二重积分的计算（直角坐标、交换积分次序）

§5.2 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

3.00 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

4.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）二重积分的概念与性质定积分的计算③ 掌握后可解锁二重积分的计算（极坐标、对称性、反常二重积分）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 累次积分为什么成立：把体积切成薄片再累加★ 要懂

二重积分

\iint_{D} f d σ

（

f \geq 0

）是曲顶柱体的体积。为什么它等于累次积分

\int_{a}^{b} [\int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f d y] d x

呢？设想用一个平行于

y O z

面的平面，在横坐标

x

处把柱体竖直截开，截面是一个曲边梯形，其面积只与 $x$ 有关：

A (x) = \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x, y) d y

。再把这些薄片沿

x

由

a

累加到

b

；因为体积

=

截面积对厚度的积分，故

V = \int_{a}^{b} A (x) d x

。两步合起来就是累次积分。计算内层积分时必须把外层变量固定不动：算

\int \dots d y

时把

x

看作常数，凡只含

x

的因子一律当作系数。富比尼定理保证：只要

f

在

D

上连续，两种顺序的累次积分都等于同一个二重积分。

证明 / 推导

（切片求体积）把

[a, b]

分成

a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b

。位于

[x_{i - 1}, x_{i}]

上方的那一薄片柱体，厚度为

Δ x_{i}

，其体积近似等于截面积

\times

厚度，即

A (\overset{x}{ˉ}_{i}) Δ x_{i}

，其中

\overset{x}{ˉ}_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]

。累加得

V \approx \sum_{i} A (\overset{x}{ˉ}_{i}) Δ x_{i}

，这就是

\int_{a}^{b} A (x) d x

的黎曼和；令

max Δ x_{i} \to 0

取极限，得

V = \int_{a}^{b} A (x) d x = \int_{a}^{b} [\int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x, y) d y] d x .

当

f

连续时，上述过程是严格成立的，这就是富比尼定理。

■

举例说明

例（体会固定外层变量）. 计算

\iint_{D} (x + 2 y) d σ

，

D = [0, 1] \times [0, 1]

。
解. 先对

y

积分，此时把

x

看作常数：

A (x) = \int_{0}^{1} (x + 2 y) d y = [x y + y^{2}]_{0}^{1} = x + 1

。再对

x

积分：

\int_{0}^{1} (x + 1) d x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}

。故所求积分

= \frac{3}{2}

。注意在内层积分中

x

始终是常数。

2. 定限四步法：内层限含外层变量，外层限必为常数★★ 必会

定限是本节最关键的技术。一条基本规则：内层的上下限是含外层变量的曲线或表达式，外层的上下限必须是常数；只要外层的限中出现了另一个变量，就一定是错的。以 X 型（先

y

后

x

）为例，可分四步：① 画出 $D$ ；② 外层：把

D

投影到

x

轴，得常数范围

[a, b]

；③ 内层：对固定的

x

作一条向上的竖直射线穿过

D

，以入口曲线

y = φ_{1} (x)

为下限，以出口曲线

y = φ_{2} (x)

为上限；④ 写成

\int_{a}^{b} d x \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f d y

。Y 型只需把竖直射线换成水平射线，并投影到

y

轴。至于选 X 型还是 Y 型，要看哪一种的边界曲线更简单、需要分的块更少、内层更容易积出。

举例说明

例（数三 2006）. 计算

I = \iint_{D} y^{2} - x y d σ

，其中

D

由

y = x, y = 1, x = 0

围成。
解. 先画出区域：这是一个三角形，顶点为

(0, 0), (0, 1), (1, 1)

。选先对

x

后对

y

的顺序定限。外层把区域投影到

y

轴，得常数范围

0 \leq y \leq 1

；内层对固定的

y

作水平射线，它从左边界

x = 0

进入，从右边界

x = y

（即

y = x

）穿出，故

0 \leq x \leq y

。内层的上限含外层变量，外层的上下限是常数，符合上述规则：

I = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} y^{2} - x y d x .

