二重积分的计算（直角坐标、交换积分次序）

§5.2 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

2.81 分/卷近 11 年平均

8/11 年出现年份

5.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）二重积分的概念与性质定积分的计算③ 掌握后可解锁二重积分的计算（极坐标与对称性）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 累次积分成立的道理：把曲顶柱体切成薄片再累加（富比尼定理的直观解释）★ 要懂

二重积分

\iint_{D} f d σ

（

f \geq 0

）是曲顶柱体的体积。为什么它等于累次积分

\int_{a}^{b} [\int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f d y] d x

？为此可作如下考察：用一张平行于

y O z

面的平面，在横坐标

x

处把柱体截开，所得截面是一个曲边梯形，它的面积只与 $x$ 有关：

A (x) = \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x, y) d y

。再把这些薄片沿

x

从

a

到

b

累加（体积

=

截面积对厚度的积分）：

V = \int_{a}^{b} A (x) d x

。把两步合起来，得到的就是累次积分。计算内层积分时必须把外层变量看作常量：求

\int \dots d y

时，

x

是常量，凡是只含

x

的因子都可以提到积分号外面。富比尼定理保证：只要

f

在

D

上连续，那么两种次序的累次积分都等于这个二重积分。

证明 / 推导

（用切片法求体积）把

[a, b]

分成

a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b

。位于

[x_{i - 1}, x_{i}]

上方的那一薄片柱体，其厚度为

Δ x_{i}

，体积近似地等于截面积

\times

厚度，即

A (\overset{x}{ˉ}_{i}) Δ x_{i}

（

\overset{x}{ˉ}_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]

）。把各薄片的体积相加，得

V \approx \sum_{i} A (\overset{x}{ˉ}_{i}) Δ x_{i}

，它是

\int_{a}^{b} A (x) d x

的黎曼和；令

max Δ x_{i} \to 0

并取极限，得

V = \int_{a}^{b} A (x) d x = \int_{a}^{b} [\int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x, y) d y] d x .

当

f

连续时，上述过程可以严格论证，这就是富比尼定理。

■

举例说明

例（内层积分中外层变量视为常量）. 计算

\iint_{D} (x + 2 y) d σ

，

D = [0, 1] \times [0, 1]

。
解. 先对

y

积分（把

x

看作常量）：

A (x) = \int_{0}^{1} (x + 2 y) d y = [x y + y^{2}]_{0}^{1} = x + 1

。再对

x

积分：

\int_{0}^{1} (x + 1) d x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}

。所以所求积分

= \frac{3}{2}

。注意在内层积分中

x

始终是常量。

2. 化为累次积分的定限步骤：内层的限可以含外层变量，外层的限必须是常数★★ 必会

定限是本节的主要技术。一条基本规则：内层的上下限是含外层变量的曲线（或式子），外层的上下限必须是常数；如果外层的限中出现了另一个变量，那么定限一定有误。以 X 型（先对

y

后对

x

）为例，步骤如下：① 画出区域 $D$ ；② 外层：把

D

投影到

x

轴，得到常数范围

[a, b]

；③ 内层：对固定的

x

作一条向上的竖直射线穿过

D

，射线的入口曲线

y = φ_{1} (x)

给出下限，出口曲线

y = φ_{2} (x)

给出上限；④ 于是所求积分写成

\int_{a}^{b} d x \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f d y

。与此相类似，Y 型只需把竖直射线换成水平射线，并投影到

y

轴。至于选用 X 型还是 Y 型，应看哪一种的边界曲线更简单、需要分的块更少、内层积分更容易求出。

举例说明

例（定限并计算）. 求

D

的面积，其中

D

由

y = x^{2}

与

y = x

围成。
解. 求交点，由

x^{2} = x \Rightarrow x = 0, 1

得交点的横坐标。在

0 \leq x \leq 1

上，直线

y = x

位于抛物线

y = x^{2}

的上方，所以入口曲线为

y = x^{2}

、出口曲线为

y = x

，按 X 型定限得：

S_{D} = \int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} 1 d y = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} .

