= ________（平面曲线）。练 4
显式 y=y(x) 时，ds=（ ）。- Adx
- By′dx
- C1+y′2dx
- D1+y2dx
第二组 · 会算
练 5
L 为 y=x2 上 0≤x≤1 的一段，则 ds= ________dx。练 6
L 为圆 x2+y2=4，则 ∮L(x2+y2)ds= ________。练 7
极坐标曲线 r=r(θ) 的 ds 为（ ）。- Ardθ
- Br′dθ
- C1+r′2dθ
- Dr2+r′2dθ
练 8
L 为圆 x2+y2=1，由对称性 ∮Lxds= ________。第三组 · 想清楚
练 9
为什么可以把 L 的方程代进被积函数（ ）。- A因为被积函数连续
- B因为 L 是闭曲线
- C因为积分只在 L 上取值，而 L 上的点都满足其方程
- D其实不可以
练 10
参数化后发现起点对应 t=2、终点对应 t=0，应当（ ）。- A交换上下限，从 0 积到 2
- B从 2 积到 0 并加负号
- C重新参数化
- D结果取相反数
练 11
空间曲线的 ds 根号里比平面情形多了一项 ________。练 12
线密度非负时，第一类曲线积分的结果（ ）。