三重积分

高等数学 · 多元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 从二重到三重：多积一层，意思不变

三重积分

∭_{Ω} f (x, y, z) d v

的定义和二重积分一模一样：把空间立体

Ω

分成小块、
每块取一点乘以体积、求和、取极限。

物理意义：

f

是体密度时，积分就是立体的质量。

特别地，

f \equiv 1

时积分给出体积：

V = ∭_{Ω} d v .

性质也照搬：线性、对区域可加、保号性、估值定理——
这些在二重积分那里都见过，不必重学。

真正要学的只有一件事：怎么定限。

2. 直角坐标：先一后二，或先二后一

先一后二（投影法 / 穿针法）——最常用：

把

Ω

投影到

x O y

面得区域

D

，
再看一根竖直的「针」从哪儿进、从哪儿出：

∭_{Ω} f d v = \iint_{D} [\int_{z_{1}}^{z_{2}} f d z] d σ,

其中

z_{1} = z_{1} (x, y)

、

z_{2} = z_{2} (x, y)

是下、上两张曲面。

步骤：定投影

D

\to

定上下曲面

z_{1}, z_{2}

\to

里层对

z

积，外层化成二重积分。

先二后一（截面法）——当被积函数只含

z

、或截面面积好算时：

∭_{Ω} f d v = \int_{c}^{d} [\iint_{D_{z}} f d σ] d z .

判据：被积函数形如

f (z)

、而且每一层截面都是规则图形时，用截面法最省事。

3. 柱面坐标：二重用极坐标的那一套，加一个 $z$

柱面坐标就是把

x, y

换成极坐标、

z

不动：

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z,

d v = r d r d θ d z .

那个 $r$ 千万别丢，它和二重积分极坐标里的

r

是同一个。

什么时候用：投影区域是圆或扇形、
或者曲面方程里出现

x^{2} + y^{2}

（圆柱面、圆锥面、旋转抛物面）。

顺序：通常先对

z

积（上下曲面），再对

r

、

θ

积，
和投影法是同一个思路，只是投影那一层改用极坐标。

4. 球面坐标：球和锥的专用工具

球面坐标

(ρ, φ, θ)

：

x = ρ sin φ cos θ,

y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ,

d v = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ .

其中

ρ

是到原点的距离，

φ

是与

z

轴正向的夹角
（

0 \leq φ \leq π

），

θ

是投影到

x O y

面后的极角。

什么时候用：出现

x^{2} + y^{2} + z^{2}

（球面），
或者区域由球面与锥面围成——锥面

z = x^{2} + y^{2}

在球坐标里
就是一句

φ = \frac{π}{4}

，干净得多。

体积元里的 $ρ^{2} sin φ$ 一个都不能少。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

投影法（先一后二）

第一步：把立体投影到

x O y

面，画出平面区域

D

。

第二步：在

D

内任取一点，竖直穿针，定出

z

的下界与上界。

第三步：里层对

z

积分，得到一个关于

x, y

的函数。

第四步：外层按二重积分的办法在

D

上积（必要时用极坐标）。

例例. 求

∭_{Ω} z d v

，

Ω

由

z = x^{2} + y^{2}

与

z = 1

围成。

第一步，投影到

x O y

面。两面相交于

x^{2} + y^{2} = 1

，故

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

。

第二步，在

D

内竖直穿针：下界是抛物面

z = x^{2} + y^{2}

，上界是平面

z = 1

。

第三步，里层对

z

积：

\int_{x^{2} + y^{2}}^{1} z d z = \frac{1 - ( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}{2} .

第四步，外层在

D

上作二重积分，这里换极坐标最省事：

\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} (1 - r^{4}) r d r = π (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) = \frac{π}{3} .

穿针的方向（竖直）决定了里层积

z

——这就是「先一后二」。

截面法（先二后一）

第一步：确定

z

的变化范围

[c, d]

。

第二步：固定

z

，画出那一层的截面

D_{z}

。

第三步：算里层的二重积分；被积函数只含

z

时它等于

f (z) \cdot S (z)

。

第四步：外层对

z

积分。

例例. 求

∭_{Ω} z^{2} d v

，

Ω : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}

。

第一步，

z

的变化范围是

[- R, R]

。

第二步，固定

z

切一刀，截面

D_{z} : x^{2} + y^{2} \leq R^{2} - z^{2}

是个圆，面积

S (z) = π (R^{2} - z^{2})

。

第三步，被积函数只含 $z$ ，所以里层那个二重积分不必真算，它就是

z^{2} \cdot S (z) = π z^{2} (R^{2} - z^{2}) .

