乐思数学通 › 先打基础 › 第二类曲线积分（对坐标）

第二类曲线积分（对坐标）

高等数学 · 多元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 对坐标的积分：变力沿曲线做的功

第二类曲线积分记作

\int_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y .

物理意义：把

F = (P, Q)

看成力场，
这个积分就是质点沿

L

从起点走到终点时力做的功。

向量写法更贴近这个意思：

\int_{L} F \cdot d r,

其中

d r = (d x, d y)

是带方向的位移微元。

和第一类的分水岭就在这里：
第一类沿的是弧长（无方向），第二类沿的是坐标（有方向）。

2. 方向反了就变号——必须先看清从哪儿到哪儿

设

L^{-}

是

L

的反向曲线，则

\int_{L^{-}} P d x + Q d y = - \int_{L} P d x + Q d y .

因为 $d x$ 、 $d y$ 带正负：走回头路时每一小段的

d x

都变号。

物理上也顺理成章：沿原路返回，力做的功正好抵消。

闭曲线要约定正向：记号

\oint_{L}

通常指逆时针
（使区域始终在左手边），顺时针要加负号。
这个约定在下一条格林公式里是硬性要求。

做题第一件事：在图上标出起点、终点和走向。

3. 怎么算：参数化，限按起点到终点

设

L

的参数式为

x = x (t)

、

y = y (t)

，起点对应

t = α

、
终点对应

t = β

，则

\int_{L} P d x + Q d y = \int_{α}^{β} [P x^{'} (t) + Q y^{'} (t)] d t .

关键的一句：

α

是起点对应的参数，

β

是终点对应的，
$α$ 可以大于 $β$ 。

这正是和第一类最大的计算差别——那里必须小的在下。

其余步骤一样：把

P, Q

里的

x, y

换成

t

的函数，

d x

换成

x^{'} (t) d t

。

空间曲线再加一项

R d z

，做法照搬。

4. 两类之间的桥：用切向量投影

第二类可以化成第一类：

\int_{L} P d x + Q d y = \int_{L} (P cos α + Q cos β) d s,

其中

(cos α, cos β)

是

L

上与走向一致的单位切向量。

方向信息全藏在那个切向量里：换向之后切向量反号，
于是右边也变号——和左边一致。

用处有两个：
一是理论上说明两类积分不是两种东西，只差一个投影；
二是某些题目给的是「沿切向的分量」，直接套这条更快。

考试里更常用的是反过来：遇到第二类，优先想格林公式（下一条）。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

标准算法

第一步：在图上标出起点、终点与走向。

第二步：把

L

参数化，写出

x (t)

、

y (t)

与

x^{'}

、

y^{'}

。

第三步：代入得

[P x^{'} + Q y^{'}] d t

。

第四步：限从起点的参数积到终点的参数，不管大小。

例例. 求

\int_{L} y d x + x d y

，

L

是抛物线

y = x^{2}

从

(0, 0)

到

(1, 1)

。

第一步，在图上标出来：起点

(0, 0)

、终点

(1, 1)

，沿抛物线向右上走。

第二步，拿

x

当参数：

x = t

、

y = t^{2}

，于是

x^{'} = 1

、

y^{'} = 2 t

。

第三步，代入：

[t^{2} \cdot 1 + t \cdot 2 t] d t = 3 t^{2} d t .

第四步，限从起点的

t = 0

积到终点的

t = 1

：

\int_{0}^{1} 3 t^{2} d t = 1

。

第二类的限不讲大小只讲起终：反过来从

(1, 1)

走到

(0, 0)

就是

\int_{1}^{0} 3 t^{2} d t = - 1

。换向就变号——这也是它与第一类的分别。

分段路径

第一步：把折线或分段曲线拆成几段。

第二步：每段单独参数化、单独定起终点。

第三步：分别积，再相加。

第四步：水平段上

d y = 0

、竖直段上

d x = 0

，可以直接扔掉一项。

例例. 求

\int_{L} y d x + x d y

，

L

是折线

(0, 0) \to (1, 0) \to (1, 1)

