格林公式

高等数学 · 多元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 格林公式：把闭曲线上的积分换成二重积分

设闭区域

D

由分段光滑的闭曲线

L

围成，

P, Q

在

D

上有连续的一阶偏导数，
则

\oint_{L} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d σ .

三个条件缺一不可：

① 曲线闭合；
② 取正向（逆时针，区域在左手边）；
③ $P, Q$ 的偏导在 $D$ 上处处连续（不能有奇点）。

右边的被积函数别记反：是

Q

对

x

的偏导减

P

对

y

的偏导。

2. 正向与复连通：外逆内顺

单连通区域（没有洞）的正向就是逆时针。

复连通区域（有洞）的正向是：
外边界逆时针，内边界顺时针——
口诀是「外逆内顺」，判据仍是沿边界走时区域始终在左手边。

这时格林公式写成

\oint_{L_{外}} + \oint_{L_{内}} = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d σ,

两条边界都按上述正向。

题目若给的是顺时针，先添一个负号化成正向再用公式——
千万别直接套。

3. 两种常用变形：补线与算面积

① 曲线不闭合怎么办：补线。

想用格林公式但

L

不闭合时，添一段辅助线

L_{0}

（通常取水平、竖直线段
或直接连接起终点），凑成闭曲线：

\int_{L} = \oint_{L + L_{0}} - \int_{L_{0}} .

右边第一项用格林公式，第二项直接算（辅助线通常很好算）。

② 用它算面积。

取

P = - y

、

Q = x

，则右边被积函数恒为

2

，于是

A = \frac{1}{2} \oint_{L} x d y - y d x .

这条公式反过来用：知道边界的参数方程，就能算出围成的面积，
星形线、摆线那类题全靠它。

4. 有奇点怎么办：挖一个小洞

格林公式要求偏导在

D

上处处连续。
若

P, Q

在某点（通常是原点）无定义，不能直接套公式。

办法是挖洞：以奇点为心作一个小圆

l

（半径

ε

），
在挖去小圆的复连通区域上用格林公式。

最典型的例子是

P = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}, Q = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}},

它在原点之外满足

\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}

，
于是二重积分那一项为零，原积分就等于沿小圆的积分——
而小圆上的积分好算（代入

x^{2} + y^{2} = ε^{2}

）。

结论要记住：这个积分沿任何包含原点的正向闭曲线都等于

2 π

，
不含原点时等于

0

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

直接用格林公式

第一步：查三个条件——闭合、正向、偏导连续。

第二步：算

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}

。

第三步：在

D

上作二重积分（必要时换极坐标）。

第四步：题目给顺时针时，最后补一个负号。

例例. 求

\oint_{L} x^{2} y d x + x y^{2} d y

，

L

是圆

x^{2} + y^{2} = a^{2}

的正向。

第一步，查三个条件：闭合 ✓ 正向（逆时针）✓

P = x^{2} y

、

Q = x y^{2}

的偏导处处连续 ✓

第二步，

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^{2} - x^{2} .

第三步，在

D : x^{2} + y^{2} \leq a^{2}

上积。这里对称性比极坐标更快：

D

在

x \leftrightarrow y

轮换下不变，故

\iint_{D} y^{2} = \iint_{D} x^{2}

，相减得

0

。

第四步，答案是

0

。（题目若给顺时针，补个负号——不过

0

的负号还是

0

。）

查条件不是走过场：下一条那种在原点有奇点的题，套这个公式就是错的。

补线法

第一步：画图，看缺哪一段才能闭合。

第二步：补水平或竖直线段（最好算），并定好方向使整体为正向。

第三步：对闭曲线用格林公式。

第四步：减去补线上的积分——这一步最容易漏。

例例. 求

\int_{L} (e^{x} sin y - y) d x + (e^{x} cos y - 1) d y

，

L

是上半圆

y = a^{2} - x^{2}

从

(a, 0)

到

(- a, 0)

。

第一步，画图：差一条从

(- a, 0)

回到

(a, 0)

的线段才闭合。

第二步，补

L_{0}

：沿

x

轴从

(- a, 0)

到

(a, 0)

。这样

L + L_{0}

是逆时针，正向 ✓

第三步，对闭曲线用格林公式：

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = e^{x} cos y - (e^{x} cos y - 1) = 1,