内层的上下限

x^{2}, x

都含有外层变量

x

，而外层的上下限

0, 1

是常数，符合上述规则。

3. 交换积分次序：为什么要交换，怎样交换（交换次序就是重新定限）★★ 必会

有两种情形需要交换积分次序：其一，内层积分求不出来，例如出现

\int e^{- y^{2}} d y, \int \frac{s i n y}{y} d y, \int sin y^{2} d y, \int \frac{e ^{y}}{y} d y

这类没有初等原函数的内层积分，换一个次序往往就能积出；其二，分块过多，按某一次序要把区域切成三四块，交换次序后可能只需一块。交换次序分三步：① 由已知累次积分的上下限，反推并画出区域 $D$ ；② 换成另一类型（X

\leftrightarrow

Y）后重新定限；③ 按新的上下限积分。最容易犯的错误是把

d x d y

直接对调而把原来的上下限照抄。交换次序后上下限完全改变，必须重新根据

D

来确定。内层积分求不出来，就是应当交换次序的标志。

证明 / 推导

交换次序的依据是富比尼定理：

f

在

D

上连续时，

\int_{a}^{b} [\int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f d y] d x

与

\int_{c}^{d} [\int_{ψ_{1} (y)}^{ψ_{2} (y)} f d x] d y

都等于同一个

\iint_{D} f d σ

，因此二者相等。由此可见，把积不出来的次序换成积得出来的次序，是有定理作保证的。

举例说明

例. 计算

I = \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} \frac{sin y}{y} d y

。
解. 内层的

\int \frac{s i n y}{y} d y

没有初等原函数，因此应当交换次序。由上下限还原出区域

{0 \leq x \leq y \leq 1}

（这是一个三角形）。改用 Y 型定限，

0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq y

，

I = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} \frac{sin y}{y} d x = \int_{0}^{1} \frac{sin y}{y} \cdot y d y = \int_{0}^{1} sin y d y = 1 - cos 1.

交换次序后

y

与分母相消，一步即可求出结果。如果照抄原来的上下限而写成

\int_{0}^{1} d y \int_{x}^{1} \dots

，那么外层的限中含有

x

，错误立即显现。

4. 什么时候必须把区域分块，以及怎样选择次序以避免分块★★ 必会

当一条穿过

D

的射线，它的入口曲线或出口曲线中途改变了表达式（例如下边界左半段是直线、右半段是抛物线），那么

D

就不是单一的 X 型区域（或 Y 型区域），必须根据积分区域的可加性沿分界线把

D

分成几块，对每一块分别定限，最后求和。但在许多情形下，只要换一种积分次序，原本需要分块的区域就可以按一块处理，这也是选择次序的一个重要理由。一般地，区域的上、下边界各是一条完整曲线时宜用 X 型，左、右边界各是一条完整曲线时宜用 Y 型。

举例说明

例. 区域

D

由

y = x^{2}

与

y = 2 - x^{2}

围成，求面积

S_{D}

，并说明次序的选择。
解. 由

x^{2} = 2 - x^{2} \Rightarrow x = \pm 1

得交点的横坐标。用 X 型：

- 1 \leq x \leq 1

，下边界

y = x^{2}

、上边界

y = 2 - x^{2}

各是一条完整曲线，只需一块：

S_{D} = \int_{- 1}^{1} d x \int_{x^{2}}^{2 - x^{2}} 1 d y = \int_{- 1}^{1} (2 - 2 x^{2}) d x = [2 x - \frac{2 x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = \frac{8}{3} .

