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二重积分的计算（极坐标与对称性）
高等数学 · 多元函数积分学
这一条要先会：二重积分、二重积分的计算（直角坐标、交换积分次序）
先打基础
一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。
1. dσ=rdrdθ：那个 r 是全部要害
代换
x=rcosθ,y=rsinθ,
于是 x2+y2=r2。换完之后公式是
∬Df(x,y)dσ=∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.
面积元素是 rdrdθ，不是 drdθ。
那个 r 不是记忆点，是量出来的：极坐标下的小块是一小片扇环，
径向边长是 dr，周向边长是弧长
rdθ(弧长=半径×圆心角),
两边相乘就是 rdrdθ。
离原点越远，同样的角度扫过的弧越长——这就是 r 的来历。2. 什么时候用极坐标：看区域，也看被积函数
两个信号，有一个就值得考虑：
① 区域是圆、圆环、扇形——边界方程里含 x2+y2；
② 被积函数含 x2+y2、x2+y2 或 xy。
因为这几样在极坐标下都变简单：
x2+y2=r2,x2+y2=r,xy=tanθ.
反过来也要会判：区域是矩形或三角形、被积函数是 xy 这类时，
极坐标通常更麻烦——边界会变成 r=cosθ1 这种式子。
换坐标不是目标，是手段：换完之后限要更好写、函数要更好积，才值得换。3. 定限：θ 由两条射线，r 由内外两条曲线
和直角坐标一样是「投影 + 穿线」，只是方向换成了从原点发出的射线。
① θ 的范围：两条边界射线之间。整个圆域是 0 到 2π，
上半是 0 到 π，第一象限是 0 到 2π。
② r 的范围：固定一个 θ，从原点沿射线穿过 D，入口 r1(θ)、出口 r2(θ)。
r 的限常常是 θ 的函数，不一定是常数。几条常见边界：
x2+y2=a2x2+y2=2axx=1y=xr=ar=2acosθr=cosθ1θ=4π4. 先用对称性砍掉一半，再换极坐标
上一节的对称性在这里照样好用，而且和极坐标配合起来最省事：
先用对称性把积分化到半个（或四分之一个）区域上，再换极坐标定限。
在极坐标下，对称性表现为 θ 的范围对称、被积函数对 θ 的奇偶：
∫02πcosθdθ=0
这类积分一眼可见，常常比在直角坐标下更快看出来。
数三还要求反常二重积分：被积函数在某点无界（如 x2+y21
在原点）或区域无界时，用极限定义。极坐标在这里特别顺手——
把那个 r 乘进去之后再看指数，收敛与否立刻清楚。常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
极坐标三步：换、补 r、定限
第一步：把 x=rcosθ、y=rsinθ 代进被积函数，化简（x2+y2 变 r2）。
第二步：把 dσ 写成 rdrdθ——那个 r 现在就补上。
第三步：定 θ 的范围（两条边界射线），再固定 θ 作射线穿区域定 r 的范围。
第四步：先积 r（内层），再积 θ；两层能分离时分开算。例例. 求
∬D(x2+y2)dσ，
D: 1≤x2+y2≤4。
第一步，代换后被积函数成了
r2。
第二步，
dσ=rdrdθ——
那个 r 现在就补上，别等定完限再回头想。
第三步，
D 是整个圆环，
θ 从
0 到
2π；固定
θ 作射线穿过去，入口
r=1、出口
r=2。
第四步，两层分离，各积各的：
∫02πdθ∫12r2⋅rdr=2π⋅4r412=215π.漏掉那个
r 会算出
314π——一个看着完全正常的数，没有任何地方会提醒你错了。
认题：该不该换极坐标
第一步：看区域边界里有没有 x2+y2（圆、环、扇形）。
第二步：看被积函数里有没有 x2+y2、x2+y2、xy。
第三步：有一条命中就换；两条都不命中（矩形区域、函数是 xy）就留在直角坐标。
第四步：换完回头看一眼——限是不是更好写了、函数是不是更好积了。例例. 这三个该不该换极坐标？