计算内层积分时把

y

看作常数，并凑微分

d (y^{2} - x y) = - y d x

，得

\int_{0}^{y} y^{2} - x y d x = - \frac{1}{y} \cdot \frac{2}{3} (y^{2} - x y)^{3/2}_{0}^{y} = \frac{2}{3 y} \cdot y^{3} = \frac{2}{3} y^{2}

。再积外层，得

I = \int_{0}^{1} \frac{2}{3} y^{2} d y = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}

。

3. 交换积分次序：为什么要换、怎样换（换序就是重新定限）★★ 必会

有两种情形需要交换积分次序。其一，内层积不出来：内层出现

\int e^{- y^{2}} d y, \int \frac{s i n y}{y} d y, \int sin y^{2} d y, \int \frac{e ^{y}}{y} d y

等没有初等原函数的积分，换一个顺序往往就能积出；其二，分块太多：按某一顺序要把区域切成三四块，换序后可能只需一块。换序分三步：① 由已知累次积分的上下限，反推并画出区域 $D$ ；② 换成另一种类型（X

\leftrightarrow

Y），重新定限；③ 按新的限积分。最严重的错误是把

d x d y

直接对调而照抄原来的上下限；换序后上下限完全改变，必须重新根据

D

来确定。内层积不出来，就是应当换序的信号。

证明 / 推导

换序的依据是富比尼定理：当

f

在

D

上连续时，

\int_{a}^{b} [\int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f d y] d x

与

\int_{c}^{d} [\int_{ψ_{1} (y)}^{ψ_{2} (y)} f d x] d y

都等于同一个

\iint_{D} f d σ

，因此二者相等。所以把积不出的顺序换成积得出的顺序，是有定理保证的。

举例说明

例（数三 1988）. 计算

I = \int_{0}^{π /6} d y \int_{y}^{π /6} \frac{cos x}{x} d x

。
解. 内层

\int \frac{cos x}{x} d x

没有初等原函数，这就是应当换序的信号。① 由上下限

0 \leq y \leq \frac{π}{6}, y \leq x \leq \frac{π}{6}

还原区域，它是三角形

{0 \leq x \leq \frac{π}{6}, 0 \leq y \leq x}

；② 改为先对

y

后对

x

，重新定限；③ 积分：

I = \int_{0}^{π /6} d x \int_{0}^{x} \frac{cos x}{x} d y = \int_{0}^{π /6} \frac{cos x}{x} \cdot x d x = \int_{0}^{π /6} cos x d x = sin x_{0}^{π /6} = \frac{1}{2} .

换序后所得的

x

恰好与分母中的

x

相消，原来积不出的积分就能积出。如果照抄上下限而写成

\int_{0}^{π /6} d x \int_{y}^{π /6} \dots

，外层的限中含有

y

，错误立刻显现。

4. 何时必须分块，以及怎样通过选择积分顺序避免分块★★ 必会

如果穿过

D

的射线，其入口曲线或出口曲线中途改变了表达式，例如下边界左半是直线、右半是抛物线，那么说明

D

不是单一的 X 型（或 Y 型），必须利用区域可加性沿分界线把

D

切成几块，每块分别定限再求和。但在许多情形下，换一种积分顺序，原来要分块的区域就只需按一块处理。这正是选择积分顺序的重要原因。一般说来，当区域的上、下边界各是一条完整曲线时宜用 X 型，当左、右边界各是一条完整曲线时宜用 Y 型。

举例说明

例（数三 2013）. 计算

I = \iint_{D} x^{2} d σ

，其中

D

由直线

x = 3 y, y = 3 x, x + y = 8

围成。
解. 三条直线两两求交，得顶点

(0, 0), (2, 6), (6, 2)

。下边界始终是

y = \frac{1}{3} x

，但上边界中途改变：当

x \in [0, 2]

时为

y = 3 x

，当

x \in [2, 6]

时为

y = 8 - x

。出口曲线换了表达式，故须利用区域可加性沿

x = 2

把

D

切成两块，各块都先对

y

后对

x

积分：

I = \int_{0}^{2} x^{2} d x \int_{x /3}^{3 x} d y + \int_{2}^{6} x^{2} d x \int_{x /3}^{8 - x} d y = \frac{8}{3} \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{2}^{6} (8 x^{2} - \frac{4}{3} x^{3}) d x .

