场论初步：散度与旋度

高等数学 · 多元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 三个算子：先分清输入和输出是什么

场论里只有三个算子，最容易混的是它们的类型：

grad u div F rot F 数量场 \to 向量场 向量场 \to 数量场 向量场 \to 向量场

梯度（上一章学过）：

grad u = (u_{x}, u_{y}, u_{z})

，
指向函数增长最快的方向。

散度：

div F = P_{x} + Q_{y} + R_{z}

，同名相加，结果是数。

旋度：

rot F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y})

，
交叉相减，结果是向量。

答题时先对类型：写出「

div F = (1, 2, 3)

」就是类型错误。

2. 散度：单位体积流出多少

把高斯公式用到一个很小的闭曲面上，再除以体积取极限，就得到

div F = Ω \to M lim \frac{1}{V} \iint_{Σ} F \cdot d S .

所以散度是「通量密度」：某点处单位体积在单位时间内净流出的量。

div F > 0

的点叫源，

< 0

的点叫汇。

处处为零的场叫无源场（或管量场），它穿过任何不含奇点的
闭曲面的通量都是零。

常用计算结论：

div (x, y, z) = 3,

div (- y, x, 0) = 0.

3. 旋度：单位面积转得多快

把斯托克斯公式用到一小块面上，再除以面积取极限，得到

n \cdot rot F = Σ \to M lim \frac{1}{S} \oint_{Γ} F \cdot d r .

所以旋度是「环量密度」：它在某方向上的投影，
等于绕该方向转一小圈的环量密度。

旋度的方向是「转得最快」的那个轴向，
模是最大的环量密度——和梯度的「最快增长方向」是对偶的说法。

处处旋度为零的场叫无旋场（或有势场）。

行列式记法和斯托克斯那里一样，把

d y d z

那一行
换成

i, j, k

即可。

4. 一张表收尾：怎么判、怎么算

判据汇总（区域内无奇点时）：

div F = 0 rot F = 0 通量为 0 环量为 0

（前者对闭曲面，后者对闭曲线。）

两个常用恒等式（

u

与

F

足够光滑时）：

rot (grad u) = 0,

div (rot F) = 0.

前一条说「梯度场一定无旋」，后一条说「旋度场一定无源」。
两条都可以直接用混合偏导相等验出来。

考试里的用法：看到「证明某场是有势场」，就算旋度；
看到「求通量」，就算散度再用高斯。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

算散度与旋度

第一步：写出

F = (P, Q, R)

的三个分量。

第二步：散度

= P_{x} + Q_{y} + R_{z}

，同名相加，结果是数。

第三步：旋度按

x \to y \to z

轮换交叉相减，结果是向量。

第四步：核对类型——散度不能是向量，旋度不能是数。

例例. 设

F = (x y, y z, z x)

，求它的散度与旋度。

第一步，三个分量：

P = x y

、

Q = y z

、

R = z x

。

第二步，散度同名相加：

div F = P_{x} + Q_{y} + R_{z} = y + z + x .

结果是一个数（含

x, y, z

的标量函数）。

第三步，旋度按

x \to y \to z

轮换交叉相减：

rot F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) = (- y, - z, - x) .

结果是一个向量。

第四步，核对类型：散度是数 ✓ 旋度是向量 ✓

答出一个「向量的散度」或「标量的旋度」，一定是哪一步串行了——这一眼的核对比重算一遍便宜得多。

求通量

第一步：确认曲面闭合并取外侧（不闭合先补面）。

第二步：算散度。

第三步：在立体上作三重积分。

第四步：检查区域内有没有奇点，有就挖小球。

例例. 求

F = (x, y, z)

穿过上半球面

z = R^{2} - x^{2} - y^{2}

上侧的通量。

第一步，曲面不闭合，先补底面

Σ_{0}

：

z = 0

、

x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

，取下侧。

第二步，散度

= 1 + 1 + 1 = 3

。

第三步，对闭曲面用高斯：

\iint_{Σ + Σ_{0}} = ∭_{Ω} 3 d v = 3 \cdot \frac{2}{3} π R^{3} = 2 π R^{3} .

