第二类曲面积分（对坐标）

§6.7 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

3.09 分/卷近 11 年平均

9/11 年出现年份

4.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）第一类曲面积分（对面积）第二类曲线积分（对坐标）③ 掌握后可解锁高斯公式（散度定理）斯托克斯公式

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 合一投影法：一次投影处理全部三项★★ 必会

逐项投影时要分别投到三个坐标面上，还要各自定号，既繁琐又容易出错。如果整张曲面可以写成

Σ : z = z (x, y)

并取上侧，那么可以用合一投影法把三项统一投影到

x y

面上。其依据是：上侧的单位法向量为

n = \frac{( - z _{x} , - z _{y} , 1 )}{1 + z _{x}^{2} + z _{y}^{2}}

，再配合

d S = 1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2} d x d y

，即得

d y d z d z d x d x d y = cos α d S = - z_{x} d x d y = cos β d S = - z_{y} d x d y = cos γ d S = d x d y

于是（上侧）

\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = \iint_{D_{x y}} [- P z_{x} - Q z_{y} + R] d x d y,

若曲面取下侧，则整体反号。一次投影即可处理全部三项，这是解答此类问题的主要方法。

举例说明

例. 计算

I = \iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y

，

Σ

为抛物面

z = 1 - x^{2} - y^{2} (z \geq 0)

的上侧。
解. 这里

z_{x} = - 2 x, z_{y} = - 2 y

。曲面取上侧，用合一投影法，被积表达式化为

- P z_{x} - Q z_{y} + R = - x (- 2 x) - y (- 2 y) + (1 - x^{2} - y^{2}) = 2 x^{2} + 2 y^{2} + 1 - x^{2} - y^{2} = x^{2} + y^{2} + 1.

投影区域为

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

，改用极坐标计算，得

I = \iint_{D} (x^{2} + y^{2} + 1) d x d y = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (r^{2} + 1) r d r d θ = 2 π (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{3 π}{2} .

2. 两类曲面积分互化：用第一类算第二类★★ 必会

由定义

\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = \iint_{Σ} (P cos α + Q cos β + R cos γ) d S = \iint_{Σ} F \cdot n d S

，其中方向余弦

(cos α, cos β, cos γ)

就是所选定一侧的单位法向量

n

。如果法向量比较简单，例如曲面是平面或球面，那么这条途径最为便捷：先写出

n

，把第二类曲面积分化为第一类（对面积的）曲面积分，然后计算。平面的

n

是常向量，往往可以把被积函数化为常数。

举例说明

例. 计算

I = \iint_{Σ} d y d z + d z d x + d x d y

（即

F = (1, 1, 1)

的通量），

Σ

为平面

x + y + z = 1

在第一卦限的三角形部分，取上侧（法向量

z

分量为正）。
解. 平面

x + y + z = 1

的上侧单位法向量为

n = \frac{1}{3} (1, 1, 1)

。化为第一类曲面积分，得

I = \iint_{Σ} F \cdot n d S = \iint_{Σ} \frac{1 + 1 + 1}{3} d S = 3 \iint_{Σ} d S = 3 \cdot S_{Σ} .

三角形的顶点为

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

，它是边长为

2

的等边三角形，故

S_{Σ} = \frac{3}{4} (2)^{2} = \frac{3}{2}

。因此

I = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

。

3. 定侧与拆片：闭曲面上为什么某些通量恰好为零★ 要懂

第二类曲面积分与曲面的侧有关。如果曲面不能写成单值函数

z = z (x, y)

，例如整张球面须分成上下两片，那么必须拆片分别投影，并各自按所取的侧确定符号。有一个常被忽视的结论：对于关于坐标面对称的闭曲面，某些通量因上下两片的贡献相消而等于零。掌握这一点，既可以简化计算，又可以与高斯公式互相验证。

举例说明

例. 计算

I = \iint_{Σ} z^{2} d x d y

，

Σ

为整个球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

的外侧。
解. 把球面拆成上半片

Σ_{1} : z = a^{2} - x^{2} - y^{2}

（其外侧即上侧，取

+

）与下半片

Σ_{2} : z = - a^{2} - x^{2} - y^{2}

（其外侧即下侧，取

-

），两片的投影都是

D : x^{2} + y^{2} \leq a^{2}

。注意

z^{2}

在上下两片上取值相同，于是

I = Σ_{1} + \iint_{D} (a^{2} - x^{2} - y^{2}) d x d y Σ_{2} - \iint_{D} (a^{2} - x^{2} - y^{2}) d x d y = 0.