这正是截面法的用处：省掉一整层。

第四步，外层对

z

积：

\int_{- R}^{R} π z^{2} (R^{2} - z^{2}) d z = 2 π (\frac{R ^{5}}{3} - \frac{R ^{5}}{5}) = \frac{4 π R ^{5}}{15} .

两法的分工：被积函数只含

z

用截面法，含

x, y

用投影法。

选坐标系

第一步：出现

x^{2} + y^{2}

、投影是圆或扇形

\Rightarrow

柱面坐标。

第二步：出现

x^{2} + y^{2} + z^{2}

、或球面与锥面围成

\Rightarrow

球面坐标。

第三步：立体是长方体或由平面围成

\Rightarrow

直角坐标。

第四步：写限之前先把体积元写对（

r

或

ρ^{2} sin φ

）。

例例. 这三个立体各选哪套坐标？

①

Ω

由

z = x^{2} + y^{2}

与

z = 4

围成——有

x^{2} + y^{2}

、投影是圆

\Rightarrow

柱面坐标，

d v = r d r d θ d z

。

②

Ω

是上半球

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, z \geq 0

——有

x^{2} + y^{2} + z^{2}

\Rightarrow

球面坐标，

d v = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ

，其中

φ

从

0

到

\frac{π}{2}

。

③

Ω = [0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3]

——平面围成

\Rightarrow

直角坐标，三层全是常数限。

第四步，写限之前先把体积元写对。柱面少那个

r

、球面少那个

ρ^{2} sin φ

，是这一章最常见的整题丢分——因为少了它，后面每一步照样算得下去，只是答案错了。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

柱面坐标丢了 $r$

d v = r d r d θ d z

，那个

r

是体积元给的。

丢了它结果照样是个「正常」的数，不会报错。

写换元的第一笔就把体积元写下来，别等到最后补。

球面坐标丢了 $sin φ$

d v = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ

，
两个因子都不能少。

少了

sin φ

，球的体积会算成

2 π R^{3}

。

用球的体积当验算：整球应得

\frac{4}{3} π R^{3}

。

$φ$ 的范围取成 $0$ 到 $2 π$

φ

是与

z

轴的夹角，最大就是

π

。

转一圈归

θ

管。

取错了体积会翻倍，而式子看起来毫无破绽。

不画图直接写限

三重积分的难点全在限上，而限来自立体的形状。

先认曲面（上一章的截痕法），再定投影或截面。

省下画图的两分钟，往往要用十分钟去找错。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认元素

练 1

柱面坐标下的体积元

d v =

________。

练 2

球面坐标下的体积元

d v =

________。

练 3

∭_{Ω} d v

表示（）。

A $Ω$ 的表面积
B $Ω$ 的质量
C $Ω$ 的体积
D $Ω$ 的重心

练 4

球面坐标中

φ

的取值范围是

0

到 ________。

第二组 · 会定限

练 5

z = x^{2} + y^{2}

与

z = 1

围成的立体，在第

z

层的截面是半径为 ________ 的圆。

练 6

接上题，

∭_{Ω} z d v =

________。

练 7

用柱面坐标算上题立体时，

z

的范围是（）。

A $0 \leq z \leq 1$
B $1 \leq z \leq r^{2}$
C $r \leq z \leq 1$
D $r^{2} \leq z \leq 1$

练 8

用球面坐标求半径

R

的球体积，三个积分相乘得 ________。

第三组 · 会选法

练 9

被积函数只含

z

、各层截面易算时，宜用（）。

A截面法（先二后一）
B投影法（先一后二）
C球面坐标
D换元成极坐标

练 10

区域由球面与锥面

z = x^{2} + y^{2}

围成，宜用（）。

A直角坐标
B柱面坐标
C球面坐标
D截面法

练 11

柱面坐标计算时忘了体积元里的

r

，后果是（）。

A积分发散
B没有影响
C立刻报错
D结果看起来正常但是错的

练 12

锥面

z = x^{2} + y^{2}

在球面坐标下写成

φ =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

三重积分

先打基础

1. 从二重到三重：多积一层，意思不变

2. 直角坐标：先一后二，或先二后一

3. 柱面坐标：二重用极坐标的那一套，加一个 z

4. 球面坐标：球和锥的专用工具

常用结构

投影法（先一后二）

截面法（先二后一）

选坐标系

基础易错

柱面坐标丢了 r

球面坐标丢了 sinφ

φ 的范围取成 0 到 2π

不画图直接写限

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

3. 柱面坐标：二重用极坐标的那一套，加一个 $z$

柱面坐标丢了 $r$

球面坐标丢了 $sin φ$

$φ$ 的范围取成 $0$ 到 $2 π$