减去补面：

Σ_{0}

上法向是

(0, 0, - 1)

，

F \cdot n = - z = 0

，那一片的通量为

0

。所以所求通量

= 2 π R^{3}

。

第四步，查奇点：

F = (x, y, z)

处处光滑，没有。若换成

\frac{( x , y , z )}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}

，原点就是奇点，必须挖小球。

求环量 / 判有势

第一步：算旋度。

第二步：旋度为零且区域单连通

\Rightarrow

有势、环量为零、积分与路径无关。

第三步：旋度不为零

\Rightarrow

用斯托克斯公式化成曲面积分。

第四步：区域有洞时不能直接下结论，要单独讨论绕洞的曲线。

例例. 判断

F = (y, x, 0)

与

G = (- y, x, 0)

哪个有势。

第一步，算旋度：

rot F = (0, 0, 1 - 1) = 0, rot G = (0, 0, 1 - (- 1)) = (0, 0, 2) .

第二步，

rot F = 0

且

R^{3}

单连通

\Rightarrow

F

有势：环量为零、积分与路径无关，势函数

u = x y

（验：

\nabla u = (y, x, 0)

✓）。前面「

y d x + x d y

与路径无关」那条，根子就在这儿。

第三步，

rot G \neq = 0

\Rightarrow

无势。沿单位圆（逆时针）的环量用斯托克斯：

\iint (0, 0, 2) \cdot (0, 0, 1) d S = 2 π

——正是格林公式那道题的答案 ✓

第四步，区域有洞时不能直接下结论。

\frac{( - y , x , 0 )}{x ^{2} + y ^{2}}

在

z

轴之外旋度为零，可绕

z

轴一圈的环量是

2 π \neq = 0

——挖掉一条轴之后区域不再单连通，绕洞的曲线必须单独讨论。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

散度与旋度的类型弄反

散度是数，旋度是向量。

写「

div F = (1, 2, 3)

」或「

rot F = 5

」都是类型错误。

写完先看一眼等号两边的类型。

旋度的交叉相减记错

按

x \to y \to z \to x

轮换：

(R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y})

。

自检：第三个分量必须与格林公式右边一致。

用行列式写法可以把顺序交给展开规则。

忽略奇点就下结论

「散度为零

\Rightarrow

通量为零」「旋度为零

\Rightarrow

环量为零」
都要求区域内无奇点。

平方反比场与那个

\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}

都是反例。

被积函数有分母时先查分母何时为零。

忘了「单连通」

无旋

\Rightarrow

与路径无关，这一步需要区域单连通。

带洞的区域上旋度为零也可能有非零环量。

判「有势」时要把区域说清楚。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认类型

练 1

div F

的结果是（）。

A一个向量
B一个数
C一个矩阵
D一个场的方向

练 2

div F = P_{x} + Q_{y} +

________。

练 3

rot F

的第三个分量是

Q_{x} -

________。

练 4

梯度作用的对象是（）。

A向量场
B曲面
C数量场
D曲线

第二组 · 会算

练 5

F = (- y, x, 0)

的散度为 ________。

练 6

F = (- y, x, 0)

的旋度为 ________。

练 7

F = (y, x, 0)

的旋度是（）。

A $(0, 0, 2)$
B $(0, 0, - 2)$
C $0$
D $(1, 1, 0)$

练 8

F = (x, y, z)

穿过体积为

V

的闭曲面（外侧）的通量为 ________。

第三组 · 想清楚

练 9

rot (grad u)

恒等于（）。

A $0$
B $0$ （数）
C $grad u$
D与 $u$ 有关

练 10

「旋度为零

\Rightarrow

线积分与路径无关」这一步还需要（）。

A场连续即可
B曲线光滑
C区域单连通
D场有界

练 11

题面出现「通量」二字，通常对应（）。

A旋度与斯托克斯公式
B梯度与方向导数
C散度与高斯公式
D格林公式

练 12

div (rot F)

恒等于 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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