算得

\frac{8}{3} \cdot 4 + [\frac{8}{3} x^{3} - \frac{1}{3} x^{4}]_{2}^{6} = \frac{32}{3} + 128 = \frac{416}{3}

。上边界不是单一曲线时，分块无法避免；如果改为先对

x

后对

y

，左右边界同样在

y = 2, 6

处改变，分的块反而更多。

💡 小知识

哪个顺序好算就用哪个，这不是投机取巧，而是有定理撑腰的。富比尼（G. Fubini，1907）证明，只要被积函数在区域上足够规矩，比如连续，两种累次积分必然相等，而且都等于那个二重积分。所以换一下积分次序，绕开积不出来的

\int e^{- y^{2}} d y

，是完全合法的一步。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 计算

I = \iint_{D} x y^{2} d σ

，其中

D = [0, 1] \times [0, 2]

为矩形区域。难度 1

思路：矩形区域 $+$ 被积函数可分离变量 $f = g (x) h (y)$ ，二重积分拆成两个定积分之积。

D

是矩形，

x \in [0, 1], y \in [0, 2]

，且

x y^{2} = x \cdot y^{2}

变量分离，故

I = (\int_{0}^{1} x d x) (\int_{0}^{2} y^{2} d y) .

分别算：

\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}

，

\int_{0}^{2} y^{2} d y = [\frac{y ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3}

。故

I = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3} .

答案： $I = \frac{4}{3}$ 。 遇到「矩形

+

可分离」务必第一时间用这招，比逐层积分更省力。

例 2 计算

I = \iint_{D} (x + y) d σ

，其中

D

是由

y = 0, y = x, x = 1

围成的三角形。难度 1

思路：画区域，按 X 型定限（先对 $y$ 后对 $x$ ）。

D

的顶点为

(0, 0), (1, 0), (1, 1)

。X 型：

x

从

0

到

1

；对固定的

x

，竖直射线从下边界

y = 0

进、上边界

y = x

出，故

0 \leq y \leq x

：

I = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} (x + y) d y .

内层（把

x

当常数）：

\int_{0}^{x} (x + y) d y = [x y + \frac{y ^{2}}{2}]_{0}^{x} = x^{2} + \frac{x ^{2}}{2} = \frac{3 x ^{2}}{2}

。
外层：

I = \int_{0}^{1} \frac{3 x ^{2}}{2} d x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}

。
答案： $I = \frac{1}{2}$ 。 关键：内层上限

y = x

含外层变量（曲线），外层上下限是常数。

例 3 计算

I = \iint_{D} x d σ

，其中

D

由抛物线

y = x^{2}

与直线

y = x

围成。难度 2

思路：先求交点定出 $x$ 范围，再按 X 型定内层上下界。

联立

y = x^{2}

与

y = x

：

x^{2} = x \Rightarrow x = 0

或

x = 1

，交点

(0, 0), (1, 1)

。在

0 \leq x \leq 1

上直线在抛物线上方（如

x = \frac{1}{2}

：

\frac{1}{2} > \frac{1}{4}

），故

x^{2} \leq y \leq x

：

I = \int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} x d y .

内层：

\int_{x^{2}}^{x} x d y = x (x - x^{2}) = x^{2} - x^{3}

。
外层：

I = \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{3}) d x = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}

。
答案： $I = \frac{1}{12}$ 。

例 4 计算

I = \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} \frac{sin y}{y} d y

。难度 2

思路：内层 $\int \frac{sin y}{y} d y$ 没有初等原函数，正着积不出——这是必须交换积分次序的信号。

第一步：还原区域。 由外层

0 \leq x \leq 1

、内层

x \leq y \leq 1

得

D : 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 1

，即由

y = x, y = 1, x = 0

围成的三角形，顶点

(0, 0), (0, 1), (1, 1)

。

第二步：改用 Y 型重新定限。

y

从

0

到

1

；对固定的

y

，水平射线从左边界

x = 0

进、右边界

x = y

（即

y = x

）出，故

0 \leq x \leq y

：

I = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} \frac{sin y}{y} d x .

