二重积分

高等数学 · 多元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 定义：和定积分同一套四步，只把小区间换成小块

把有界闭区域

D

任意分成

n

小块，面积记作

Δ σ_{i}

，
在每块里任取一点

(ξ_{i}, η_{i})

，作和

i = 1 \sum n f (ξ_{i}, η_{i}) Δ σ_{i} .

记

λ

为各小块直径的最大值，当

λ \to 0

时上式的极限存在，
就把它叫做

f

在

D

上的二重积分：

\iint_{D} f (x, y) d σ .

分割、近似、求和、取极限——和定积分一字不差，差别只在「被切的东西」：
那里切的是区间，这里切的是区域。

d σ

叫面积元素，在直角坐标下写成

d x d y

。

可积的充分条件也照搬： $f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则可积。

2. 几何意义：带符号的体积

当

f (x, y) \geq 0

时，

\iint_{D} f d σ

是曲顶柱体的体积：
以

D

为底、以曲面

z = f (x, y)

为顶。

和式里每一项

f (ξ_{i}, η_{i}) Δ σ_{i}

正是一根小柱子的体积
（底面积乘高），加起来再取极限就是整个柱体的体积。

$f$ 可以变号，这时积分算的是带符号的体积：

x O y

面上方的部分记正，下方的记负。

所以「体积」这个词只在

f \geq 0

时字面成立。一道题算出负数不是错，
是函数在那块区域上为负。

两个特例：

f \equiv 1

给出

D

的面积；

f \equiv c > 0

给出平顶柱体的体积

c S

。

3. 性质：线性、可加、保号，以及比较

四条性质，前三条照搬定积分：

① 线性.

\iint_{D} (a f + b g) d σ = a \iint_{D} f d σ + b \iint_{D} g d σ .

② 区域可加. 若

D = D_{1} \cup D_{2}

且

D_{1}, D_{2}

无公共内点，则

\iint_{D} = \iint_{D_{1}} + \iint_{D_{2}} .

③ 保号. 若在

D

上

f \geq 0

，则

\iint_{D} f d σ \geq 0

。

④ 比较. 若在

D

上

f \leq g

，则

\iint_{D} f d σ \leq \iint_{D} g d σ .

第④条是所有「比大小」题的出发点，而它本身只是第③条加上第①条。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条比较性质的证明，手法是：作差，再用「非负函数的积分非负」。
另外还要用到一条已经证过的结论：

\iint_{D} d σ = S

。设

f

在有界闭区域

D

上连续，

D

的面积为

S

，

m

与

M

分别是

f

在

D

上的
最小值与最大值。证明

m S \leq \iint_{D} f d σ \leq M S .

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍。

4. 对称性：两个条件都要查

这是考场上最省力的一条，也最容易用错。

设

D

关于 $y$ 轴对称（即

(x, y) \in D \Rightarrow (- x, y) \in D

）：

若

f

关于

x

是奇的（

f (- x, y) = - f (x, y)

），则

\iint_{D} f d σ = 0;

若

f

关于

x

是偶的（

f (- x, y) = f (x, y)

），则

\iint_{D} f d σ = 2 \iint_{D_{右}} f d σ .

关于

x

轴对称时同理，只是改看

f

对

y

的奇偶。

区域对称与函数奇偶，两个条件缺一不可。

另有一条轮换对称性：

D

关于直线

y = x

对称时，

\iint_{D} f (x, y) d σ = \iint_{D} f (y, x) d σ

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

比大小：先在 $D$ 上比被积函数

第一步：看清区域

D

给了变量什么范围（如

0 \leq x \leq 1

）。

第二步：在这个范围上比较两个被积函数的大小（纯代数，不碰积分）。

第三步：套比较性质，写出两个积分的大小关系。

第四步：写明「在

D

上」这个前提——换了区域结论可能反过来。

例例. 设

D : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

，比较

\iint_{D} (x + y) d σ

与

\iint_{D} (x + y)^{2} d σ

。

第一步，

D

给的范围是

0 \leq x + y \leq 2

。

第二步，纯代数地比。记

t = x + y

：

0 \leq t \leq 1

时

t^{2} \leq t

，

1 \leq t \leq 2

时

t^{2} \geq t

——两段方向相反，所以在这个

D

上比不出来。

第三步，换个区域就能比。取

D^{'} : 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, 0 \leq y \leq \frac{1}{2}

，那里

0 \leq t \leq 1

恒有

t^{2} \leq t

，故

\iint_{D^{'}} (x + y)^{2} d σ \leq \iint_{D^{'}} (x + y) d σ .

