高斯公式（散度定理）

高等数学 · 多元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 高斯公式：闭曲面上的积分换成三重积分

设空间闭区域

Ω

由分片光滑的闭曲面

Σ

围成，

P, Q, R

在

Ω

上有连续的一阶偏导数，则

\iint_{Σ_{外}} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭_{Ω} (P_{x} + Q_{y} + R_{z}) d v,

其中

P_{x} = \frac{\partial P}{\partial x}

，另两项同理。

三个条件和格林公式一一对应：

① 曲面闭合；② 取外侧；③ 偏导在 $Ω$ 内处处连续。

右边那三项都是加号，而且是各自对自己的变量求偏导——
这一点比格林公式好记（那里是交叉且带减号）。

2. 曲面不闭合：补一张面

想用高斯公式但

Σ

不是闭曲面时，补一张辅助面

Σ_{0}

（通常取一块平面）凑成闭的：

\iint_{Σ} = \iint_{Σ + Σ_{0}} - \iint_{Σ_{0}} .

右边第一项用高斯公式，第二项直接算——
辅助面通常取水平或竖直平面，算起来很快
（平面上常有一两项直接为零）。

三个要点：

① 补完整体必须是闭曲面；

② 整体取外侧，于是补的那片的侧由此定下（不能自己随便挑）；

③ 最后要把补的那片减掉。

和格林公式的补线法是同一套动作。

3. 有奇点：挖一个小球

和格林公式完全平行：若

P, Q, R

在

Ω

内某点（通常是原点）
没有连续偏导，不能直接套。

办法是以奇点为心挖一个小球面

Σ_{ε}

，
在挖去小球的区域上用高斯公式。

最典型的是平方反比场

F = \frac{( x , y , z )}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} .

它在原点之外散度为零，于是通量只取决于奇点在不在里面：

包含原点时通量为

4 π

，不含原点时为

0

。

结论和平面上那个 $2 π$ 是同一类事实，维数不同而已。

4. 散度：公式右边那一串的名字

把

F = (P, Q, R)

看成向量场，定义它的散度

div F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} .

于是高斯公式可以写成一句话：

\iint_{Σ_{外}} F \cdot d S = ∭_{Ω} div F d v .

意思是：穿出边界的总流量

=

内部各点「冒出来」的总量。

所以散度是「单位体积的产出率」：

div F > 0

的点像个源，

< 0

像个汇，
处处为零的场叫无源场。

散度是数，不是向量——下一条的旋度才是向量。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

直接用高斯公式

第一步：查三个条件——闭曲面、外侧、偏导连续。

第二步：算散度

P_{x} + Q_{y} + R_{z}

。

第三步：在立体

Ω

上作三重积分（按形状选柱面或球面坐标）。

第四步：题目给内侧时整体添负号。

例例. 求

\iint_{Σ} x^{3} d y d z + y^{3} d z d x + z^{3} d x d y

，

Σ

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

的外侧。

第一步，查三条：闭曲面 ✓ 外侧 ✓ 偏导连续 ✓

第二步，散度

P_{x} + Q_{y} + R_{z} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} = 3 ρ^{2} .

第三步，被积函数只含

ρ

，用球面坐标：

3 \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π} sin φ d φ \int_{0}^{R} ρ^{2} \cdot ρ^{2} d ρ = 3 \cdot 2 π \cdot 2 \cdot \frac{R ^{5}}{5} = \frac{12 π R ^{5}}{5} .

第四步，题目给的是外侧，不必添负号。

留意体积元那个

ρ^{2} sin φ

——它和被积函数里的

ρ^{2}

是两回事，合起来才是

ρ^{4}

。

补面法

第一步：画图，看补哪一张平面能凑成闭曲面。

第二步：按「整体朝外」定出补面的侧。

第三步：对闭曲面用高斯公式。

第四步：减去补面上的积分——那一片通常很好算。

例例. 求

\iint_{Σ} z d x d y

，

Σ

是上半球面

z = R^{2} - x^{2} - y^{2}

的上侧（换高斯公式再做一遍）。

第一步，画图：差底下那个圆盘才闭合。

第二步，补

Σ_{0}

：

z = 0

、

x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

，取下侧——这样

Σ + Σ_{0}

整体才朝外。

第三步，对闭曲面用高斯。散度

= \frac{\partial z}{\partial z} = 1

，

\iint_{Σ + Σ_{0}} = ∭_{Ω} 1 d v = \frac{2}{3} π R^{3} .