第三步：积分。 内层把

\frac{sin y}{y}

当常数：

\int_{0}^{y} \frac{sin y}{y} d x = \frac{sin y}{y} \cdot y = sin y

，于是

I = \int_{0}^{1} sin y d y = [- cos y]_{0}^{1} = 1 - cos 1.

答案： $I = 1 - cos 1$ 。 换序后

y

恰好约掉分母，「积不出」变成一行出结果。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设平面区域

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

，计算二重积分

\iint_{D} \frac{y}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{3/2}} d x d y

。

2025 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

连续，则

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f (x) d x =

（　　）。

A $\int_{0}^{1} x f (x) d x$
B $\int_{0}^{1} (1 + x) f (x) d x$
C $\int_{0}^{1} (x - 1) f (x) d x$
D $\int_{0}^{1} (1 - x) f (x) d x$

2025 年 · 数三 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

已知平面有界区域

D = {(x, y) ∣ y^{2} \leq x, x^{2} \leq y}

，计算二重积分

\iint_{D} (x - y + 1)^{2} d x d y

。

2024 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设

f (x, y)

是连续函数，则

\int_{π /6}^{π /2} d x \int_{s i n x}^{1} f (x, y) d y =

（　　）。

A $\int_{1/2}^{1} d y \int_{π /6}^{a r c s i n y} f (x, y) d x$
B $\int_{1/2}^{1} d y \int_{a r c s i n y}^{π /2} f (x, y) d x$
C $\int_{0}^{1/2} d y \int_{π /6}^{a r c s i n y} f (x, y) d x$
D $\int_{0}^{1/2} d y \int_{a r c s i n y}^{π /2} f (x, y) d x$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

\iint_{D} e^{x + y} d σ =

____，其中

D = [0, 1] \times [0, 1]

。

练习 2 · 选择题

设

D

是顶点为

(0, 0), (1, 0), (1, 1)

的三角形，则

\iint_{D} f (x, y) d σ =

（　　）。

A $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f (x, y) d y$
B $\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f (x, y) d y$
C $\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f (x, y) d x$
D $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f (x, y) d y$

练习 3 · 选择题

交换积分次序，

\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f (x, y) d x =

（　　）。

A $\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f (x, y) d y$
B $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f (x, y) d y$
C $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f (x, y) d y$
D $\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} f (x, y) d x$

练习 4 · 填空题

计算

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y =

____。

练习 5 · 填空题

\iint_{D} y d σ =

____，其中

D

是由

y = 0, y = x, x = 1

围成的三角形。

练习 6 · 选择题

交换积分次序，

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{2 - x} f (x, y) d y =

（　　）

A $\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f (x, y) d x + \int_{1}^{2} d y \int_{0}^{2 - y} f (x, y) d x$
B $\int_{0}^{2} d y \int_{0}^{y} f (x, y) d x$
C $\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{2 - y} f (x, y) d x$
D $\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} f (x, y) d x + \int_{1}^{2} d y \int_{2 - y}^{1} f (x, y) d x$

练习 7 · 填空题

设

D = {(x, y) ∣ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1}

，则

\iint_{D} (x + y)^{2} d σ =

____

练习 8 · 解答题

计算

I = \iint_{D} y - x^{2} d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ - 1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2}

。

2022 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

f (x) = {e^{x}, 0, 0 \leq x \leq 1 其他

，则

\int_{- \infty}^{+ \infty} d x \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) f (y - x) d y =

______.

2018 年 · 数三 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

设平面区域

D

由曲线

y = 3 (1 - x^{2})

与直线

y = 3 x

及

y

轴围成。计算二重积分

\iint_{D} x^{2} d x d y

。