第四步，结论必须写「在

D^{'}

上」。同一对函数搬到

D^{''} : 1 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2

，那里

t \geq 2 > 1

，不等号整个反过来。

比的是被积函数，而「谁大谁小」只在给定区域上成立——这才是这一条的要害。

用对称性化简

第一步：先把被积函数按线性性拆开（整体常常既不奇也不偶）。

第二步：对每一块，先查

D

的对称轴（对

y

轴？对

x

轴？对

y = x

？）。

第三步：再查该块函数对相应变量的奇偶。

第四步：奇的记

0

，偶的化成半区域的两倍；两条都要在答卷上点明。

例例. 求

\iint_{D} (x + y^{3} + 1) d σ

，其中

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

。

第一步，按线性性拆开：整块

x + y^{3} + 1

既不奇也不偶（那个

+ 1

就不是），拆开之后每一块才有奇偶可言。

第二、三步，逐块查「区域对称 + 函数奇偶」：

\iint_{D} x d σ

：

D

关于

y

轴对称，

x

关于

x

为奇

\Rightarrow

为

0

；

\iint_{D} y^{3} d σ

：

D

关于

x

轴对称，

y^{3}

关于

y

为奇

\Rightarrow

为

0

；

\iint_{D} 1 d σ

：就是

D

的面积

π

。

第四步，答案是

π

。卷面上两条都要点明（区域怎么对称、函数怎么奇偶），只写一条这一步就没有依据。

不拆开直接说「被积函数是奇函数」是错的。

不算也能估：估值定理

第一步：求被积函数在

D

上的最小值

m

与最大值

M

（边界也要看）。

第二步：算出

D

的面积

S

。

第三步：写出

m S \leq I \leq M S

。

第四步：检查一下量纲——不要漏掉 $S$ 。

例例. 估计

I = \iint_{D} \frac{d σ}{x ^{2} + y ^{2} + 16}

，其中

D : x^{2} + y^{2} \leq 9

。

第一步，被积函数

\frac{1}{r ^{2} + 16}

随

r

递减。

r = 0

处取最大

M = \frac{1}{4}

；边界

r = 3

处取最小

m = \frac{1}{25} = \frac{1}{5}

——最值常常就在边界上，这一步不看边界就会只找到一个。

第二步，

D

的面积

S = π \cdot 3^{2} = 9 π

。

第三步，

\frac{1}{5} \cdot 9 π \leq I \leq \frac{1}{4} \cdot 9 π, 即 \frac{9 π}{5} \leq I \leq \frac{9 π}{4} .

第四步， $S$ 不能漏。只写

\frac{1}{5} \leq I \leq \frac{1}{4}

是把积分当成了函数值——积分是「函数值

\times

面积」，量纲上一眼就看得出来。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把二重积分一律当成「体积」

只有

f \geq 0

时它才是体积；

f

变号时算的是带符号的体积。

所以算出负数不一定是错的，要先看

f

在

D

上的符号。

反过来，题目问「几何体的体积」时，被积函数要取成非负的那一个。

区域对称就用对称性，不查函数奇偶

两个条件缺一不可。

D

是圆盘而

f = e^{x}

时，什么结论都没有。

症状：直接写

0

，整道题丢掉，而卷面上看不出任何破绽。

答卷上把两句都写出来：「

D

关于

y

轴对称」+「

f

对

x

为奇函数」。

比大小时不管区域

x^{3} \leq x^{2}

只在

0 \leq x \leq 1

上成立；在

x \geq 1

上恰好反过来。

所以比较被积函数必须在 $D$ 给定的范围内进行。

动笔第一件事是把

D

里变量的范围写出来。

估值定理漏掉面积 $S$

正确的是

m S \leq I \leq M S

，不是

m \leq I \leq M

。

那个

S

来自

\iint_{D} d σ = S

；漏掉它，
在面积不等于

1

的区域上估出来的范围是错的。

自检：

f \equiv c

时估值定理应当给出等号

c S

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义与性质

练 1

设

D

的面积为

S

，则

\iint_{D} d σ =

________。

练 2

当

f \geq 0

时，

\iint_{D} f d σ

的几何意义是（）。

A一条曲线的长度
B区域 $D$ 的面积
C一片曲面的面积
D以 $D$ 为底、 $z = f (x, y)$ 为顶的曲顶柱体的体积

练 3

设

D

的面积为

2

，则

\iint_{D} 3 d σ =

________。

练 4

若在

D

上恒有

f \leq g

，则（）。

A $\iint_{D} f \geq \iint_{D} g$
B $\iint_{D} f \leq \iint_{D} g$
C两者无法比较
D两者必相等

第二组 · 对称性

练 5

\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} x d σ =

________。

练 6

\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} (x + 1) d σ =

________。

练 7

要用对称性断定

\iint_{D} f d σ = 0

，需要（）。

A只要 $D$ 对称
B只要 $f$ 是奇函数
C $D$ 对称且 $f$ 关于相应变量为奇
D什么条件都不需要

练 8

\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 4} d σ =

________。

第三组 · 估值与比较

练 9

设

D

为

0 \leq x \leq 1

、

0 \leq y \leq 1

，则（）。

A $\iint_{D} x^{2} d σ \geq \iint_{D} x^{3} d σ$
B $\iint_{D} x^{2} d σ \leq \iint_{D} x^{3} d σ$
C两者相等
D无法比较

练 10

设

D

的面积为

S

，在

D

上

m \leq f \leq M

，则

\iint_{D} f d σ

的下界为 ________。

练 11

用估值定理估计

I = \iint_{D} (x + y + 1) d σ

（

D

：

0 \leq x \leq 1

，

0 \leq y \leq 1

），其下界为 ________。

练 12

估值定理

m S \leq \iint_{D} f d σ \leq M S

中的

S

是（）。

A $D$ 的周长
B $D$ 的面积
C $f$ 的最大值
D常数 $1$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

二重积分

先打基础

1. 定义：和定积分同一套四步，只把小区间换成小块

2. 几何意义：带符号的体积

3. 性质：线性、可加、保号，以及比较

请你先证

4. 对称性：两个条件都要查

常用结构

比大小：先在 D 上比被积函数

用对称性化简

不算也能估：估值定理

基础易错

把二重积分一律当成「体积」

区域对称就用对称性，不查函数奇偶

比大小时不管区域

估值定理漏掉面积 S

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

比大小：先在 $D$ 上比被积函数

估值定理漏掉面积 $S$