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二重积分的计算（直角坐标、交换积分次序）

高等数学 · 多元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 化成累次积分： $X$ 型与 $Y$ 型

二重积分不能直接算，要化成两次一元积分（累次积分）。按投影方向分两种写法。

$X$ 型（先对 $y$ ，后对 $x$ ）. 若

D : a \leq x \leq b, φ_{1} (x) \leq y \leq φ_{2} (x),

则

\iint_{D} f d σ = \int_{a}^{b} [\int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x, y) d y] d x .

$Y$ 型（先对 $x$ ，后对 $y$ ）. 若

c \leq y \leq d

、

ψ_{1} (y) \leq x \leq ψ_{2} (y)

，则

\iint_{D} f d σ = \int_{c}^{d} [\int_{ψ_{1} (y)}^{ψ_{2} (y)} f (x, y) d x] d y .

一条铁律：内层的上下限可以含外层变量，外层的上下限必须是常数。

算内层时，把外层变量当成常数。

2. 定限三步：画图、投影、穿线

给一块区域，怎么写出限？三步，顺序不能乱。

① 画出 $D$ . 这一步不能省——下面两步都在图上做。

② 投影.

X

型就把

D

投到

x

轴上，得到的区间就是外层的常数限

a \leq x \leq b

。

③ 穿线. 在

(a, b)

内任取一个

x

，作一条竖直线穿过

D

：
它从哪条曲线进来，那就是

y

的下限；从哪条出去，那就是上限。

若在不同的

x

段上，入口（或出口）由不同的曲线给出，就要分块——
把

D

切成两块，写成两个积分之和（这是区域可加性）。

3. 交换积分次序：反推区域，再重新定限

题目给一个累次积分，要求换成另一种次序。做法三步：

① 由限反推 $D$ . 把两层限读成不等式组。

② 画出 $D$ .

③ 按另一个方向重新定限（重新投影、重新穿线）。

只把 $d x d y$ 的位置对调、上下限照抄，是错的。
那样写出来的是另一块区域上的积分，而算出来的数看着一点问题都没有。

最常见的形状是三角形：

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f d y = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f d x,

两边说的都是三角形

0 \leq x \leq y \leq 1

。

4. 什么时候必须换次序

有些被积函数对内层变量根本积不出来（没有初等原函数）：

e^{y^{2}}, \frac{sin y}{y}, 1 + y^{3} .

信号很清楚：题目直接给了累次积分（而不是给区域），
而内层那个积分一看就积不出来。这时候就去换次序。

换完之后，内层往往变成「对另一个变量积一个常数」，一步就完；
而外层多出来的那个因子，常常正好让函数变得可积。

动笔顺序：反推区域

\to

画图

\to

换次序

\to

算内层（通常是乘区间长度）

\to

算外层。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

定限：画图、投影、穿线

第一步：把

D

的边界曲线画出来，求出交点。

第二步：选方向（

X

型或

Y

型），把

D

投影到对应的坐标轴，定出外层的常数限。

第三步：在投影区间内部任取一点作穿线，读出内层的下限（入口）与上限（出口）。

第四步：若入口或出口换了曲线，按区域可加性分块写成两个积分之和。

例例. 把

\iint_{D} x y d σ

化成累次积分并算出来，

D

由

y = x

与

y = x^{2}

围成。

第一步，画图求交点：

x = x^{2}

得

x = 0, 1

，交于

(0, 0)

与

(1, 1)

。在

0 < x < 1

内

x^{2} < x

，所以

y = x

在上、

y = x^{2}

在下。

第二步，选

X

型，投影到

x

轴得

[0, 1]

——外层限是常数 ✓

第三步，在

(0, 1)

内任取一点作竖直穿线：入口

y = x^{2}

，出口

y = x

。

\iint_{D} x y d σ = \int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} x y d y = \int_{0}^{1} \frac{x ^{3} - x ^{5}}{2} d x = \frac{1}{24} .

第四步，这里入口出口全程没换曲线，不必分块。若

D

改成由

y = x

、

y = 2 - x

、

y = 0

围成的三角形，竖直穿线时出口在

x = 1

处从

y = x

换成

y = 2 - x

，就必须拆成两个积分。

交换积分次序

第一步：把原来的两层限读成不等式组，得到

D

。

第二步：画出

D

（这一步省不得）。

第三步：按新方向重新投影、重新穿线；解边界方程时注意取哪个根。

第四步：写出新的累次积分，并检查外层限是否全为常数。

例例. 交换

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f (x, y) d y

的积分次序。

第一步，读成不等式组：

0 \leq x \leq 1

，

x \leq y \leq 1

。

第二步，画出来：由

y = x

、

y = 1

、

x = 0

围成的三角形，顶点

(0, 0)

、

(0, 1)

、

(1, 1)

。这一步省不得——不画图直接「把上下限对调」是这一条最常见的错法。

第三步，按

Y

型重来：投影到

y

轴得

0 \leq y \leq 1

；固定

y

作水平穿线，入口

x = 0

、出口

x = y

。

第四步，

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f d y = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f d x .

