斯托克斯公式

§6.9 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.53 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

1.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）格林公式第二类曲面积分（对坐标）③ 掌握后可解锁场论初步：散度与旋度

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 一般方法：先算旋度，再配平面张片，最后求旋度通量★★ 必会

由斯托克斯公式，空间闭曲线上的环量

\oint_{Γ} P d x + Q d y + R d z

可以化为旋度的通量

\iint_{Σ} (\nabla \times F) \cdot n d S

。计算分三步进行：①求旋度

\nabla \times F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y})

；②给

Γ

配一张尽可能简单的张曲面，首先考虑

Γ

所在或所张成的平面片，因为它的法向量

n

是常向量；③按右手法则确定

n

的方向，再计算

\iint_{Σ} (\nabla \times F) \cdot n d S

。如果旋度是常向量，那么此式

= (\nabla \times F) \cdot n \times S_{Σ}

，一步即可求出结果。

举例说明

例. 计算

I = \oint_{Γ} y d x + z d y + x d z

，其中

Γ

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

与平面

x + y + z = 0

的交线（大圆），其方向与平面法向

n = \frac{1}{3} (1, 1, 1)

成右手关系。
解. 这里

F = (y, z, x)

，其旋度

\nabla \times F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (- 1, - 1, - 1)

。取

Σ

为平面

x + y + z = 0

上由大圆围成的圆盘，其法向量

n = \frac{1}{3} (1, 1, 1)

，于是

(\nabla \times F) \cdot n = \frac{- 1 - 1 - 1}{3} = - 3 .

由于该圆是过球心的截面，其半径为

a

，故

S_{Σ} = π a^{2}

。因此

I = - 3 \cdot π a^{2} = - 3 π a^{2}

。

2. 张曲面为何可以任选：div curl ≡ 0★ 要懂

在斯托克斯公式中，以

Γ

为边界的曲面

Σ

可以任意选取，所得结果都相同。这并不是一种约定，而是旋度场无源这一事实的推论，即

div (\nabla \times F) \equiv 0

。明白了这一点，就可以放心地把题中所给的弯曲张曲面换成便于计算的平面片。

证明 / 推导

证（张曲面无关性）. 设

Σ_{1}, Σ_{2}

都以

Γ

为边界，且它们的法向与

Γ

的定向都符合右手法则。取

Σ_{2}

的反向

Σ_{2}^{-}

，则

Σ_{1}

与

Σ_{2}^{-}

拼成一张封闭曲面

Σ

（它围出立体

Ω

），并取外侧。对旋度场

G = \nabla \times F

使用高斯公式，得

\iint_{Σ} G \cdot n d S = ∭_{Ω} div G d V = ∭_{Ω} div (\nabla \times F) d V = 0,

这是因为恒有

div (\nabla \times F) = \frac{\partial}{\partial x} (R_{y} - Q_{z}) + \frac{\partial}{\partial y} (P_{z} - R_{x}) + \frac{\partial}{\partial z} (Q_{x} - P_{y}) = 0

，其中各二阶混合偏导数两两抵消。于是

\iint_{Σ_{1}} G \cdot n d S - \iint_{Σ_{2}} G \cdot n d S = 0

，即两张曲面上的旋度通量相等。

■

3. 旋度不是常向量时：代入平面方程化简 dS 积分

当旋度不是常向量时，配上平面张片以后

(\nabla \times F) \cdot n

仍是变量的函数，须化为第一类曲面积分

\iint_{Σ} (\dots) d S

再行计算。这时可以利用点在张平面上、平面方程恒成立这一事实来化简被积函数，例如把

x + y + z

整体代换成常数，往往能把积分化为常数与面积之积。

举例说明

例. 计算

I = \oint_{Γ} z^{2} d x + x^{2} d y + y^{2} d z

，

Γ

为平面

x + y + z = 1

与三坐标面围成的三角形边界（顶点

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

），方向与

n = \frac{1}{3} (1, 1, 1)

成右手关系。
解. 这里

F = (z^{2}, x^{2}, y^{2})

，其旋度

\nabla \times F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) = (2 y, 2 z, 2 x)

，它不是常向量。取

Σ

为三角形平面片，

n = \frac{1}{3} (1, 1, 1)

，则

(\nabla \times F) \cdot n = \frac{2 y + 2 z + 2 x}{3} = \frac{2 ( x + y + z )}{3} = x + y + z = 1 \frac{2}{3} .