故

\oint_{L + L_{0}} = \iint_{D} 1 d σ = \frac{π a ^{2}}{2}

（半圆面积）。

第四步，减去补线。

L_{0}

上

y = 0

、

d y = 0

，被积式只剩

(e^{x} \cdot 0 - 0) d x = 0

，所以

\int_{L_{0}} = 0

，于是

\int_{L} = \frac{π a ^{2}}{2}

。

这道题的补线恰好为零，减不减看不出来——但补线不为零的题里，漏掉这一步答案就全错。

有奇点时

第一步：找出使

P, Q

失去连续偏导的点。

第二步：判断奇点在不在闭曲线内部。

第三步：不在内部

\Rightarrow

照常用公式。

第四步：在内部

\Rightarrow

挖小圆，按「外逆内顺」化成小圆上的积分。

例例. 求

\oint_{L} \frac{- y d x + x d y}{x ^{2} + y ^{2}}

，

L

是正向的圆

x^{2} + y^{2} = 4

。

第一步，

P = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}

、

Q = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}

在原点失去定义——那是奇点。

第二步，原点在

L

的内部。

第三步，顺带算一下：在原点之外

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0

。所以凡是不绕原点的闭曲线，这个积分都是

0

。

第四步，原点在内部，挖小圆。取

l : x^{2} + y^{2} = ε^{2}

顺时针，环域上被积式的偏导之差为

0

，由格林公式

\oint_{L} + \oint_{l} = 0

，即

\oint_{L} = \oint_{l^{+}}

。在

l^{+}

上分母恒为

ε^{2}

：

\oint_{l^{+}} = \frac{1}{ε ^{2}} \oint_{l^{+}} (- y d x + x d y) = \frac{2 π ε ^{2}}{ε ^{2}} = 2 π .

所以答案是

2 π

，与 $L$ 的大小形状都无关，只要它绕原点一圈。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

被积函数记成 $P_{x} - Q_{y}$

是

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}

：
$Q$ 对 $x$ ，减去 $P$ 对 $y$ 。

记反了整个结果差一个负号。

记法：和

P d x + Q d y

里的搭配交叉着来。

曲线是顺时针却直接套公式

公式对正向（逆时针）成立。

顺时针要先添负号。

做题第一步就在图上画箭头。

有奇点还硬用

\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}

这类函数在原点没有定义，条件③不满足。

直接套会算出

0

，而正确答案常常是

2 π

。

看到分母含 $x^{2} + y^{2}$ 就先查原点在不在里面。

补线之后忘了减回去

补线只是为了凑闭曲线，它不属于原来的积分路径。

\int_{L} = \oint_{L + L_{0}} - \int_{L_{0}}

，最后那一项不能漏。

写式子时就把两项都写上，再分别算。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认公式

练 1

格林公式右边的被积函数是

\frac{\partial Q}{\partial x} -

________。

练 2

格林公式要求曲线（）。

A闭合且取正向
B光滑即可
C必须是圆
D不必闭合

练 3

复连通区域的正向口诀是「外 ________ 内顺」。

练 4

用格林公式求面积时取（）。

A $P = x$ 、 $Q = y$
B $P = 1$ 、 $Q = 1$
C $P = y$ 、 $Q = x$
D $P = - y$ 、 $Q = x$

第二组 · 会用

练 5

L

为圆

x^{2} + y^{2} = 1

正向，则

\oint_{L} (- y) d x + x d y =

________。

练 6

椭圆

x = a cos t

、

y = b sin t

所围面积为 ________。

练 7

曲线不闭合时想用格林公式，应当（）。

A直接套用
B改用第一类曲线积分
C补一段辅助线凑成闭曲线，最后减掉它
D无法使用

练 8

若

\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}

在单连通区域上处处成立，则沿其中任一闭曲线的积分为 ________。

第三组 · 想清楚

练 9

P = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}

、

Q = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}

沿包含原点的正向闭曲线积分等于（）。

A $2 π$
B $0$
C $π$
D与曲线形状有关

练 10

挖洞法之所以可行，是因为（）。

A小圆的半径趋于零
B挖去奇点后剩下的区域满足格林公式的条件
C原点的函数值为零
D曲线是圆

练 11

格林公式与牛顿–莱布尼茨公式的共同思想是（）。

A都用换元法
B都要求函数单调
C都是分部积分
D把内部的积分化成边界上的值

练 12

题目给的闭曲线是顺时针时，用格林公式前要先添一个 ________ 号。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

格林公式

先打基础

1. 格林公式：把闭曲线上的积分换成二重积分

2. 正向与复连通：外逆内顺

3. 两种常用变形：补线与算面积

4. 有奇点怎么办：挖一个小洞

常用结构

直接用格林公式

补线法

有奇点时

基础易错

被积函数记成 Px​−Qy​

曲线是顺时针却直接套公式

有奇点还硬用

补线之后忘了减回去

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

被积函数记成 $P_{x} - Q_{y}$