若改用 Y 型，计算就比较麻烦：左、右边界在

y = 1

处改变表达式（当

0 \leq y \leq 1

时由

x = \pm y

界定，当

1 \leq y \leq 2

时由

x = \pm 2 - y

界定），因此必须在

y = 1

处分成两块。由此可见，选用 X 型可以避免分块。

💡 小知识

哪个顺序好算就用哪个，这不是投机取巧，而是有定理作保的做法。富比尼（G. Fubini，1907）证明，只要被积函数在区域上足够规矩，比如连续，两种累次积分必然相等，而且都等于那个二重积分。于是遇到原函数写不出来的

\int e^{- y^{2}} d y

，换个积分顺序把它绕开，完全合法。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 计算

I = \iint_{D} x y^{2} d σ

，其中

D = [0, 1] \times [0, 2]

为矩形区域。难度 1

思路：矩形区域 $+$ 被积函数可分离变量 $f = g (x) h (y)$ ，二重积分拆成两个定积分之积。

D

是矩形，

x \in [0, 1], y \in [0, 2]

，且

x y^{2} = x \cdot y^{2}

变量分离，故

I = (\int_{0}^{1} x d x) (\int_{0}^{2} y^{2} d y) .

分别算：

\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}

，

\int_{0}^{2} y^{2} d y = [\frac{y ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3}

。故

I = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3} .

答案： $I = \frac{4}{3}$ 。 遇到「矩形

+

可分离」务必第一时间用这招，比逐层积分更省力。

例 2 计算

I = \iint_{D} (x + y) d σ

，其中

D

是由

y = 0, y = x, x = 1

围成的三角形。难度 1

思路：画区域，按 X 型定限（先对 $y$ 后对 $x$ ）。

D

的顶点为

(0, 0), (1, 0), (1, 1)

。X 型：

x

从

0

到

1

；对固定的

x

，竖直射线从下边界

y = 0

进、上边界

y = x

出，故

0 \leq y \leq x

：

I = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} (x + y) d y .

内层（把

x

当常数）：

\int_{0}^{x} (x + y) d y = [x y + \frac{y ^{2}}{2}]_{0}^{x} = x^{2} + \frac{x ^{2}}{2} = \frac{3 x ^{2}}{2}

。
外层：

I = \int_{0}^{1} \frac{3 x ^{2}}{2} d x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}

。
答案： $I = \frac{1}{2}$ 。 关键：内层上限

y = x

含外层变量（曲线），外层上下限是常数。

例 3 计算

I = \iint_{D} x d σ

，其中

D

由抛物线

y = x^{2}

与直线

y = x

围成。难度 2

思路：先求交点定出 $x$ 范围，再按 X 型定内层上下界。

联立

y = x^{2}

与

y = x

：

x^{2} = x \Rightarrow x = 0

或

x = 1

，交点

(0, 0), (1, 1)

。在

0 \leq x \leq 1

上直线在抛物线上方（如

x = \frac{1}{2}

：

\frac{1}{2} > \frac{1}{4}

），故

x^{2} \leq y \leq x

：

I = \int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} x d y .

内层：

\int_{x^{2}}^{x} x d y = x (x - x^{2}) = x^{2} - x^{3}

。
外层：

I = \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{3}) d x = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}

。
答案： $I = \frac{1}{12}$ 。

例 4 计算

I = \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} \frac{sin y}{y} d y

。难度 2

思路：内层 $\int \frac{sin y}{y} d y$ 没有初等原函数，正着积不出——这是必须交换积分次序的信号。

第一步：还原区域。 由外层

0 \leq x \leq 1

、内层

x \leq y \leq 1

得

D : 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 1

，即由

y = x, y = 1, x = 0

围成的三角形，顶点

(0, 0), (0, 1), (1, 1)

。

第二步：改用 Y 型重新定限。

y

从

0

到

1

；对固定的

y

，水平射线从左边界

x = 0

进、右边界

x = y

（即

y = x

）出，故

0 \leq x \leq y

：

I = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} \frac{sin y}{y} d x .

第三步：积分。 内层把

\frac{sin y}{y}

当常数：

\int_{0}^{y} \frac{sin y}{y} d x = \frac{sin y}{y} \cdot y = sin y

，于是

I = \int_{0}^{1} sin y d y = [- cos y]_{0}^{1} = 1 - cos 1.

