三重积分

除球坐标外，三重积分最基本也最常用的是直角坐标下的两种累次积分方式与柱坐标。先看清区域的形状，再选定积分的次序，是既快又不出错的关键。

① 投影穿线的先一后二法（先对 $z$ 积分，再对 $x,y$ 积分）。 如果 $\Omega$ 是由上、下两张曲面夹住一块平面区域而成，即 $z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$，那么用这种方法最为方便：
- 把 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 面上，得平面区域 $D_{xy}$；
- 在 $D_{xy}$ 内任取一点 $(x,y)$，作平行于 $z$ 轴的直线穿过立体，入口处的曲面给出 $z$ 的下限，出口处的曲面给出 $z$ 的上限；
- 于是 ${\iiint }_{\Omega }fdV={\iint }_{D_{xy}}\left[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}fdz\right]dxdy$，其中内层积分把 $x,y$ 看作常数。穿线定限时容易出错的地方：上下限必须写成曲面的方程，且沿穿线的方向中途不能换面；一旦换面，就必须把区域分块。

② 切片的先二后一法（先对 $x,y$ 积分，再对 $z$ 积分）。 如果用垂直于 $z$ 轴的平面去截，截面 $D_z$ 的形状规整（例如圆盘、椭圆），面积 $A(z)$ 容易写出，那么用这种方法最为省事，尤其是旋转体或者被积函数只含 $z$ 的情形：
$${\iiint }_{\Omega }fdV={\int }_c^d\left[{\iint }_{D_z}fdxdy\right]dz.$$
特别地，如果 $f=g(z)$ 只依赖于 $z$，那么内层的二重积分就是 $g(z)\cdot A(z)$，整个三重积分降为一元积分 ${\int }_c^{d}g(z)A(z)dz$。计算体积 ${\iiint }_{\Omega }dV$ 与一阶矩 ${\iiint }_{\Omega }zdV$ 时，这往往是最简便的方法。

③ 柱坐标 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$，体积元 $dV=rdrd\theta dz$。 它实质上是在$xOy$ 面上用极坐标，而 $z$ 保持不变。何时使用：投影区域 $D_{xy}$ 是圆、圆环或扇形，或者边界与被积函数中含 $x^2+y^2$，例如抛物面 $z=x^2+y^2$、圆柱面、圆锥面。定限仍按①先投影再穿线，只是把 $D_{xy}$ 换成 $r,\theta$ 的范围，把 $z$ 的上下限用 $r,\theta$ 表出。必须注意，不要丢掉因子 $r$。

④ 形心与质心（物理应用）。 匀质立体的形心（即几何中心）为
$$\begin{array}{rl}\bar{x}& =\frac{{\iiint }_{\Omega }xdV}{{\iiint }_{\Omega }dV}\\ \bar{y}& =\frac{{\iiint }_{\Omega }ydV}{{\iiint }_{\Omega }dV}\\ \bar{z}& =\frac{{\iiint }_{\Omega }zdV}{{\iiint }_{\Omega }dV}\end{array}$$
其中分母为体积 $V$。如果密度 $\rho (x,y,z)$ 不是常数，那么应改用质心：分子与分母各带上 $\rho$，例如 $\bar{z}=\frac{{\iiint }_{\Omega }z\rho dV}{{\iiint }_{\Omega }\rho dV}$，此时分母为质量 $M={\iiint }_{\Omega }\rho dV$；绕 $z$ 轴的转动惯量为 $I_z={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)\rho dV$。一般的做法：先利用对称性，例如 $\Omega$ 关于 $yOz$ 面对称时 $\bar{x}=0$，由此省去能省的坐标；其余的 $\bar{z}$ 等再用①或②求出。凡能用切片法的，就用切片法。

先把换算式写出来（后面每一句都建立在它上面）：设 $r$ 是点到原点的距离，$\phi \in [0,\pi ]$ 是动径与 $z$ 轴正向的夹角，$\theta \in [0,2\pi ]$ 是动径在 $xOy$ 面上的投影与 $x$ 轴正向的夹角，则$$\begin{array}{rl}x& =r\sin \phi \cos \theta \\ y& =r\sin \phi \sin \theta \\ z& =r\cos \phi \end{array}$$于是 $x^2+y^2=r^2{\sin }^2\phi$、$x^2+y^2+z^2=r^2$。

