斯托克斯公式

高等数学 · 多元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 斯托克斯公式：空间闭曲线上的积分换成曲面积分

设

Γ

是分片光滑曲面

Σ

的边界曲线，

P, Q, R

有连续的一阶偏导数，则

\oint_{Γ} P d x + Q d y + R d z = \iint_{Σ} (R_{y} - Q_{z}) d y d z + (P_{z} - R_{x}) d z d x + (Q_{x} - P_{y}) d x d y .

三项的结构一模一样：都是「后一个对前一个求导，减去前一个对后一个求导」，
按

x \to y \to z \to x

轮换。

最后一项 $Q_{x} - P_{y}$ 正是格林公式右边——
把曲面压回平面，斯托克斯就退化成格林。

2. 行列式写法：把三项合成一个

右边的被积向量可以写成行列式：

d y d z \frac{\partial}{\partial x} P d z d x \frac{\partial}{\partial y} Q d x d y \frac{\partial}{\partial z} R .

按第一行展开，三个代数余子式正好就是那三项。

也可以写成法向量的形式：

cos α \frac{\partial}{\partial x} P cos β \frac{\partial}{\partial y} Q cos γ \frac{\partial}{\partial z} R d S .

这两种写法考场上都够用，挑顺手的一个记。

中间那一行是求导算子，展开时它作用在第三行上，别当成普通的数。

3. 方向：曲线与曲面侧要按右手定则配

斯托克斯公式里有两个方向要配对：

曲线 $Γ$ 的走向与曲面 $Σ$ 的侧，
必须满足右手定则：

右手四指沿 $Γ$ 的走向弯曲，拇指所指就是 $Σ$ 应取的法向。

等价的说法：沿 $Γ$ 走时，曲面始终在左手边——
这和格林公式的正向约定是同一句话。

配反了整个结果差一个负号。

做题时的顺序：先看题目给的曲线走向，再据此定曲面的侧；
若题目给的是曲面的侧，就反过来定曲线的走向。

4. 怎么用：挑一张最好算的曲面

斯托克斯公式的典型用法是把难算的空间曲线积分变成好算的曲面积分。

标准流程：

① 认出闭曲线 $Γ$ （常是两张曲面的交线）；

② 挑一张以它为边界的曲面，首选平面；

③ 按右手定则定该曲面的侧；

④ 算三个「交叉相减」，再作第二类曲面积分
（常可化成第一类或直接投影）。

最常见的一类题：

Γ

是平面

x + y + z = 1

与某个柱面的交线，
这时就取那块平面当

Σ

，法向量是常向量

\frac{1}{3} (1, 1, 1)

，三项合并后积分立刻变成「常数乘面积」。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

标准流程

第一步：确认

Γ

是闭曲线，并看清走向。

第二步：挑一张以

Γ

为边界的曲面，首选平面。

第三步：按右手定则定该曲面的侧。

第四步：算三个交叉相减，再作第二类曲面积分。

例例. 求

\oint_{Γ} y d x + z d y + x d z

，

Γ

是平面

x + y + z = 1

与三个坐标面的交线，从

z

轴正向看去取逆时针。

第一步，

Γ

是闭曲线（一个三角形）✓ 走向已给。

第二步，挑以

Γ

为边界的曲面——首选那张平面：

Σ

是

x + y + z = 1

在第一卦限的三角形。

第三步，右手定则：四指沿

Γ

的走向弯曲，拇指朝上

\Rightarrow

取上侧。

第四步，三个交叉相减：

rot F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) = (- 1, - 1, - 1) .

再作第二类曲面积分（合一投影，

z = 1 - x - y

、

z_{x} = z_{y} = - 1

）：

- P z_{x} - Q z_{y} + R = - (- 1) (- 1) - (- 1) (- 1) + (- 1) = - 3, \iint_{D} (- 3) d x d y = - 3 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} .

化成第一类再算

第一步：写出所选曲面的单位法向量

(cos α, cos β, cos γ)

。

第二步：把三项合成

(\dots) d S

的形式。

第三步：平面情形法向量是常向量，括号里常常是个常数。

第四步：于是积分

=

常数

\times

曲面面积。

例例. 同一道题（上一条的

Γ

与

Σ

），改走第一类的路。

第一步，

Σ

是平面，单位法向量是常向量：

(cos α, cos β, cos γ) = \frac{1}{3} (1, 1, 1) .

