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第一类曲面积分（对面积）

高等数学 · 多元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 对面积的积分：给一张曲面称重

第一类曲面积分记作

\iint_{Σ} f (x, y, z) d S,

Σ

是一张空间曲面，

d S

是面积微元。

物理意义：

f

是面密度时，积分就是这张薄壳的质量。

$f \equiv 1$ 时给出曲面的面积：

S = \iint_{Σ} d S .

和第一类曲线积分完全平行：
那里沿弧长，这里沿面积；那里与方向无关，这里与侧无关。

$d S > 0$ ，这是「与侧无关」的根源。

2. 怎么算：一投、二代、三换元

设曲面

Σ : z = z (x, y)

，在

x O y

面上的投影区域为

D

，则

d S = 1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2} d x d y,

于是

\iint_{Σ} f d S = \iint_{D} f (x, y, z (x, y)) \times 1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2} d x d y .

三步口诀：

① 投：把

Σ

投影到

x O y

面得

D

；

② 代：把被积函数里的

z

换成

z (x, y)

；

③ 换元：把

d S

换成带根号的那一串。

投影面可以换：曲面在

x O y

上投影退化时，改投

y O z

或

z O x

。

3. 两招省力：代曲面方程与对称性

第一招：把曲面方程代进被积函数。

和曲线积分同理：积分只在

Σ

上取值，
所以

Σ

上成立的等式随便用。

球面上的

x^{2} + y^{2} + z^{2}

直接写成

R^{2}

；
锥面上的

z

可以换成

x^{2} + y^{2}

。

第二招：对称性与轮换对称性。

① 奇偶对称：

Σ

关于

x O y

面对称、

f

关于

z

为奇函数

\Rightarrow

积分为

0

；

② 轮换对称：若把

x, y, z

轮换一圈后

Σ

不变（球面、正方体表面），则

\iint_{Σ} x^{2} d S = \iint_{Σ} y^{2} d S = \iint_{Σ} z^{2} d S .

轮换对称性在球面题里几乎每次都能用。

4. 与侧无关：和第二类划清界限

第一类曲面积分与曲面的侧无关：
取上侧还是下侧、内侧还是外侧，结果都一样。

因为 $d S$ 是面积，永远为正。

于是题目里出现「上侧」「外侧」这类字眼时要警觉：
要么题目考的是第二类，要么这几个字是干扰项。

一张对照表：

第一类 第二类 d S 无向 换侧变号

记法：称重不分正反面，算流量要分。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

标准算法

第一步：先看被积函数能不能用

Σ

的方程化简。

第二步：把

Σ

投影到合适的坐标面，定出平面区域

D

。

第三步：把被积函数里的

z

换成

z (x, y)

。

第四步：

d S

换成

1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2} d x d y

，算二重积分。

例例. 求

\iint_{Σ} (x^{2} + y^{2}) d S

，

Σ

是锥面

z = x^{2} + y^{2}

被

z = 1

截下的部分。

第一步，被积函数不含

z

，这里不必用曲面方程化简。

第二步，投影到

x O y

面：

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

。

第三步，不含

z

，第三步跳过。

第四步，

z_{x} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}

、

z_{y} = \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}

，于是

1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2} = 1 + \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} = 2,

\iint_{Σ} (x^{2} + y^{2}) d S = 2 \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d x d y = 2 \cdot \frac{π}{2} .

（里面那个二重积分用极坐标：

\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r^{3} d r = \frac{π}{2}

。）

锥面的 $1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}$ 恒为 $2$ ，记住它能省一整步。

用对称性

第一步：看

Σ

关于哪个坐标面对称。

第二步：被积函数关于那个变量是奇函数

\Rightarrow

积分为

0

。

第三步：

Σ

在轮换下不变（球面等）

\Rightarrow

三个变量的同次积分相等。

第四步：用轮换把被积函数凑成曲面方程的左边，再代常数。

例例. 求

\iint_{Σ} x^{2} d S

，

Σ

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

。

第一、二步，先看个简单的：若问的是

\iint_{Σ} x d S

，

Σ

关于

y O z

面对称、

x

关于

x

为奇

\Rightarrow

直接为

0

。

第三步，现在问

x^{2}

。

Σ

在

x, y, z

轮换下不变，所以

\iint_{Σ} x^{2} d S = \iint_{Σ} y^{2} d S = \iint_{Σ} z^{2} d S .