体积元里那个 $r^2\sin \phi$ 是雅可比行列式，不是背下来的：换元公式说 $dV=|J|drd\phi d\theta$，其中
$$J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi ,\theta )}=\left|\begin{array}{ccc}\sin \phi \cos \theta & r\cos \phi \cos \theta & -r\sin \phi \sin \theta \\ \sin \phi \sin \theta & r\cos \phi \sin \theta & r\sin \phi \cos \theta \\ \cos \phi & -r\sin \phi & 0\end{array}\right|=r^2\sin \phi ,$$
所以 $dV=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$。几何上也对得上：$r$ 方向的边长为 $dr$，$\phi$ 方向的弧长为 $rd\phi$，$\theta$ 方向绕的是半径为 $r\sin \phi$ 的圆（不是 $r$——纬度越高圈越小），弧长为 $r\sin \phi d\theta$，三者相乘即得。$\sin \phi$ 正是从这里来的，也解释了为什么两极（$\phi =0,\pi$）处体积元退化为零。

记住这一条，后面广义球坐标的 $abc{\rho }^2\sin \phi$ 就只是同一个行列式多带三个常数因子。下面所有的「化为」都是把这三条代进去：例如锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 代入即得 $r\cos \phi =r\sin \phi$，也就是 $\tan \phi =1$、$\phi =\frac{\pi }{4}$。

有了它，难点就只剩定限。做法是先看区域由哪些曲面围成，
- 锥面 $z=k\sqrt{x^2+y^2}$ 对应于固定的 $\phi$，即它与 $z$ 轴所成的半顶角，由它确定 $\phi$ 的上下限。特别地，$z=\sqrt{x^2+y^2}$ 即 $\phi =\frac{\pi }{4}$；半空间 $z\ge 0$ 对应于 $\phi \in [0,\frac{\pi }{2}]$。
- 球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 对应于固定的 $r=R$，由它确定 $r$ 的范围；过原点的球面 $x^2+y^2+z^2=2Rz$ 化为 $r=2R\cos \phi$，这时 $r$ 的上限随 $\phi$ 而变。
- $\theta$ 通常取遍 $[0,2\pi ]$，除非区域只占某一方位角范围内的扇形。
把区域化为 $r,\phi ,\theta$ 各自的取值范围，是球坐标下计算三重积分的关键所在。

如果区域 $\Omega$ 在坐标的轮换 $x\to y\to z\to x$ 之下形状不变，例如球体、正方体 $|x|,|y|,|z|\le a$ 以及 $|x|+|y|+|z|\le 1$，那么
$$\begin{array}{rl}{\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dV& ={\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dV\\ & ={\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dV\\ & =\frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dV.\end{array}$$
理由如下：由于区域具有轮换对称性，三个积分必然相等；而它们的和又是 $\iiint (x^2+y^2+z^2)dV$，故各占三分之一。右端用球坐标计算（此时 $x^2+y^2+z^2=r^2$）通常十分简便，这样就避开了单独计算 $\iiint x^{2}dV$ 的麻烦。

如果 $\Omega$ 关于某个坐标面对称，且被积函数关于相应的变量是奇函数，那么该积分等于 $0$，不必计算。因此解题时应先把被积函数展开，把其中的奇对称项随即划去，例如当 $\Omega$ 关于三个坐标面都对称时，$x,xy,x^3,xyz$ 等项均可划去，只保留偶次项与常数项再作计算。这一步常常能把一个繁重的积分削去大半。

当区域是椭球或椭圆柱时，标准的球坐标与柱坐标不再与之贴合，应作广义换元，并乘上三维的雅可比行列式 $|J|=\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|$。例如广义球坐标 $x=a\rho \sin \phi \cos \theta ,y=b\rho \sin \phi \sin \theta ,z=c\rho \cos \phi$ 的雅可比行列式为 $abc{\rho }^2\sin \phi$，它就是把标准球坐标的 $r^2\sin \phi$ 再乘以 $abc$。这样椭球 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$ 就化为单位球 $\rho \le 1$，积分随即变得规整。此时三个参数的范围与标准球坐标完全相同：$\rho$ 由 $0$ 到 $1$，$\phi$ 由 $0$ 到 $\pi$，$\theta$ 由 $0$ 到 $2\pi$。由此立得椭球的体积 $V={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{1}abc{\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta =abc\cdot \frac{1}{3}\cdot 2\cdot 2\pi =\frac{4}{3}\pi abc$。必须注意 $\phi$ 的上限是 $\pi$ 而不是 $2\pi$，$\phi$ 是与 $z$ 轴正向的夹角，取遍 $[0,\pi ]$ 就已扫过整个空间，再取到 $2\pi$ 会把区域算两遍。