第一类曲面积分（对面积）

① 定义：设 $\Sigma$ 为光滑曲面，$f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有界。把 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 小块 $\Delta S_1,\dots ,\Delta S_n$（$\Delta S_i$ 同时表示其面积），在每小块上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作和式并令各小块直径的最大值 $\lambda \to 0$：$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i,$$如果极限存在且与曲面的分法及点的取法都无关，那么称此极限为 $f$ 在 $\Sigma$ 上的第一类（对面积的）曲面积分。当 $f$ 连续时，这个积分一定存在。它的物理原型是变面密度薄壳的质量：如果 $f$ 表示面密度，那么和式中的每一项就是一小片质量的近似值；有关质量、质心与转动惯量的公式，见后面讲物理应用的一条。

② 与侧无关：定义中只用到把曲面分成小块以及每小块的面积 $\Delta S_i>0$，始终不涉及曲面的定向，即不涉及哪一面朝上。因此对面积的曲面积分不分上侧与下侧，也不分内侧与外侧，题中只需说明曲面 $\Sigma$ 本身即可。第二类（对坐标的）曲面积分换侧以后要变号，两者在这一点上本质不同：见到 $dS$ 不必考虑侧，见到 $dxdy,dydz,dzdx$ 则必须先确定侧。

③ 基本性质（与二重积分平行）：线性；对曲面块可加，若 $\Sigma ={\Sigma }_1+{\Sigma }_2$，则 ${\iint }_{\Sigma }={\iint }_{{\Sigma }_1}+{\iint }_{{\Sigma }_2}$，因而多片曲面可以逐片计算再相加；特例，${\iint }_{\Sigma }1dS=S_{\Sigma }$，即曲面的面积；代入化简，由于点在 $\Sigma$ 上，曲面方程可以代入被积函数，例如在球面上可把 $x^2+y^2+z^2$ 直接换成 $a^2$；奇偶对称，若 $\Sigma$ 关于 $xOy$ 面对称，则当 $f$ 关于 $z$ 为奇函数时 $\Rightarrow {\iint }_{\Sigma }fdS=0$，为偶函数时 $\Rightarrow$ 积分等于一半曲面上积分的 $2$ 倍，关于其他坐标面的情形同理；轮换对称见后面专讲轮换对称的一条。至于化为二重积分的投影计算公式，见后面讲投影面选择的一条，这里不再重复。

这一性质与二重积分、三重积分中的情形完全平行：如果曲面 $\Sigma$ 在坐标轮换下不变（例如整张球面，或 $|x|+|y|+|z|=1$ 的表面），那么
$$\begin{array}{rl}{\iint }_{\Sigma }{x}^{2}dS& ={\iint }_{\Sigma }{y}^{2}dS\\ & ={\iint }_{\Sigma }{z}^{2}dS\\ & =\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2+z^2)dS.\end{array}$$
再利用点在曲面上、曲面方程可以代入这一事实（在球面上 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 可直接换成常数），就能把复杂的曲面积分化为常数与曲面面积之积，从而避免逐块投影的繁琐计算。

计算 ${\iint }_{\Sigma }fdS$ 时要把 $\Sigma$ 投影到坐标面上，但投影的方向必须选对：如果曲面垂直于某个坐标面，例如柱面 $x^2+y^2=a^2$ 投影到 $xy$ 面上退化成一条曲线，那么就必须改投到别的坐标面。几个常用曲面的面积元必须记熟：
$$\begin{array}{rl}& \text{上半球面 }z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}:dS=\frac{a}{z}dxdy;\\ & \text{圆锥面 }z=\sqrt{x^2+y^2}:dS=\sqrt{2}dxdy;\end{array}$$
$$\text{一般显式 }z=z(x,y):dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy.$$
其中圆锥面的 $dS=\sqrt{2}dxdy$ 出现得最多，这是因为它的侧面与水平面恒成 $45^{\circ }$ 角。

显式表示 $z=z(x,y)$ 只是一种特例。一般曲面 $\Sigma :\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 的面积元为
$$\begin{array}{rl}dS& =|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dudv=\sqrt{EG-F^2}dudv\\ E& ={\mathbf{r}}_u\cdot {\mathbf{r}}_u,F={\mathbf{r}}_u\cdot {\mathbf{r}}_v,G={\mathbf{r}}_v\cdot {\mathbf{r}}_v.\end{array}$$
几何意义：${\mathbf{r}}_{u}du,{\mathbf{r}}_{v}dv$ 是曲面上一个小平行四边形的两条边，它们叉积的模就是这一小片的面积。当 $\mathbf{r}=(x,y,z(x,y))$，即以 $x,y$ 为参数时，可以算出 $|{\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y|=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$，正好回到前面熟悉的显式公式。球面用球坐标参数化时的 $dS=a^2\sin \phi d\phi d\theta$ 也由此而来。

第一类曲面积分可以用来计算曲面（薄壳）的质量及有关的物理量：设面密度为 $\rho$，则质量 $M={\iint }_{\Sigma }\rho dS$，质心的竖坐标 $\bar{z}=\frac{1}{M}{\iint }_{\Sigma }z\rho dS$（$\bar{x},\bar{y}$ 同理），对 $z$ 轴的转动惯量 $I_z={\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2)\rho dS$。如果薄壳关于某轴对称，那么质心必落在该对称轴上。掌握这一组公式以后，壳体质心、引力、通量等有物理背景的问题都可以归结为曲面积分。