第四步，减去补面：

Σ_{0}

上

z \equiv 0

，被积函数就是

0

，所以

\iint_{Σ_{0}} = 0

，于是

\iint_{Σ} = \frac{2 π R ^{3}}{3}

。

和用投影法直接算出来的一致 ✓ 补面的侧若定成上侧，整体就不朝外了，高斯公式根本用不了。

有奇点时

第一步：找出使偏导失去连续性的点。

第二步：判断它在不在闭曲面内部。

第三步：不在

\Rightarrow

照常用公式。

第四步：在

\Rightarrow

挖一个小球，化成小球面上的积分。

例例. 求

\iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}

，

Σ

是任一包含原点在内的闭曲面外侧。

第一步，被积式在原点失去定义。

第二步，原点在

Σ

内部。

第三步，先算一下：在原点之外，这个场的散度逐项求导相加后正好抵消，恒为

0

。所以不含原点的闭曲面上，这个积分都是

0

。

第四步，原点在内部，挖小球。取

Σ_{ε} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = ε^{2}

，在

Σ

与它夹成的区域里散度为零，于是

\iint_{Σ} = \iint_{Σ_{ε} 外侧} = \frac{1}{ε ^{3}} \cdot 3 \cdot \frac{4}{3} π ε^{3} = 4 π .

答案是

4 π

，与曲面的形状大小全无关——和格林公式那条「绕原点一圈得

2 π

」是同一件事的三维版。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

曲面不闭合就直接用

高斯公式只对闭曲面成立。

不闭合要先补面，并在最后减掉补的那片。

动笔前先问一句：这张面围起来了吗？

补面的侧取错

补面的侧由「整个闭曲面朝外」唯一确定，不能自己挑。

上半球底下补的圆盘取下侧。

自检：站在立体内部看每一片，法向量都该背着你。

散度写成交叉偏导

散度是

P_{x} + Q_{y} + R_{z}

：各自对自己的变量求导，全是加号。

交叉且带减号的是格林公式右边、以及旋度。

记法：散度是「同名相加」，旋度是「交叉相减」。

有奇点还套公式

分母含

(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3/2}

这类场在原点无定义。

直接套会算出

0

，而正确答案常是

4 π

。

看到这种分母先查原点在不在曲面里面。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认公式

练 1

高斯公式右边的被积函数是

P_{x} + Q_{y} +

________。

练 2

高斯公式要求曲面（）。

A闭合且取外侧
B光滑即可
C必须是球面
D取内侧

练 3

F = (x, y, z)

的散度为 ________。

练 4

散度的结果是（）。

A一个向量
B一个数（数量场）
C一个矩阵
D一条曲线

第二组 · 会用

练 5

球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

外侧，

\iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y =

________。

练 6

上半球面取上侧，补底面圆盘凑闭曲面时，圆盘应取（）。

A上侧
B下侧
C任意
D前侧

练 7

F = (- y, x, 0)

的散度为 ________。

练 8

补面法的最后一步是（）。

A加上补面的积分
B减去补面的积分
C乘以 $- 1$
D不必处理

第三组 · 想清楚

练 9

平方反比场沿包含原点的闭曲面（外侧）的通量为（）。

A $0$
B $2 π$
C $4 π$
D与曲面形状有关

练 10

挖球之后结果与小球半径无关，原因是（）。

A场强按 $1/ r^{2}$ 衰减而面积按 $r^{2}$ 增长，正好抵消
B半径趋于零
C小球面上函数为常数
D三重积分为零

练 11

散度处处为零的场，穿过任意闭曲面的通量（）。

A一定为零
B只有在区域内无奇点时才一定为零
C一定为 $4 π$
D与曲面面积成正比

练 12

高斯公式与格林公式的共同思想：把 ________ 内部的量化成边界上的积分。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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