乐思数学通 › 先打基础 › 第二类曲面积分（对坐标）

第二类曲面积分（对坐标）

高等数学 · 多元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 对坐标的积分：穿过曲面的流量

第二类曲面积分记作

\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y .

物理意义：把

v = (P, Q, R)

看成流速场，
它就是单位时间内穿过曲面的流量（通量）。

向量写法：

\iint_{Σ} v \cdot n d S,

其中

n

是单位法向量——方向由曲面的「侧」决定。

三项的配对别记错：

P \leftrightarrow d y d z, Q \leftrightarrow d z d x,

R \leftrightarrow d x d y .

注意中间那项是 $d z d x$ ，按

x \to y \to z \to x

轮换，不是

d x d z

。

2. 侧：上下、内外，换侧就变号

双侧曲面才能作第二类积分。常见的侧有两种说法：

① 非闭曲面：按法向量与

z

轴正向的夹角，分上侧（法向量朝上）与下侧；
类似地有前后侧、左右侧。

② 闭曲面：分外侧（法向量朝外）与内侧。
高斯公式默认用外侧。

换侧变号：

\iint_{Σ^{-}} = - \iint_{Σ} .

做题第一件事：把侧读出来，并翻译成法向量的方向。
题面常写「取上侧」「取外侧」「取前侧」，这几个字决定最后的符号。

3. 怎么算：一投、二代、三定号

以第三项为例。设

Σ : z = z (x, y)

，在

x O y

面上的投影为

D

，则

\iint_{Σ} R d x d y = \pm \iint_{D} R (x, y, z (x, y)) \times d x d y,

上侧取正号，下侧取负号。

三步口诀：

① 投：投到与那两个微元相配的坐标面（

d x d y

就投

x O y

）；

② 代：把被积函数里的

z

换成

z (x, y)

；

③ 定号：按侧取

\pm

。

另外两项照搬：

P d y d z

投到

y O z

面（前侧为正），

Q d z d x

投到

z O x

面（右侧为正）。

「三定号」是这一节的全部难点，前两步和第一类没区别。

4. 两条捷径：化成第一类，或者用高斯公式

捷径一：化成第一类。

P d y d z + Q d z d x + R d x d y = (P cos α + Q cos β + R cos γ) d S,

其中

(cos α, cos β, cos γ)

是与所取侧一致的单位法向量。

用处：三项的曲面相同时，合成一项再算，比投影三次快得多
（所谓「合一投影法」）。

捷径二：闭曲面优先想高斯公式（下一条），
把曲面积分变成三重积分，往往一步到位。

判据：曲面闭合就先想高斯，不闭合可以考虑补面凑成闭的。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

投影法（分项）

第一步：读出曲面的侧，在图上画出法向量。

第二步：每一项投到与其微元相配的坐标面上。

第三步：把被积函数里对应的变量用曲面方程代换。

第四步：按侧定号，法向量与该轴正向成锐角取正、钝角取负。

例例. 求

\iint_{Σ} z d x d y

，

Σ

是上半球面

z = R^{2} - x^{2} - y^{2}

的上侧。

第一步，上侧

\Rightarrow

法向量朝上，与

z

轴正向成锐角。

第二步，这一项配的微元是

d x d y

，就投到

x O y

面：

D : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

。

第三步，把被积函数里的

z

用曲面方程换掉。

第四步，上侧取正号：

\iint_{Σ} z d x d y = + \iint_{D} R^{2} - x^{2} - y^{2} d x d y = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{R} R^{2} - r^{2} r d r = \frac{2 π R ^{3}}{3} .

定号是这一类题唯一的新东西，其余全是二重积分的老功夫。下半球面取下侧时第四步就取负号。

合一投影法

第一步：确认三项在同一张曲面上，且曲面可写成

z = z (x, y)

。

第二步：取与所选侧一致的法向量，如上侧取

(- z_{x}, - z_{y}, 1)

。

第三步：把三项合成

(- P z_{x} - Q z_{y} + R) d x d y

。

第四步：在投影区域

D

上算一次二重积分即可。

例例. 求

\iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y

，

Σ

是平面

z = 1 - x - y

在第一卦限的部分，取上侧。

第一步，三项在同一张曲面上，且它写得成

z = z (x, y)

✓

第二步，上侧的法向量取

(- z_{x}, - z_{y}, 1) = (1, 1, 1)

