场论初步：散度与旋度

场论中有三个基本的微分运算，即梯度、散度、旋度。它们本质上都是算子 $\nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)$ 的作用结果，区别只在于作用方式不同：或作用于标量函数，或与向量场作点乘，或与向量场作叉乘。先记牢它们的类型与计算公式，这是本章一切判定的基础：

① 梯度 $\mathrm{grad}f$（标量场 $\to$ 向量场）. 对标量函数 $f(x,y,z)$，其梯度是各偏导排成的向量：
$$\mathrm{grad}f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=(f_x,f_y,f_z).$$
它是一个向量，其方向指向 $f$ 增长最快的方向，其模等于该点处的最大方向导数。

② 散度 $\mathrm{div}\mathbf{F}$（向量场 $\to$ 标量场）. 对向量场 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$，散度是 $\nabla$ 与 $\mathbf{F}$ 的点乘：
$$\begin{array}{rl}\mathrm{div}\mathbf{F}& =\nabla \cdot \mathbf{F}\\ & =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\\ & =P_x+Q_y+R_z.\end{array}$$
它是一个标量，用来度量该点处单位体积的净通量，发散时为正，汇聚时为负。要领：三项按对角搭配，$P$ 对 $x$、$Q$ 对 $y$、$R$ 对 $z$，各自求导后直接相加。

③ 旋度 $\mathrm{rot}\mathbf{F}$（向量场 $\to$ 向量场）. 对 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$，旋度是 $\nabla$ 与 $\mathbf{F}$ 的叉乘；写成三阶行列式最不易出错，这一行列式记法就是本条的要点：
$$\mathrm{rot}\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}.$$
即 $\mathrm{rot}\mathbf{F}=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y)$，它是向量，刻画该点附近的旋转倾向。必须注意：$\mathbf{j}$ 分量在行列式展开时自带一个负号，其结果是 $P_z-R_x$（切勿写成 $R_x-P_z$）；最稳妥的做法是始终按三阶行列式逐项展开，不要凭记忆默写这三个分量。

类型小结：$\mathrm{grad}$ 把标量场变为向量场，$\mathrm{div}$ 把向量场变为标量场，$\mathrm{rot}$ 把向量场变为向量场。解题时先认清输入与输出各是标量还是向量，就能立刻排除搭配错误的写法，例如对向量场求梯度、对标量求旋度都是没有意义的。

下面讨论两个基本概念，它们分别由散度、旋度是否恒为零来定义：
- 无源场（管量场）：处处有 $\mathrm{div}\mathbf{F}=0$。由高斯公式可知，穿过任意闭曲面的净通量都为零，流入多少就流出多少，既没有源，也没有汇。
- 无旋场：处处有 $\nabla \times \mathbf{F}=0$。由斯托克斯公式可知，在单连通区域内沿任意闭路的环量都为零，这样的场就是保守场。
必须注意：判定时要区分结论是在除奇点外成立，还是处处成立。平方反比场 $\mathbf{F}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}{|}^3}$ 在原点之外有 $\mathrm{div}\mathbf{F}=0$，看上去是无源场，但包住原点的闭曲面上的通量却是 $4\pi \ne 0$，这是因为原点本身就是一个源，即奇点。由此可见，管量场这一概念对奇点是很敏感的。

算子 $\nabla$ 既有求导的性质，又有向量的性质，因此有一批乘积法则。它们不但是考查内容，更是理解场论的基础，常用的有：
$$\begin{array}{rl}\mathrm{div}(u\mathbf{F})& =u\mathrm{div}\mathbf{F}+\nabla u\cdot \mathbf{F}\\ \mathrm{curl}(u\mathbf{F})& =u\mathrm{curl}\mathbf{F}+\nabla u\times \mathbf{F}\end{array}$$
$$\mathrm{div}(\mathbf{F}\times \mathbf{G})=\mathbf{G}\cdot \mathrm{curl}\mathbf{F}-\mathbf{F}\cdot \mathrm{curl}\mathbf{G}.$$
使用要领是：$\nabla$ 作用于乘积时，同普通导数一样逐个求导再求和，只是要照顾到向量运算的类型，点乘所得为标量，叉乘所得为向量。

先取梯度，再取散度，就得到拉普拉斯算子：
$$\begin{array}{rl}\Delta u& =\mathrm{div}(\mathrm{grad}u)\\ & =\nabla \cdot (\nabla u)\\ & =\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}.\end{array}$$
满足 $\Delta u=0$ 的函数称为调和函数。稳态温度场、静电势以及无源无旋流的势函数都是调和函数，其物理意义十分重要。这个算子把取梯度与取散度这两个运算联系了起来，也是数学物理方程的入口。

如果 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ 在单连通区域内无旋，即 $\nabla \times \mathbf{F}=0$，那么存在势函数 $u$，使 $\mathbf{F}=\mathrm{grad}u$。除逐次偏积分外，更为程式化的是折线积分公式，即沿着从 $(x_0,y_0,z_0)$ 出发、分别平行于各坐标轴的折线积分：
$$u(x,y,z)={\int }_{x_0}^{x}P(t,y_0,z_0)dt+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,t,z_0)dt+{\int }_{z_0}^{z}R(x,y,t)dt+C.$$
如果原点在定义域内，那么取 $(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)$ 最为简便。求出 $u$ 以后，空间曲线积分 ${\int }_A^B\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=u(B)-u(A)$，无须再对路径作参数化。