高斯公式（散度定理）

§6.8 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.52 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

2.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）第二类曲面积分（对坐标）三重积分③ 掌握后可解锁场论初步：散度与旋度

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 高斯公式的内容： $\iint_{Σ 外侧} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭_{Ω} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) d V$ ★★ 必会

① 定理（高斯公式）：设空间有界闭区域

Ω

由分片光滑的闭曲面

Σ

围成，

P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)

在

Ω

上（含边界）具有一阶连续偏导数，则

\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭_{Ω} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) d V,

其中

Σ

取

Ω

边界的外侧。它把穿出闭曲面的通量化为区域内部源强的累积，可以看作牛顿–莱布尼茨公式在三维情形的推广，也是格林公式在空间中的对应结论。

② 散度形式：记

F = (P, Q, R)

，

div F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

，则公式即

\iint_{Σ} F \cdot d S = ∭_{Ω} div F d V .

各项的对应关系是：

d y d z

与

P

相配，对

x

求偏导数；

d z d x

与

Q

相配，对

y

求偏导数；

d x d y

与

R

相配，对

z

求偏导数。即缺哪一个变量，就对哪一个变量求导。

③ 使用前必须三查（缺一不可）：查闭，

Σ

必须封闭，开曲面要先补面使之封闭，再减去所补的那一块，见后面讲补面法的一条；查侧，必须取外侧，若题中所给为内侧，则须在公式右端添一个负号；查偏导连续，

P, Q, R

的一阶偏导数必须在

Ω

内部处处连续。第三查最易遗漏：形如

\frac{\dots}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}

的场在原点没有定义，只要

Σ

把原点围在内部，就绝不能直接套用高斯公式，而应先挖去一个小球，见后面讲挖球法的一条。

证明 / 推导

证明的思路与一个验证特例：完整的证明见下一条，其要点是在 z 型区域上用牛顿–莱布尼茨公式证明

\iint_{Σ} R d x d y = ∭_{Ω} R_{z} d V

，对

P, Q

同理可证，三式相加即得；一般区域可切成标准块，内部公共面上的积分正反抵消。下面只验证一个特例，用以确定外侧的符号约定。取

F = (x, y, z)

，

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

的外侧。左端为

\iint_{Σ} F \cdot d S = \iint_{Σ} F \cdot n d S

；球面上的外法向量为

n = \frac{( x , y , z )}{R}

，故

F \cdot n = \frac{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}{R} = R

，于是左端

= R \cdot 4 π R^{2} = 4 π R^{3}

。右端为

∭_{Ω} (1 + 1 + 1) d V = 3 \cdot \frac{4}{3} π R^{3} = 4 π R^{3}

。两端相等。如果误取内侧，左端就变成

- 4 π R^{3}

，恰好相差一个负号。

■

举例说明

例（2021 数一，填空） 设

Σ

为空间区域

{(x, y, z) ∣ x^{2} + 4 y^{2} \leq 4, 0 \leq z \leq 2}

表面的外侧，求

\iint_{Σ} x^{2} d y d z + y^{2} d z d x + z d x d y

。

解. 先作三查：

Σ

是椭圆柱体的整个表面，封闭 ✓、取外侧 ✓、

P = x^{2}, Q = y^{2}, R = z

都是多项式，偏导数处处连续 ✓，故可直接用高斯公式，得

\iint_{Σ} = ∭_{Ω} (2 x + 2 y + 1) d V .

Ω

\text{关于}

y O z

\text{面与}

z O x

\text{面都对称，而}

2 x, 2 y

\text{为奇函数，其三重积分为}

0

，因此只剩下

∭_{Ω} 1 d V = Ω 的体积 = 2 π \times 2 = 4 π .

其中底面椭圆

x^{2} + 4 y^{2} \leq 4

即

\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} \leq 1

，半轴

a = 2, b = 1

，面积

π ab = 2 π

，高为

2

。

必须注意：其一，散度中的

2 x, 2 y

利用对称性化为零，这是命题的常见安排，不必直接计算；其二，椭圆的面积为

π ab = 2 π

，不要把

x^{2} + 4 y^{2} \leq 4

误看成半径为

2

的圆而得

4 π

，那样最终答案就会错成

8 π

。本题的正确答案是

4 π

。

2. 高斯公式怎么证：z 型区域上先积 z★ 要懂

高斯公式同样可以由牛顿–莱布尼茨公式拼接而成。以三个分量中的

R

为例，先证明

\iint_{Σ} R d x d y = ∭_{Ω} \frac{\partial R}{\partial z} d V,

对

P, Q

有与之对称的两个式子，三式相加即得高斯公式。下面在 z 型区域（即竖直线穿入穿出各一次的区域）上给出证明，从中可以看清曲面积分的上下两片如何拼成三重积分。

证明 / 推导

证. 设

Ω : (x, y) \in D_{x y}, z_{1} (x, y) \leq z \leq z_{2} (x, y)