。

第三步，合成一项：

\iint_{D} (- P z_{x} - Q z_{y} + R) d x d y = \iint_{D} (x + y + z) d x d y,

再把

z

换成

1 - x - y

，括号里就成了

x + y + (1 - x - y) = 1

。

第四步，

D

是

x + y \leq 1, x, y \geq 0

的三角形，面积

\frac{1}{2}

，所以积分

= \frac{1}{2}

。

三项分开投要做三次、还要各自定号；曲面写得成

z = z (x, y)

时，合一投影只做一次二重积分。

闭曲面

第一步：先看是不是闭曲面，是就优先考虑高斯公式。

第二步：确认取外侧（高斯公式的默认约定）。

第三步：内侧时先添负号。

第四步：不闭合时考虑补面，最后减去补的那片。

例例. 求

\iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y

，

Σ

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

的内侧。

第一步，闭曲面

\Rightarrow

优先高斯公式。

第二步，高斯公式默认取外侧。

第三步，题目给的是内侧，先添负号：

\iint_{内} = - \iint_{外}

。

第四步，散度

= 1 + 1 + 1 = 3

，故

\iint_{外} = ∭_{Ω} 3 d v = 3 \cdot \frac{4}{3} π R^{3} = 4 π R^{3},

所以原积分

= - 4 π R^{3}

。

曲面不闭合时（如只给上半球面），补面凑闭：补上

z = 0

的圆盘，对闭曲面用高斯，最后减去补面上的积分。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

中间那项写成 $d x d z$

是

Q d z d x

，按

x \to y \to z \to x

轮换。

写成

d x d z

等于偷偷换了一次号。

三项的配对一次背熟：

P d y d z

、

Q d z d x

、

R d x d y

。

定号漏了或者重复了

符号只在「三定号」这一步给一次。

若题目给的是

Σ^{-}

，先把整体换成

Σ

并添负号，再按正常流程做。

闭曲面分片时每片单独判号，上片上侧、下片下侧。

把投影区域也带上符号

投影区域

D

永远是实实在在的平面区域，面积为正。

符号已经在外面了，别在二重积分里再算一次。

化成二重积分之后，剩下的就是普通的二重积分。

用第一类的对称性结论

第二类的对称性还要考虑法向量在对称点上的指向，结论常与第一类相反。

例如球面上

\iint z d x d y

并不为零。

拿不准就老实投影分片算。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

第二类曲面积分的物理意义是单位时间内穿过曲面的 ________。

练 2

换到曲面的另一侧，第二类曲面积分（）。

A不变
B变号
C变成零
D翻倍

练 3

与

Q

相配的微元是 ________。

练 4

高斯公式默认闭曲面取（）。

A内侧
B上侧
C外侧
D任意一侧

第二组 · 会算

练 5

Σ

为

x O y

面上的单位圆盘取上侧，则

\iint_{Σ} 1 d x d y =

________。

练 6

Σ

为上半球面

z = 1 - x^{2} - y^{2}

取上侧，则

\iint_{Σ} z d x d y =

________。

练 7

在水平平面

z = 0

上，

\iint_{Σ} P d y d z

等于（）。

A $0$
B $\iint_{D} P d x d y$
C无法确定
D $\iint_{Σ} P d S$

练 8

已知

Σ

取外侧时积分为

5

，取内侧时为 ________。

第三组 · 想清楚

练 9

d x d y

（第二类）与

d x d y

（二重积分）的区别是（）。

A完全相同
B前者是有向面积微元，带正负
C后者可以为负
D前者只能用于闭曲面

练 10

闭曲面拆成上下两片投影时，两片的符号（）。

A相同
B都取正
C相反，上片取正、下片取负
D与被积函数有关

练 11

三项在同一张曲面

z = z (x, y)

上且取上侧时，合一投影得到的被积函数是（）。

A $P + Q + R$
B $- P z_{x} - Q z_{y} + R$
C $P z_{x} + Q z_{y} + R$
D $R$

练 12

曲面闭合时，计算第二类曲面积分应优先考虑 ________ 公式。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

第二类曲面积分（对坐标）

先打基础

1. 对坐标的积分：穿过曲面的流量

2. 侧：上下、内外，换侧就变号

3. 怎么算：一投、二代、三定号

4. 两条捷径：化成第一类，或者用高斯公式

常用结构

投影法（分项）

合一投影法

闭曲面

基础易错

中间那项写成 dxdz

定号漏了或者重复了

把投影区域也带上符号

用第一类的对称性结论

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

中间那项写成 $d x d z$