第二步，合成

d S

的形式：

\oint_{Γ} = \iint_{Σ} rot F \cdot n d S = \iint_{Σ} (- 1, - 1, - 1) \cdot \frac{( 1 , 1 , 1 )}{3} d S .

第三步，平面情形法向量是常的，所以括号里就是个常数：

\frac{- 3}{3} = - 3

。

第四步，积分

=

常数

\times

曲面面积。三角形

(1, 0, 0)

、

(0, 1, 0)

、

(0, 0, 1)

的面积是

\frac{3}{2}

，故

\oint_{Γ} = - 3 \cdot \frac{3}{2} = - \frac{3}{2},

与上一条一致 ✓ 辅助曲面取平面时这条路最快：一个常数乘一个面积，一行就完。

定方向

第一步：题目给曲线走向时，右手四指沿走向弯曲，拇指定法向。

第二步：题目给曲面侧时，反过来用右手定则定曲线走向。

第三步：与题目给的方向相反时，添一个负号。

第四步：只添一次——别既换方向又加负号。

例例. 三种情形各怎么定方向？

① 题目给曲线走向（如「从

z

轴正向看去逆时针」）：右手四指沿走向弯曲，拇指所指就是该取的法向——上一条取上侧正是这么定的。

② 题目给曲面的侧（如「取下侧」）：反过来用右手定则——拇指朝下，四指弯曲的方向就是

Γ

该走的向。

③ 算出来的方向与题目给的相反：添一个负号。

第四步，只添一次。 最常见的错法是：先把曲线方向翻过来，又在结果上补个负号——两次反向等于没反，白忙一场还把符号弄错了。

一句话记牢：曲线的走向与曲面的侧互相决定，定了一个，另一个就没有自由了。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

三项的交叉相减记错顺序

按

x \to y \to z \to x

轮换：

R_{y} - Q_{z}

、

P_{z} - R_{x}

、

Q_{x} - P_{y}

。

自检：最后一项必须与格林公式右边一致。

用行列式写法可以把顺序交给展开规则。

曲线走向与曲面侧没按右手定则配

两个方向必须配对，配反了结果差一个负号。

口诀：沿曲线走时曲面在左手边。

动笔前先在图上比一下右手。

曲线不闭合也想用

斯托克斯公式的左边是

\oint

，必须是闭曲线。

不闭合时只能参数化，或者判断是否与路径无关再找原函数。

先确认闭合，再谈公式。

挑的曲面穿过了奇点

所选曲面必须整个落在

P, Q, R

有连续偏导的区域里。

挑曲面的自由很大，但不能挑到奇点上去。

被积函数有分母时先看分母何时为零。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认公式

练 1

斯托克斯公式中与

d x d y

相配的是

Q_{x} -

________。

练 2

斯托克斯公式要求

Γ

（）。

A是闭曲线且为某曲面的边界
B是直线
C在同一平面内
D不必闭合

练 3

曲线走向与曲面侧要按 ________ 定则配对。

练 4

把斯托克斯公式退化到

x O y

平面上，得到的是（）。

A高斯公式
B格林公式
C牛顿–莱布尼茨公式
D分部积分公式

第二组 · 会算

练 5

F = (y, z, x)

时，

R_{y} - Q_{z} =

________。

练 6

平面

x + y + z = 1

的单位法向量（朝上）为

\frac{1}{3} (1, 1, □)

，

□ =

________。

练 7

x O y

面上的圆周从

z

轴正向看取逆时针，配的曲面侧是（）。

A上侧
B下侧
C前侧
D任意

练 8

三项交叉相减都等于

- 1

、所选平面单位法向量为

\frac{1}{3} (1, 1, 1)

时，被积函数化成第一类后是 ________。

第三组 · 想清楚

练 9

以同一条闭曲线为边界的不同曲面，其斯托克斯右端的积分值（）。

A一般不同
B全都相等
C只有平面情形相等
D与曲面面积成正比

练 10

挑曲面时唯一的限制是（）。

A必须是平面
B必须光滑
C必须整个落在偏导连续的区域内
D必须面积最小

练 11

题面给的曲线走向与你取的曲面侧不配时，应当（）。

A添一个负号，或改取另一侧，二选一
B既改侧又添负号
C重新选曲面
D不必处理

练 12

被积函数是多项式、

Γ

是两曲面交线的空间闭曲线时，多半在考 ________ 公式。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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