检查：外层限

0

到

1

全是常数 ✓ 内层限只含外层那个变量

y

✓

内层限里要是还留着

x

，一定是错了——那说明两层的变量串了。

认题：该不该换次序

第一步：看题目给的是区域还是累次积分——给累次积分往往就是在暗示换次序。

第二步：看内层能不能积出来（

e^{y^{2}}

、

\frac{sin y}{y}

、

1 + y^{3}

这类不能）。

第三步：不能就换次序；换完内层通常只是「常数乘区间长度」。

第四步：外层积分时留意区域送来的那个因子，它往往正好用来凑微分。

例例. 求

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y

。

第一步，题目直接给了累次积分——这本身就是在暗示换次序。

第二步，看内层：

\int e^{y^{2}} d y

积不出来（初等函数里没有它的原函数）。所以不是你不会积，是它不能积。

第三步，换次序。区域同上一条：

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x = \int_{0}^{1} y e^{y^{2}} d y .

内层对

x

积时

e^{y^{2}}

是常数，结果就是「常数

\times

区间长度

y

」。

第四步，区域送来的那个因子

y

恰好用来凑微分：

\int_{0}^{1} y e^{y^{2}} d y = \frac{1}{2} e^{y^{2}}_{0}^{1} = \frac{e - 1}{2} .

那个

y

不是巧合：换次序后内层区间长度就是

y

，而

e^{y^{2}}

求导也正好带出

2 y

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

外层的上下限里留着内层变量

\int_{0}^{y} d x \int_{0}^{1} f d y

这种写法是非法的：
外层对

x

积分，而它的上限是

y

，可

y

在内层已经被积掉了。

自检一眼就够：外层限必须全是常数。

这个错常出现在交换次序之后——改了内层却忘了改外层。

不画图，凭不等式直接换限

y = x^{2}

解成

x = y

还要判断取正根；

y = x

与

y = x^{2}

谁在上面，
在

(0, 1)

内外恰好相反。这些只有图能告诉你。

不画图写出来的积分往往合法、算得出数，只是算的是另一块区域。

标准答卷的第一笔就是那张图。

交换次序时只对调 $d x d y$ ，上下限照抄

把

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f d y

写成

\int_{x}^{1} d y \int_{0}^{1} f d x

是双重错误：
外层限含变量，而且区域也变了。

次序换了，两层限都要重新读图。

正确答案是

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f d x

。

该分块时只写一块

当竖线的入口（或出口）在不同的

x

段上落在不同曲线上时，必须分块。

只写一块的症状：算出来的值偏小，而过程看着完全正常。

判断办法还是看图——穿线时把整个投影区间扫一遍，看入口出口有没有换曲线。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认累次积分

练 1

下列累次积分写法合法的是（）。

A $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{y} f d y$
B $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f d y$
C $\int_{0}^{x} d x \int_{0}^{1} f d y$
D $\int_{0}^{y} d y \int_{0}^{1} f d x$

练 2

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} x y d y =

________。

练 3

X

型区域的累次积分先对 ________ 积分（填

x

或

y

）。

练 4

计算内层积分时，外层变量应当（）。

A当成常数
B和内层变量一起积
C当成零
D对它求导

第二组 · 定限

练 5

设

D

：

0 \leq x \leq 1

、

0 \leq y \leq x

，则

\iint_{D} x y d σ =

________。

练 6

设

D

由

y = x

与

y = x^{2}

围成，按

X

型定限时，内层

y

的下限是 ________。

练 7

下列累次积分中外层限不合法的是（）。

A $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f d y$
B $\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f d x$
C $\int_{0}^{y} d x \int_{0}^{1} f d y$
D $\int_{1}^{2} d x \int_{x}^{2 x} f d y$

练 8

把

D

：

0 \leq x \leq y \leq 1

写成

Y

型累次积分时，内层

x

的上限是 ________。

第三组 · 交换次序

练 9

交换

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} f d y

的次序后，内层

x

的上限是 ________。

练 10

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y =

________。

练 11

交换二重积分的积分次序时（）。

A只需把 $d x$ 与 $d y$ 对调
B上下限照抄即可
C必须由原限反推区域、画图并重新定限
D积分值会改变

练 12

若内层积分

\int \frac{sin y}{y} d y

积不出来，应当（）。

A放弃这道题
B对 $y$ 求导
C换元 $y = sin t$
D交换积分次序

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

二重积分的计算（直角坐标、交换积分次序）

先打基础

1. 化成累次积分：X 型与 Y 型

2. 定限三步：画图、投影、穿线

3. 交换积分次序：反推区域，再重新定限

4. 什么时候必须换次序

常用结构

定限：画图、投影、穿线

交换积分次序

认题：该不该换次序

基础易错

外层的上下限里留着内层变量

不画图，凭不等式直接换限

交换次序时只对调 dxdy，上下限照抄

该分块时只写一块

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 化成累次积分： $X$ 型与 $Y$ 型

交换次序时只对调 $d x d y$ ，上下限照抄