① ∬Dex2+y2dσ，
D: x2+y2≤1。区域是圆 ✓ 函数含
x2+y2 ✓
两条都命中，换：
∫02πdθ∫01er2rdr=π(e−1),而留在直角坐标里它根本积不出来。
② ∬Dxydσ，
D=[0,1]×[0,2]。两条都不命中，
留在直角坐标：
∫01xdx∫02ydy=21⋅2=1。
③ ∬Dx2+y2dσ，
D 是矩形。函数命中、区域不命中：换了之后
r 的上限会随
θ 在两条边上跳着分段，
得不偿失。
第四步，换完回头看一眼：限更好写了吗？函数更好积了吗？有一样变差就退回来。
先对称、再极坐标
第一步：查区域的对称轴与被积函数的奇偶，能化到半区域就先化。
第二步：奇的那部分直接记 0，不必换坐标。
第三步：剩下的部分换极坐标，θ 的范围按半区域重新定。
第四步：答案乘回那个 2（或 4）——最容易漏的就是这一步。例例. 求
∬D(x3+x2+y2)dσ，
D: x2+y2≤a2（
a>0）。
第一、二步，先拆开。
D 关于
y 轴对称，
x3 关于
x 为奇
⇒ 这一块
直接记 0，根本不用换坐标。
第三步，剩下
∬Dx2+y2dσ。它关于两条轴都对称、函数是偶的，只算第一象限那
41：
θ∈[0,2π]、
r∈[0,a]，
41I=∫02πdθ∫0ar⋅rdr=2π⋅3a3.第四步，
乘回那个 4：
I=32πa3。
（整圈直接算是
2π⋅3a3，对上了 ✓）漏掉最后这一乘，答案正好小
4 倍，而上面每一行都是对的。
基础易错
基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。
忘了乘那个 r
dσ=rdrdθ，漏掉 r 是本节头号错。
自检只花三秒：拿单位圆算面积，漏了 r 会得 2π 而不是 π。
养成习惯：换完坐标立刻把 r 写上，不要等定完限再补。把 r 的上限一律写成常数
只有圆心在原点时上限才是常数。圆 x2+y2=2ax 的极坐标方程是 r=2acosθ，
上限随 θ 变。
症状：算出来的面积与已知的圆面积不符。
动笔前先看原点在哪：在区域内部、在边界上、还是在外面，三种情形的限完全不同。θ 一律取 0 到 2π
区域只占一部分方向时，θ 的范围也只有那一段。
x2+y2≤2x 整个在 y 轴右侧，θ 只能取
[−2π,2π]；取 [0,2π] 会把区域算成两遍。
半圆、扇形、第一象限这些同理——θ 的两端是两条边界射线。用了对称性却忘了乘回倍数
把积分化到半区域上算完，结果要乘 2（四分之一区域要乘 4）。
症状：答案正好是正确值的一半，而过程每一步都对。
办法是在化简那一步就把倍数写在式子最前面，而不是记在心里。自己试一试
这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。
第一组 · 认那个 $r$
练 1
极坐标下的面积元素 dσ= ________。练 2
作代换 x=rcosθ、y=rsinθ 后，x2+y2=（ ）。练 3
用极坐标计算 ∬x2+y2≤1dσ= ________。练 4
下列情形中最适合用极坐标的是（ ）。- A区域是矩形
- B被积函数是 xy，区域是三角形
- C区域是圆域，且被积函数含 x2+y2
- D区域是平行四边形
第二组 · 定限
练 5
圆 x2+y2=4 的极坐标方程是 ________。练 6
在整个圆域上作极坐标积分时，θ 从 0 取到 ________。练 7
圆 x2+y2=2x 的极坐标方程是 ________。练 8
在圆域 x2+y2≤2x 上积分时，θ 的范围是（ ）。- A[0,2π]
- B[0,π]
- C[0,2π]
- D[−2π,2π]
第三组 · 计算与综合
练 9
∬x2+y2≤1ex2+y2dσ= ________。练 10
∬Dydσ= ________，其中 D 为上半圆盘 x2+y2≤1、y≥0。练 11数三
∬x2+y2≤1x2+y2dσ= ________。练 12
用极坐标算单位圆的面积时，若漏掉 dσ 里的 r，会得到（ ）。