用高斯公式验证：取

F = (0, 0, z^{2})

，则

div F = 2 z

，而

∭_{Ω} 2 z d V = 0

，这是因为球体关于

z = 0

对称而

2 z

是奇函数，两者的结果一致。本题不出错的要领在于拆片并正确定号。

4. 闭曲面用高斯公式，开曲面先补面：两条基本途径★★ 必会

计算第二类曲面积分时很少直接投影，实际做法按曲面是否封闭而分为两种：若为封闭曲面并取外侧，就用高斯公式化为三重积分；若为开曲面，则先补上一块辅助面 $Σ_{0}$ 使之封闭，对整体用高斯公式，再减去在

Σ_{0}

上单独算出的积分，即

\iint_{Σ} = \iint_{Σ + Σ_{0}} - \iint_{Σ_{0}}

。辅助面通常取平行于坐标面的平面片，在这样的

Σ_{0}

上有多项投影为零，计算十分简便。

举例说明

例. 计算

I = \iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y

，

Σ

为上半球面

z = a^{2} - x^{2} - y^{2}

的上侧。
解. 由于

Σ

不封闭，补上底面圆盘

Σ_{0} : z = 0, x^{2} + y^{2} \leq a^{2}

并取下侧，使

Σ + Σ_{0}

成为上半球体

Ω

的外侧闭曲面。这里

F = (x, y, z)

，

div F = 3

，于是

\iint_{Σ + Σ_{0}} = ∭_{Ω} 3 d V = 3 \cdot \frac{2}{3} π a^{3} = 2 π a^{3} .

在

Σ_{0}

上

z = 0

，故

z d x d y = 0

；又平面

z = 0

是水平的，故

d y d z = d z d x = 0

，所以

\iint_{Σ_{0}} = 0

。因此

I = \iint_{Σ + Σ_{0}} - \iint_{Σ_{0}} = 2 π a^{3}

。

💡 小知识

麦克斯韦方程组里的高斯定律写作

\iint_{Σ} E \cdot d S = \frac{Q}{ε _{0}}

，它说的是：穿过任意闭曲面的电场通量，只由曲面内部的电荷决定。式子左边的通量，算的就是第二类曲面积分。整个电磁学的表述，都建立在这种对坐标的曲面积分之上。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 计算

I = \iint_{Σ} z d x d y

，其中

Σ

为平面

z = 2

上被

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

截出的部分，取上侧。难度 1

思路： $R d x d y$ 投影到 $x y$ 面，依「上侧取正、下侧取负」定号，再代入曲面方程。

只有

R d x d y

一项（

R = z

）。投影区域

D_{x y}

为单位正方形。曲面取上侧（法向量

z

分量为正，

cos γ > 0

），故取「

+

」号。把曲面方程

z = 2

代入：

I = + \iint_{D_{x y}} 2 d x d y = 2 \cdot (正方形面积) = 2 \cdot 1 = 2.

答案： $I = 2$ 。 若改取下侧，则结果为

- 2

。

例 2 计算

I = \iint_{Σ} z d x d y

，其中

Σ

为平面

z = x + y

上被

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

截出的部分，取上侧。难度 2

思路：同样投影到 $x y$ 面、上侧取正，但代入后是一个非常数二重积分。

投影区域

D_{x y}

为单位正方形，取上侧取「

+

」。代入曲面方程

z = x + y

：

I = + \iint_{D_{x y}} (x + y) d x d y = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x + y) d x d y .

内层：

\int_{0}^{1} (x + y) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + x y]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + y

。再积：

I = \int_{0}^{1} (\frac{1}{2} + y) d y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.

答案： $I = 1$ 。

例 3 计算

I = \iint_{Σ} x d y d z

，其中

Σ

为平面

x = 1

上被

0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

截出的部分，取前侧（即法向量指向

x

轴正向，

cos α > 0

）。难度 2

思路： $P d y d z$ 项投影到 $y z$ 面，依「前侧取正、后侧取负」定号。

是

P d y d z

型（

P = x

），应投影到

y z

面，投影区域

D_{y z} : 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

。曲面取前侧（

cos α > 0

），取「

+

」号。把曲面方程

x = 1

代入：

I = + \iint_{D_{y z}} 1 d y d z = 1 \cdot (正方形面积) = 1.