第四步，三个加起来正好凑成曲面方程的左边：

3 \iint_{Σ} x^{2} d S = \iint_{Σ} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d S = R^{2} \cdot 4 π R^{2},

故

\iint_{Σ} x^{2} d S = \frac{4 π R ^{4}}{3}

。

全程没有投影、没有分片、没有开一个根号——这就是轮换对称性值钱的地方。

分片处理

第一步：曲面不能用一个

z = z (x, y)

表示时（如整个球面），分成上下两片。

第二步：每片单独投影、单独计算。

第三步：两片的结果相加（第一类不涉及符号问题）。

第四步：能用对称性避开分片的，优先用对称性。

例例. 求

\iint_{Σ} z d S

，

Σ

是整个球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

。

第一步，整个球面写不成一个

z = z (x, y)

，按流程要分成上下两片

z = \pm R^{2} - x^{2} - y^{2}

。

第二步，每片都投影到

D : x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

，各算一遍。

第三步，两片结果相加（第一类不涉及符号问题）。

第四步，但这道题根本不用分片：

Σ

关于

x O y

面对称，

z

关于

z

是奇函数，所以

\iint_{Σ} z d S = 0.

上片算出来是正数、下片是等大的负数，加起来正好抵消。分片硬算也能对，代价是两个带根号的二重积分——先看对称性，再决定要不要分片。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$d S$ 换元时漏了根号

d S = 1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2} d x d y

，
那是倾斜造成的放大倍数。

直接写成

d x d y

等于把曲面压平了。

只有当曲面水平时根号才等于 $1$ 。

根号里写成 $1 + z^{2}$

根号里是两个偏导数的平方：

z_{x}^{2} + z_{y}^{2}

，不是

z

的平方。

和曲线积分里

1 + y^{' 2}

是同一个结构。

先把 $z_{x}, z_{y}$ 写出来再代。

轮换对称性用在不对称的曲面上

圆柱面

x^{2} + y^{2} = 1

对

z

与对

x, y

不是一视同仁的。

用之前先验：把三个变量轮换一圈，曲面方程是否不变。

验不过就老实投影。

被「上侧」「外侧」带偏

第一类与侧无关，那几个字对它没有意义。

看到它们先确认题目问的是哪一类积分。

判据看微元：

d S

是第一类，

d x d y

是第二类。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

\iint_{Σ} d S

表示曲面

Σ

的 ________。

练 2

第一类曲面积分与曲面的侧（）。

A有关，换侧变号
B无关
C闭曲面时才有关
D取决于被积函数

练 3

z = z (x, y)

时

d S = □ d x d y

，其中

□ =

________。

练 4

半径为

R

的球面上

\iint_{Σ} d S

等于（）。

A $\frac{4}{3} π R^{3}$
B $2 π R^{2}$
C $4 π R^{2}$
D $π R^{2}$

第二组 · 会算

练 5

平面

z = 1 - x - y

的

d S =

________

d x d y

。

练 6

球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

上

\iint_{Σ} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d S =

________。

练 7

球面上

\iint_{Σ} z^{2} d S =

________。

练 8

曲面水平（如

z = 2

）时，

d S

等于（）。

A $d x d y$
B $2 d x d y$
C $2 d x d y$
D $0$

第三组 · 想清楚

练 9

根号

1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}

的几何意义是（）。

A曲面的曲率
B曲面面积与其投影面积之比
C法向量的模
D切平面的斜率

练 10

下列曲面上不能用轮换对称性的是（）。

A球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$
B以原点为心的正方体表面
C圆柱面 $x^{2} + y^{2} = 1$
D球心在原点的球壳

练 11

Σ

关于

x O y

面对称而

f

关于

z

为奇函数，则

\iint_{Σ} f d S

等于（）。

A $0$
B上半片积分的两倍
C与 $f$ 无关
D无法判断

练 12

整个球面不能用一个

z = z (x, y)

表示，投影计算时要分成 ________ 片。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

第一类曲面积分（对面积）

先打基础

1. 对面积的积分：给一张曲面称重

2. 怎么算：一投、二代、三换元

3. 两招省力：代曲面方程与对称性

4. 与侧无关：和第二类划清界限

常用结构

标准算法

用对称性

分片处理

基础易错

dS 换元时漏了根号

根号里写成 1+z2

轮换对称性用在不对称的曲面上

被「上侧」「外侧」带偏

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

$d S$ 换元时漏了根号

根号里写成 $1 + z^{2}$