这里代入平面方程

x + y + z = 1

，把被积函数化成了常数。于是

I = \iint_{Σ} \frac{2}{3} d S = \frac{2}{3} S_{Σ} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1,

其中等边三角形的面积

S_{Σ} = \frac{3}{4} (2)^{2} = \frac{3}{2}

。

4. 右手定则，以及格林公式是斯托克斯公式的特例★★ 必会

有两点必须掌握。(一) 用右手定则定号：右手四指顺着

Γ

绕行，拇指所指的一侧就是

Σ

所选定的法向侧；如果

Γ

的绕向与

n

配错，整个结果就要差一个负号。(二) 与格林公式的统一：设

Γ

落在

x y

平面内。取

Σ

为该平面上由

Γ

围成的区域，法向量

n = (0, 0, 1)

。沿

Γ

有

z

恒为零，故

d z = 0

。因此左端含

R d z

的一项自动消失。右端作数量积时

n

只有第三个分量非零，故旋度的通量只剩下

\iint_{Σ} (Q_{x} - P_{y}) d x d y

。于是斯托克斯公式退化为格林公式。必须注意，这两处化简与

R

是否为零无关。即使

R

不恒为零，退化依然成立。由此可见，空间曲线不能直接套用格林公式，格林公式只是斯托克斯公式落在

x y

平面内的特例；反过来，如果

Γ

恰好在某个坐标面内，那么取该平面上的圆盘为张曲面、直接用格林公式最为简便。四个公式（牛顿–莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）在本质上都是

\int_{边界} = \int_{内部导数}

。

证明 / 推导

证（格林公式是斯托克斯公式的特例）. 设闭曲线

Γ

落在

x O y

平面内。它所围的平面区域记为

D

。取张曲面

Σ = D

，法向量取上侧，即

n = (0, 0, 1)

。对向量场

F = (P, Q, R)

，旋度为

\nabla \times F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) .

它与

n

作数量积时，只有第三个分量留下，故

(\nabla \times F) \cdot n = Q_{x} - P_{y} .

前两个分量中的

R_{y}, Q_{z}, P_{z}, R_{x}

都被乘上了零，一概不出现。又因

Σ

是平面区域，面积元

d S = d x d y

，所以右端的旋度通量等于

\iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d x d y

。另一方面，

Γ

落在平面

z = 0

内。沿

Γ

有

z

恒为零，故

d z = 0

。于是左端含

R

的一项自动消失：

\oint_{Γ} P d x + Q d y + R d z = \oint_{Γ} P d x + Q d y .

把两端代入斯托克斯公式，得

\oint_{Γ} P d x + Q d y = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d x d y,

这就是格林公式。由此可见，格林公式是斯托克斯公式在张曲面取为平面区域时的特例。

绕向与法向为什么必须配套. 上面取

n = (0, 0, 1)

。按右手定则，

Γ

的绕向是逆时针，这与格林公式所要求的正向一致。如果只把

Γ

的绕向反过来，那么左端的曲线积分变号。而右端的二重积分不变，等式便不成立。如果同时把

n

也反过来，那么

(\nabla \times F) \cdot n

变号，右端也随之变号，等式重新成立。所以绕向与法向只能成对地改变。单独改动其中一个，就会相差一个负号。

■

💡 小知识

斯托克斯公式最早是开尔文写信告诉斯托克斯的，斯托克斯把它出成了 1854 年剑桥史密斯奖考试的一道题，当年的考生里就有麦克斯韦。一道考题从此挂上了出题人的名字。若用微分形式写成

\int_{\partial M} ω = \int_{M} d ω

，牛顿–莱布尼茨、格林、高斯、斯托克斯这四大公式其实是同一个定理。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用斯托克斯公式计算

I = \oint_{Γ} - y d x + x d y

，其中

Γ

为

x y

平面（

z = 0

）上的圆周

x^{2} + y^{2} = 1

，从

z

轴正向看取逆时针方向。难度 2

思路：曲线在 $x y$ 平面内，取平面圆盘为张曲面，斯托克斯退化为格林公式。

F = (P, Q, R) = (- y, x, 0)

。先求旋度：

curl F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) = (0 - 0, 0 - 0, 1 - (- 1)) = (0, 0, 2) .

取张曲面

Σ

为

z = 0

内的圆盘

x^{2} + y^{2} \leq 1

。按右手法则（

Γ

逆时针），法向量

n = (0, 0, 1)

。于是旋度通量

I = \iint_{Σ} (curl F) \cdot n d S = \iint_{Σ} 2 d S = 2 \cdot (圆盘面积) = 2 \cdot π = 2 π .

答案： $I = 2 π$ 。 当

Σ

落在

x y

平面时，斯托克斯公式正是格林公式的特例。

例 2 用斯托克斯公式计算

I = \oint_{Γ} z d x + x d y + y d z

，其中

Γ

为平面

x + y + z = 1

与三个坐标面围成的三角形边界（顶点

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

），从第一卦限外侧看取逆时针方向。难度 2

思路：给 $Γ$ 配最简单的张曲面——三角形平面片，其法向固定；旋度为常向量。

F = (z, x, y)

，求旋度：

R_{y} - Q_{z} = 1 - 0 = 1, P_{z} - R_{x} = 1 - 0 = 1, Q_{x} - P_{y} = 1 - 0 = 1,

即

curl F = (1, 1, 1)

。取

Σ

为该三角形平面片，其单位法向量（由右手法则指向第一卦限外侧）为

n = \frac{1}{3} (1, 1, 1)

。于是

(curl F) \cdot n = \frac{1 + 1 + 1}{3} = \frac{3}{3} = 3 .