。右端先对

z

积分，得

∭_{Ω} \frac{\partial R}{\partial z} d V = \iint_{D_{x y}} [\int_{z_{1}}^{z_{2}} \frac{\partial R}{\partial z} d z] d x d y = \iint_{D_{x y}} [R (x, y, z_{2}) - R (x, y, z_{1})] d x d y .

左端

\iint_{Σ} R d x d y

可拆成三片：顶面

Σ_{2} : z = z_{2}

取上侧（即外侧），

\iint_{Σ_{2}} R d x d y = + \iint_{D_{x y}} R (x, y, z_{2}) d x d y

；底面

Σ_{1} : z = z_{1}

的外侧朝下，

\iint_{Σ_{1}} R d x d y = - \iint_{D_{x y}} R (x, y, z_{1}) d x d y

；侧面是竖直的，

d x d y = 0

，没有贡献。三者相加恰好得到

\iint_{Σ} R d x d y = \iint_{D_{x y}} [R (x, y, z_{2}) - R (x, y, z_{1})] d x d y = ∭_{Ω} \frac{\partial R}{\partial z} d V .

与此相类似，对 x 型、y 型区域可证另外两式，三式相加即得高斯公式。一般区域可以切成有限个这类标准块，内部公共面上的积分正反抵消。

■

3. 挖球法：平方反比场的通量恒为 4π★★ 必会

如果

F

在

Ω

内某点没有定义（典型的例子是平方反比场

F = \frac{r}{∣ r ∣ ^{3}}

在原点处无定义），那么高斯公式的前提就不成立。这时的做法是：挖去以奇点为心、以

ε

为半径的小球面

Σ_{ε}

，在剩余区域上使用高斯公式。由于该场在原点之外

div F \equiv 0

，剩余区域上的三重积分为零，于是外边界上的通量

=

小球面上的通量，而后者与

ε

无关。这就是静电学中高斯定律的数学内容。

证明 / 推导

证（ $div F = 0$ ，其中 $r \neq = 0$ ）. 记

r = x^{2} + y^{2} + z^{2}

，

F = (\frac{x}{r ^{3}}, \frac{y}{r ^{3}}, \frac{z}{r ^{3}})

。

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{r ^{3}}) = \frac{1}{r ^{3}} + x \cdot (- \frac{3 x}{r ^{5}}) = \frac{1}{r ^{3}} - \frac{3 x ^{2}}{r ^{5}} .

对

x, y, z

求和，得

div F = \frac{3}{r ^{3}} - \frac{3 ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} )}{r ^{5}} = \frac{3}{r ^{3}} - \frac{3}{r ^{3}} = 0.

举例说明

例. 设

Σ

为包含原点的任意光滑闭曲面（外侧），求

F = \frac{r}{∣ r ∣ ^{3}}

穿过

Σ

的通量。
解. 挖去小球面

Σ_{ε} : r = ε

。由于在原点之外

div F = 0

，夹层区域上的三重积分为

0

，故

\iint_{Σ} F \cdot n d S = \iint_{Σ_{ε}} F \cdot n d S

。在

Σ_{ε}

上外法向量为

n = \frac{r}{ε}

，从而

F \cdot n = \frac{r}{ε ^{3}} \cdot \frac{r}{ε} = \frac{ε ^{2}}{ε ^{4}} = \frac{1}{ε ^{2}}

，于是

\iint_{Σ_{ε}} F \cdot n d S = \frac{1}{ε ^{2}} \cdot 4 π ε^{2} = 4 π .

可见通量恒为

4 π

，与曲面的形状以及

ε

的大小都无关。如果

Σ

不含原点，那么在整个区域上

div F = 0

，通量为

0

。

4. 开曲面补面法的完整流程★★ 必会

开曲面（只有一片，并不封闭）要用高斯公式，必须先补面：添上辅助面

Σ_{0}

（通常取平面片），把

Σ

补成封闭的外侧曲面，于是

\iint_{Σ} = \iint_{Σ + Σ_{0}} - \iint_{Σ_{0}}

。其要点有三：①辅助面所取的侧，应使

Σ + Σ_{0}

整体成为所围立体

Ω

的外侧；②辅助面宜选在平行于坐标面之处，使

\iint_{Σ_{0}}

便于计算；③最后不要忘记减去

\iint_{Σ_{0}}

。

举例说明

例. 计算

I = \iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y

，

Σ

为抛物面

z = x^{2} + y^{2} (0 \leq z \leq 1)