答案： $I = 1$ 。 记住三项各投各的面：

P d y d z \to y z

面、

Q d z d x \to z x

面、

R d x d y \to x y

面，符号由相应方向余弦定。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设

Σ

是由直线

{x = 0, y = 0

（即

z

轴）绕直线

⎩ ⎨ ⎧ x = t, y = t, z = t

（

t

为参数）旋转一周得到的曲面，

Σ_{1}

是

Σ

介于平面

x + y + z = 0

与

x + y + z = 1

之间部分的外侧，计算曲面积分

\iint_{Σ_{1}} x d y d z + (y + 1) d z d x + (z + 2) d x d y

2024 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设

P = P (x, y, z)

，

Q = Q (x, y, z)

均为连续函数，

Σ

为曲面

z = 1 - x^{2} - y^{2} (x \leq 0, y \geq 0)

的上侧，则

\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x =

（　　）

A $\iint_{Σ} (\frac{x}{z} P + \frac{y}{z} Q) d x d y$ .
B $\iint_{Σ} (- \frac{x}{z} P + \frac{y}{z} Q) d x d y$ .
C $\iint_{Σ} (\frac{x}{z} P - \frac{y}{z} Q) d x d y$ .
D $\iint_{Σ} (- \frac{x}{z} P - \frac{y}{z} Q) d x d y$ .

2023 年 · 数一 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

设空间有界区域

Ω

由柱面

x^{2} + y^{2} = 1

与平面

z = 0, x + z = 1

围成，

Σ

为

Ω

的边界面的外侧，计算曲面积分

I = Σ \iint 2 x z d y d z + x z cos y d z d x + 3 y z sin x d x d y .

2022 年 · 数一 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

已知

Σ

为曲面

4 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

（

x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0

）的上侧，

L

为

Σ

的边界曲线，其正向与

Σ

的正法向量满足右手法则，计算曲线积分

I = \int_{L} (y z^{2} - cos z) d x + 2 x z^{2} d y + (2 x y z + x sin z) d z .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

记

Σ^{-}

为有向曲面

Σ

的另一侧，则第二类曲面积分

\iint_{Σ^{-}}

与

\iint_{Σ}

的关系是（　　）。

A两者相等
B互为相反数
C恒为零
D相差 $2$ 倍

练习 2 · 选择题

在第二类曲面积分的逐项投影法中，

R d x d y

一项应投影到哪个坐标面？（　　）

A $x y$ 面
B $y z$ 面
C $z x$ 面
D任意坐标面均可

练习 3 · 填空题

\iint_{Σ} z d x d y =

____，其中

Σ

为平面

z = 3

上

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

的部分，取上侧。

练习 4 · 选择题

计算

\iint_{Σ} R d x d y

时，若曲面

Σ : z = z (x, y)

取上侧（

cos γ > 0

），则投影到

x y

面后应取的符号是（　　）。

A $+$ （正号）
B $-$ （负号）
C由 $R$ 的正负决定
D恒为 $0$

练习 5 · 选择题

设

Σ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

的外侧，则

\iint_{Σ} x d y d z =

（　　）。

A $0$
B $\frac{4 π}{3}$
C $\frac{2 π}{3}$
D $4 π$

练习 6 · 填空题

设

Σ

为上半球面

z = 1 - x^{2} - y^{2}

，取上侧，则

\iint_{Σ} z d x d y =

____。

练习 7 · 解答题

计算曲面积分

I = \iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y,

其中

Σ

为抛物面

z = 1 - x^{2} - y^{2}

位于

z \geq 0

的部分，取上侧。

2020 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

设

Σ

为曲面

z = x^{2} + y^{2} (1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4)

的下侧，

f (x)

是连续函数，计算

I = \iint_{Σ} [x f (x y) + 2 x - y] d y d z + [y f (x y) + 2 y + x] d z d x + [z f (x y) + z] d x d y .

2019 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

设

Σ

为曲面

x^{2} + y^{2} + 4 z^{2} = 4 (z \geq 0)

的上侧，则

\iint_{Σ} 4 - x^{2} - 4 z^{2} d x d y =

______.