。

第一步，拆成两段。

第二、三步，各段单独算：

L_{1}

（水平段，

y = 0

，

x

从

0

到

1

）：

d y = 0

，第二项直接扔掉；剩下的

\int y d x

里

y \equiv 0

，所以

\int_{L_{1}} = 0

。

L_{2}

（竖直段，

x = 1

，

y

从

0

到

1

）：

d x = 0

，第一项扔掉；剩下

\int_{0}^{1} 1 \cdot d y = 1

。

第四步，相加得

1

。

和上一条比：同样的起终点、完全不同的路，结果都是

1

。这不是巧合——

y d x + x d y = d (x y)

是个全微分，这种被积式的积分与路径无关。

闭曲线

第一步：看清题目给的是正向（逆时针）还是顺时针。

第二步：顺时针时先取负号，化成正向。

第三步：优先考虑用格林公式化成二重积分。

第四步：曲线不闭合时可以补线凑成闭曲线，最后减掉补的那段。

例例. 求

\oint_{L} (- y) d x + x d y

，

L

是圆

x^{2} + y^{2} = 1

，顺时针。

第一步，看清走向：题目给的是顺时针，不是正向。

第二步，先取负号化成正向：

\oint_{L} = - \oint_{L^{+}}

。

第三步，对正向用格林公式。

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (- 1) = 2

，故

\oint_{L^{+}} = \iint_{D} 2 d σ = 2 \cdot π = 2 π .

第四步，所以原积分

= - 2 π

。

曲线不闭合时（比如只给上半圆），就补线凑成闭的：补上直径那一段，对闭曲线用格林公式，最后减去补线上的积分。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把限写成从小到大

第二类的限按起点到终点写，上限可以比下限小。

强行从小到大积而不补负号，符号就反了。

固定一种做法：按起终点写限，不再另加负号。

没看清方向就动笔

反向差一个负号，而题面常把方向写在很不起眼的地方
（「沿…从

B

到

A

」「顺时针」）。

第一件事是在图上画箭头。

闭曲线的正向约定是逆时针。

$P$ 与 $Q$ 配错微元

P

配

d x

、

Q

配

d y

。

参数化之后对应

P x^{'}

与

Q y^{'}

，别交叉。

写之前先把 $F = (P, Q)$ 标清楚。

用第一类的对称性结论去判第二类

第一类只看被积函数的奇偶；第二类还要考虑

d x

在对称点上的符号。

同一条对称性，两类的结论常常相反。

拿不准就老实参数化。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

第二类曲线积分的物理意义是变力沿曲线所做的 ________。

练 2

沿反向曲线

L^{-}

的第二类曲线积分（）。

A与原积分相等
B等于原积分的两倍
C等于零
D等于原积分的相反数

练 3

记号

\oint_{L}

表示沿闭曲线积分，约定的正向是 ________ 时针。

练 4

在

P d x + Q d y

中，

P

是力在（）方向的分量。

A $y$
B切向
C法向
D $x$

第二组 · 会算

练 5

L

为

y = x^{2}

上从

(1, 1)

到

(0, 0)

的一段，则

\int_{L} y d x =

________。

练 6

已知

\int_{A B} P d x + Q d y = 5

，则沿同一曲线从

B

到

A

的积分为 ________。

练 7

在水平线段上（

y

为常数），

\int_{L} Q d y

等于（）。

A $0$
B $Q$ 的长度积分
C无法确定
D $\int Q d x$

练 8

参数式下

\int_{L} P d x + Q d y = \int_{α}^{β} [P x^{'} (t) + □] d t

，

□ =

________。

第三组 · 想清楚

练 9

第一类与第二类曲线积分的根本差别在于（）。

A被积函数不同
B是否可以参数化
C曲线是否闭合
D微元是否带方向

练 10

两类曲线积分的互化公式中，方向信息体现在（）。

A单位切向量 $(cos α, cos β)$
B $d s$
C被积函数 $P, Q$
D积分限

练 11

计算时若既按起点到终点写限、又补了一个负号，结果会（）。

A正确
B符号相反
C大小相差一倍
D变成第一类

练 12

空间情形的第二类曲线积分要再加一项 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

第二类曲线积分（对坐标）

先打基础

1. 对坐标的积分：变力沿曲线做的功

2. 方向反了就变号——必须先看清从哪儿到哪儿

3. 怎么算：参数化，限按起点到终点

4. 两类之间的桥：用切向量投影

常用结构

标准算法

分段路径

闭曲线

基础易错

把限写成从小到大

没看清方向就动笔

P 与 Q 配错微元

用第一类的对称性结论去判第二类

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

$P$ 与 $Q$ 配错微元