的下侧（外侧）。
解. 补上顶盖

Σ_{0} : z = 1, x^{2} + y^{2} \leq 1

并取上侧，则

Σ + Σ_{0}

是立体

Ω : x^{2} + y^{2} \leq z \leq 1

的外侧闭曲面。这里

div F = 3

，先计算体积

V (Ω) = \iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} (1 - (x^{2} + y^{2})) d x d y = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (1 - r^{2}) r d r d θ = 2 π (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{π}{2},

故

\iint_{Σ + Σ_{0}} = 3 V = \frac{3 π}{2}

。在顶盖

Σ_{0}

上

z = 1

，它是水平的，故

d y d z = d z d x = 0

，而

z d x d y = 1 \cdot \iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} d x d y = π

，即

\iint_{Σ_{0}} = π

。于是

I = \iint_{Σ + Σ_{0}} - \iint_{Σ_{0}} = \frac{3 π}{2} - π = \frac{π}{2} .

5. 散度不是常数时：化为三重积分计算

当

div F

不是常数时，高斯公式把曲面积分化为一个普通的三重积分

∭_{Ω} div F d V

。这通常远比逐片投影简便，而且还可以继续利用球坐标、柱坐标以及对称性求解。要点是先算出散度（即三个对应偏导数之和），再选择合适的坐标系积分。

举例说明

例. 计算

F = (x^{3}, y^{3}, z^{3})

穿过球面

Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

（外侧）的通量。
解.

div F = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} = 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2})

。由高斯公式并采用球坐标，得

I = ∭_{Ω} 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d V = 3 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{R} r^{2} \cdot r^{2} sin φ d r d φ d θ = 3 \cdot 2 π \cdot 2 \cdot \frac{R ^{5}}{5} = \frac{12 π R ^{5}}{5} .

如果直接对球面逐项投影，几乎无从下手；高斯公式把它化成了标准的球坐标三重积分。

💡 小知识

高斯公式又叫奥斯特罗格拉茨基公式，因为这位俄国数学家先于高斯给出了一般证明。它的物理版本是高斯电通量定律，也就是麦克斯韦方程组的第一条。由于闭曲面上的通量只与内部电荷有关，我们不必真的算一个积分，就能断定金属壳的空腔内只要没有电荷，腔内电场便处处为零，外界的电场影响不进来，这便是静电屏蔽。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用高斯公式计算

I = \iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y

，其中

Σ

为单位球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

，取外侧。难度 1

思路：闭曲面 $+$ 外侧 $+$ 偏导连续 $\Rightarrow$ 高斯公式；先算散度。

P = x, Q = y, R = z

，散度

div F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.

由高斯公式

I = ∭_{Ω} 3 d V = 3 \cdot V (Ω),

Ω

是单位球，体积

V = \frac{4}{3} π \cdot 1^{3} = \frac{4 π}{3}

，故

I = 3 \cdot \frac{4 π}{3} = 4 π .

答案： $I = 4 π$ 。 散度为常数时，通量

=

常数

\times

体积。

例 2 用高斯公式计算

I = \iint_{Σ} x^{2} d y d z + y^{2} d z d x + z^{2} d x d y

，其中

Σ

为正方体

[0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]

的整个表面，取外侧。难度 2

思路：套高斯公式，散度不是常数，需算三重积分。

P = x^{2}, Q = y^{2}, R = z^{2}

，散度

div F = 2 x + 2 y + 2 z .

由高斯公式

I = ∭_{Ω} (2 x + 2 y + 2 z) d V, Ω = [0, 1]^{3} .

利用线性与对称：

∭_{Ω} x d V = \int_{0}^{1} x d x \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}

，三项

x, y, z

完全对称，故

I = 2 (∭_{Ω} x d V + ∭_{Ω} y d V + ∭_{Ω} z d V) = 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 3.

答案： $I = 3$ 。

例 3 用高斯公式计算

I = \iint_{Σ} x^{3} d y d z + y^{3} d z d x + z^{3} d x d y

，其中

Σ

为单位球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

，取外侧。难度 2

思路：算散度得 $3 (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ ，在球体上用球面坐标积分。

P = x^{3}, Q = y^{3}, R = z^{3}

，散度

div F = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} = 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) .

由高斯公式

I = ∭_{Ω} 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d V .