答案： $I = 1 - cos 1$ 。 换序后

y

恰好约掉分母，「积不出」变成一行出结果。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x, y)

在区域

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

上连续，且

f (x, y) = f (y, x)

，则

\iint_{D} f (x, y) d x d y =

（　　）

A $2 n \to \infty lim i = 1 \sum n j = n + 1 - i \sum n f (\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \frac{1}{n ^{2}}$
B $\frac{1}{2} n \to \infty lim i = 1 \sum n j = i \sum n f (\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \frac{1}{n ^{2}}$
C $2 n \to \infty lim i = 1 \sum 2 n j = 1 \sum 2 n + 1 - i f (\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}) \frac{1}{n ^{2}}$
D $\frac{1}{2} n \to \infty lim i = 1 \sum 2 n j = 1 \sum i f (\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}) \frac{1}{n ^{2}}$

2025 年 · 数二 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x, y)

连续，则

\int_{- 2}^{2} d x \int_{4 - x^{2}}^{4} f (x, y) d y =

（　　）

A $\int_{0}^{4} [\int_{- 2}^{- 4 - y} f d x + \int_{4 - y}^{2} f d x] d y$
B $\int_{0}^{4} [\int_{- 2}^{4 - y} f d x + \int_{4 - y}^{2} f d x] d y$
C $\int_{0}^{4} [\int_{- 2}^{- 4 - y} f d x + \int_{2}^{4 - y} f d x] d y$
D $2 \int_{0}^{4} d y \int_{4 - y}^{2} f (x, y) d x$

2024 年 · 数二 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

f (x, y)

是连续函数，则

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} d x \int_{s i n x}^{1} f (x, y) d y =

（　　）

A $\int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{\frac{π}{6}}^{a r c s i n y} f (x, y) d x$
B $\int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{a r c s i n y}^{\frac{π}{2}} f (x, y) d x$
C $\int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{π}{6}}^{a r c s i n y} f (x, y) d x$
D $\int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{a r c s i n y}^{\frac{π}{2}} f (x, y) d x$

2022 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

\int_{0}^{2} d y \int_{y}^{2} \frac{y}{1 + x ^{3}} d x =

（　　）

A $\frac{2}{6}$ .
B $\frac{1}{3}$ .
C $\frac{2}{3}$ .
D $\frac{2}{3}$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

\iint_{D} e^{x + y} d σ =

____，其中

D = [0, 1] \times [0, 1]

。

练习 2 · 选择题

设

D

是顶点为

(0, 0), (1, 0), (1, 1)

的三角形，则

\iint_{D} f (x, y) d σ =

（　　）。

A $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f (x, y) d y$
B $\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f (x, y) d y$
C $\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f (x, y) d x$
D $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f (x, y) d y$

练习 3 · 选择题

交换积分次序，

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f (x, y) d x =

（　　）。

A $\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f (x, y) d y$
B $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f (x, y) d y$
C $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f (x, y) d y$
D $\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} f (x, y) d x$

练习 4 · 填空题

计算

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y =

____。

练习 5 · 填空题

\iint_{D} y d σ =

____，其中

D

是由

y = 0, y = x, x = 1

围成的三角形。

练习 6 · 选择题

交换积分次序，

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x^{2}} f (x, y) d y + \int_{1}^{2} d x \int_{0}^{2 - x} f (x, y) d y =

（　　）。

A $\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{2 - y} f (x, y) d x$
B $\int_{0}^{1} d y \int_{y^{2}}^{2 - y} f (x, y) d x$
C $\int_{0}^{2} d y \int_{y}^{2 - y} f (x, y) d x$
D $\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f (x, y) d x + \int_{1}^{2} d y \int_{0}^{2 - y} f (x, y) d x$

练习 7 · 填空题

\iint_{D} ∣ y - x ∣ d σ =

____，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2}

。

练习 8 · 解答题

计算

I = \int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} \frac{y}{x} e^{x^{2}} d x

。

2021 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

f (t) = \int_{1}^{t^{2}} d x \int_{x}^{t} sin \frac{x}{y} d y

，则

f^{'} (\frac{π}{2}) =

___。

2020 年 · 数二 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} x^{3} + 1 d x =

___。