三角形三边长均为

2

（如

∣ (1, 0, 0) - (0, 1, 0) ∣ = 2

），是等边三角形，面积

S_{Σ} = \frac{3}{4} (2)^{2} = \frac{3}{2}

。故

I = \iint_{Σ} (curl F) \cdot n d S = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} .

答案： $I = \frac{3}{2}$ 。 旋度是常向量时，通量

= (curl F \cdot n) \times

面积。

例 3 计算

I = \oint_{Γ} x^{2} d x + y^{2} d y + z^{2} d z

，其中

Γ

为任意一条分段光滑的空间闭曲线。难度 1

思路：先算旋度，若旋度为零，则任意闭路环量为零。

F = (x^{2}, y^{2}, z^{2})

，求旋度：

R_{y} - Q_{z} = 0 - 0 = 0, P_{z} - R_{x} = 0 - 0 = 0, Q_{x} - P_{y} = 0 - 0 = 0,

即

curl F = 0

。由斯托克斯公式，对任意以

Γ

为边界的曲面

Σ

，

I = \iint_{Σ} (curl F) \cdot n d S = \iint_{Σ} 0 \cdot n d S = 0.

答案： $I = 0$ 。 旋度恒为零的场（无旋场）沿任意闭曲线的环量都是零；事实上

x^{2} d x + y^{2} d y + z^{2} d z = d (\frac{x ^{3} + y ^{3} + z ^{3}}{3})

是全微分。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

已知有向曲线

L

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 x

与平面

2 x - z - 1 = 0

的交线，从

z

轴正向往

z

轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分

\int_{L} (6 x y z - y z^{2}) d x + 2 x^{2} z d y + x y z d z .

2022 年 · 数一 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

已知

Σ

为曲面

4 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

（

x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0

）的上侧，

L

为

Σ

的边界曲线，其正向与

Σ

的正法向量满足右手法则，计算曲线积分

I = \int_{L} (y z^{2} - cos z) d x + 2 x z^{2} d y + (2 x y z + x sin z) d z .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

斯托克斯公式把空间闭曲线上的环量

\oint_{Γ} F \cdot d r

化为（　　）。

A $\iint_{Σ} (curl F) \cdot n d S$ （旋度的曲面通量）
B $∭_{Ω} div F d V$ （散度的体积分）
C $\iint_{Σ} F \cdot n d S$ （场本身的通量）
D另一条曲线上的积分

练习 2 · 选择题

在斯托克斯公式中，边界曲线

Γ

的绕行方向与曲面

Σ

的法向量方向之间满足（　　）。

A右手法则
B左手法则
C彼此无关
D必须互相平行

练习 3 · 填空题

向量场

F = (- y, x, 0)

的旋度

curl F =

____。

练习 4 · 填空题

\oint_{Γ} x^{2} d x + y^{2} d y + z^{2} d z =

____，其中

Γ

为任意分段光滑的空间闭曲线。

练习 5 · 选择题

设

Γ

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

与平面

x + y + z = 0

的交线，从

z

轴正向往下看取逆时针方向，则

\oint_{Γ} (z - y) d x + (x - z) d y + (y - x) d z =

（　　）。

A $23 π$
B $3 π$
C $6 π$
D $0$

练习 6 · 填空题

设

Γ

为圆周

x^{2} + y^{2} = a^{2}, z = 0

（

a > 0

），从

z

轴正向往下看取逆时针方向，则

\oint_{Γ} y d x + z d y + x d z =

____。

练习 7 · 解答题

计算

I = \oint_{Γ} - y^{2} d x + x d y + z^{2} d z,

其中

Γ

是旋转抛物面

z = x^{2} + y^{2}

与平面

z = 2 y

的交线，从

z

轴正向往下看取逆时针方向。

2014 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

设

L

是柱面

x^{2} + y^{2} = 1

与平面

y + z = 0

的交线，从

z

轴正向往

z

轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

\oint_{L} z d x + y d z =

______。

2011 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

设

L

是柱面

x^{2} + y^{2} = 1

与平面

z = x + y

的交线，从

z

轴正向往

z

轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

\oint_{L} x z d x + x d y + \frac{y ^{2}}{2} d z =

______.

2001 年 · 数一 · 第 14 题 · 解答题 · 7 分

计算

I = \oint_{L} (y^{2} - z^{2}) d x + (2 z^{2} - x^{2}) d y + (3 x^{2} - y^{2}) d z

，其中

L

是平面

x + y + z = 2

与柱面

∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 1

的交线，从

z

轴正向看去，

L

为逆时针方向.

1997 年 · 数一 · 第 12 题 · 解答题 · 5 分

计算曲线积分

\oint_{C} (z - y) d x + (x - z) d y + (x - y) d z

，其中

C

是曲线

{x^{2} + y^{2} = 1, x - y + z = 2,

从

z

轴正向往

z

轴负向看，

C

的方向是顺时针的。