用球面坐标（

d V = r^{2} sin φ d r d φ d θ

，

x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}

）：

∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r^{2} sin φ d r d φ d θ = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4 π}{5} .

故

I = 3 \cdot \frac{4 π}{5} = \frac{12 π}{5} .

答案： $I = \frac{12 π}{5}$ 。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设

Σ

是由直线

{x = 0, y = 0

（即

z

轴）绕直线

⎩ ⎨ ⎧ x = t, y = t, z = t

（

t

为参数）旋转一周得到的曲面，

Σ_{1}

是

Σ

介于平面

x + y + z = 0

与

x + y + z = 1

之间部分的外侧，计算曲面积分

\iint_{Σ_{1}} x d y d z + (y + 1) d z d x + (z + 2) d x d y

2023 年 · 数一 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

设空间有界区域

Ω

由柱面

x^{2} + y^{2} = 1

与平面

z = 0, x + z = 1

围成，

Σ

为

Ω

的边界面的外侧，计算曲面积分

I = Σ \iint 2 x z d y d z + x z cos y d z d x + 3 y z sin x d x d y .

2021 年 · 数一 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

设

Σ

为空间区域

{(x, y, z) ∣ x^{2} + 4 y^{2} \leq 4, 0 \leq z \leq 2}

表面的外侧，则曲面积分

\iint_{Σ} x^{2} d y d z + y^{2} d z d x + z d x d y =

______.

2018 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设

Σ

是曲面

x = 1 - 3 y^{2} - 3 z^{2}

的前侧，计算曲面积分

I = \iint_{Σ} x d y d z + (y^{3} + 2) d z d x + z^{3} d x d y

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

向量场

F = (P, Q, R)

的散度

div F =

（　　）。

A $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
B $\frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
C $\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}$
D $\frac{\partial P}{\partial x} \cdot \frac{\partial Q}{\partial y} \cdot \frac{\partial R}{\partial z}$

练习 2 · 填空题

设

Σ

为正方体

[0, 1]^{3}

的外表面，则

\iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y =

____。

练习 3 · 填空题

设

F = (x, y, z)

，

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

取外侧，则通量

\iint_{Σ} F \cdot n d S =

____。

练习 4 · 选择题

使用高斯公式

\iint_{Σ} F \cdot n d S = ∭_{Ω} div F d V

的前提条件是（　　）。

A $Σ$ 为封闭曲面且取外侧， $P, Q, R$ 在 $Ω$ 上有一阶连续偏导数
B $Σ$ 可以是任意一片开曲面
C $Σ$ 是一条平面闭曲线
D只要 $P, Q, R$ 连续即可

练习 5 · 填空题

设

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

取外侧，则

\iint_{Σ} x^{2} d y d z + y^{2} d z d x + z^{2} d x d y =

____。

练习 6 · 选择题

设

Σ

为上半球面

z = 1 - x^{2} - y^{2}

取上侧（不是闭曲面）。欲用高斯公式计算

\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y

，正确的做法是（　　）。

A直接套用高斯公式，因为 $Σ$ 是光滑曲面
B补上 $x O y$ 面内的圆盘 $x^{2} + y^{2} \leq 1, z = 0$ 取下侧，对闭曲面用高斯公式后，再减去补面上的积分
C补上该圆盘取上侧，对闭曲面用高斯公式后，再减去补面上的积分
D高斯公式对非闭曲面完全不适用，只能逐项投影计算

练习 7 · 解答题

设

Σ

为不通过原点的分段光滑闭曲面，取外侧，且原点位于

Σ

所围区域的内部。计算

I = \iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} .

2016 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

设有界区域

Ω

由平面

2 x + y + 2 z = 2

与三个坐标平面围成，

Σ

为

Ω

整个表面的外侧，计算曲面积分

I = \iint_{Σ} (x^{2} + 1) d y d z - 2 y d z d x + 3 z d x d y

2014 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

设

Σ

为曲面

z = x^{2} + y^{2} (z \leq 1)

的上侧，计算曲面积分

I = \iint_{Σ} (x - 1)^{3} d y d z + (y - 1)^{3} d z d x + (z - 1) d x d y .

高斯公式（散度定理）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 高斯公式的内容：∬​Σ外侧​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω​(∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​)dV★★ 必会

2. 高斯公式怎么证：z 型区域上先积 z★ 要懂

3. 挖球法：平方反比场的通量恒为 4π★★ 必会

4. 开曲面补面法的完整流程★★ 必会

5. 散度不是常数时：化为三重积分计算

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 高斯公式的内容： $\iint_{Σ 外侧} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭_{Ω} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) d V$ ★★ 必会