第二类曲线积分（对坐标）

① 定义：设 $L$ 是从 $A$ 到 $B$ 的有向光滑曲线弧，$P(x,y),Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界。沿这个方向用分点 $A=M_0,M_1,\dots ,M_n=B$ 把 $L$ 分成 $n$ 个有向小弧段，第 $i$ 段两端的坐标增量记为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$，它们是带符号的；再在每个小弧段上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，作和式并取极限（其中 $\lambda$ 为各小弧段长度的最大值）：$${\int }_{L}Pdx+Qdy=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i].$$ 当 $P,Q$ 连续时，上述极限存在。物理意义：它表示变力 $\mathbf{F}=(P,Q)$ 把质点沿 $L$ 从 $A$ 移到 $B$ 所做的功。事实上每一小段的位移 $\approx (\Delta x_i,\Delta y_i)$，相应的功 $\approx \mathbf{F}\cdot (\Delta x_i,\Delta y_i)=P\Delta x_i+Q\Delta y_i$。用向量记号可写成 ${\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$，其中 $d\mathbf{r}=(dx,dy)$；它与第一类曲线积分的联系是 ${\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathbf{\tau }ds$，其中 $\mathbf{\tau }$ 为沿 $L$ 方向的单位切向量。

② 方向性（反向变号）：记 $L^{-}$ 为 $L$ 的反向曲线，则$${\int }_{L^{-}}Pdx+Qdy=-{\int }_{L}Pdx+Qdy,$$这是因为曲线反向后每个 $\Delta x_i,\Delta y_i$ 都变号。所以计算第二类曲线积分时必须先看清方向。第一类曲线积分与方向无关，两者的根本区别就在于此。

③ 参数式计算公式：设 $L:x=\phi (t),y=\psi (t)$，当 $t$ 由 $\alpha$ 单调地变到 $\beta$ 时，动点从起点 $A$ 沿 $L$ 走到终点 $B$，$\phi ,\psi$ 有连续导数且不同时为零，则$${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[P\right(\phi (t),\psi (t)){\phi }^{\prime }(t)+Q(\phi (t),\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)]dt.$$式中下限一定取起点所对应的参数值，上限一定取终点所对应的参数值，上下限完全由曲线的方向决定；即使 $\alpha >\beta$ 也照此书写，这一点与第一类积分必须由小积到大不同。对空间曲线只需再添一项 $Rdz$，并设 $z=\omega (t)$，其余完全相同。显式曲线 $y=y(x)$ 是以 $x$ 为参数的特例，此时 $dy=y^{\prime }(x)dx$。

挖洞法、回路替换法都要在一个小圆周上算积分，因此圆的参数化必须写得毫不含糊。设圆的方程为 $x^2+y^2=r^2$，取
$$\begin{array}{rl}x& =r\cos t\\ y& =r\sin t.\end{array}$$
用它算积分，需要交代三件事。

第一，$r$ 是常数。 在这条曲线上 $r$ 不随 $t$ 变化，因此 $dr=0$，求微分时只对 $t$ 求导，得
$$\begin{array}{rl}dx& =-r\sin tdt\\ dy& =r\cos tdt.\end{array}$$
同时分母 $x^2+y^2$ 在圆上恒等于 $r^2$，是一个常数，可以直接提到积分号外。挑圆周作替换回路，就是为了得到这个常数。至于 $r$ 取多大，只要小到使圆落在原回路内部、并且圆内除去奇点之外没有别的奇点即可，通常不必写出具体数值。如果最后的答案与 $r$ 无关，那么这个 $r$ 会在计算中自行约去。

第二，$t$ 的起止由端点定。 把起点与终点的坐标代入 $x=r\cos t,y=r\sin t$，反解出对应的 $t$ 值，积分就从起点的 $t$ 算到终点的 $t$。对于整个圆周，正向（逆时针）取 $t$ 由 $0$ 变到 $2\pi$。对于一段圆弧，例如从 $A(r,0)$ 到 $B(0,r)$ 的第一象限弧，$A$ 对应 $t=0$，$B$ 对应 $t=\frac{\pi }{2}$，因此 $t$ 由 $0$ 变到 $\frac{\pi }{2}$。

第三，方向写在积分限里。 参数 $t$ 增大时，动点沿逆时针方向移动，这就是正向。如果要求顺时针方向，那么让 $t$ 由 $2\pi$ 变到 $0$，或者仍按 $0$ 到 $2\pi$ 计算而在结果前添一个负号，两种做法等价。必须注意，第二类曲线积分不要求下限小于上限，方向已经由积分限的先后体现出来。这一点与第一类曲线积分正相反：$ds>0$，所以第一类的参数下限必须小于上限。

如果圆心不在原点，例如 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，那么取 $x=a+r\cos t,y=b+r\sin t$，其余各步相同。如果曲线是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，那么取 $x=a\cos t,y=b\sin t$，整条椭圆同样对应 $t$ 由 $0$ 到 $2\pi$。

这是本章的核心结论。设 $P,Q$ 在单连通区域 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价：
$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\\ & ⟺{\oint }_{C}Pdx+Qdy=0(\forall \text{闭路})\\ & ⟺{\int }_A^{B}Pdx+Qdy\text{与路径无关}\\ & ⟺\exists u,du=Pdx+Qdy.\end{array}$$
一旦确认积分与路径无关，就有两条简便途径。(甲) 求原函数 $u$，于是 ${\int }_A^B=u(B)-u(A)$，这是牛顿–莱布尼茨公式的平面推广。(乙) 改走折线，即沿平行于坐标轴的路径积分，因为结果只与端点有关。求 $u$ 的方法是：先由 $u_x=P$ 积分，得到一个含待定函数的表达式，再用 $u_y=Q$ 定出其中待定的部分。

如果 $L$ 不闭合而直接参数化又相当繁琐，且 $P_y\ne Q_x$（即不是保守场），那么可以补线使之闭合，再用格林公式。具体做法是：添上一段容易计算的辅助线 $L_0$，通常取平行于坐标轴的线段，使其上 $dx=0$ 或 $dy=0$；对闭合回路 $L+L_0$ 用格林公式，然后减去在 $L_0$ 上单独算出的积分，即 ${\int }_L={\oint }_{L+L_0}-{\int }_{L_0}$。必须使 $L+L_0$ 取正向，即沿边界行走时区域在左侧，否则符号全错。

场 $P=\frac{-y}{x^2+y^2},Q=\frac{x}{x^2+y^2}$ 在除原点外的一切点处满足 $P_y=Q_x$，但它不是保守场。判定的依据是存在环流不为零的闭路。例如沿绕原点的单位圆周积分得 $2\pi$。挖去原点后区域不再单连通，这只是使等价定理失去前提，并不足以断定它不是保守场。关键在于 $Pdx+Qdy=d\theta$，即被积表达式恰是极角的微分。因此沿任意一条不通过原点的路径，积分等于极角沿该路径连续变化的总增量。特别地，闭路绕原点一周得 $\pm 2\pi$，不绕原点则为 $0$。由此便可解释 $P_y=Q_x$ 而环流不为零这一表面上的矛盾，这也是处理此类积分的一般方法。

本条与上一条形式相近而性质不同。场 $\frac{xdx+ydy}{x^2+y^2}$ 恰是一个全微分：由 $xdx+ydy=\frac{1}{2}d(x^2+y^2)$ 可得 $\frac{xdx+ydy}{x^2+y^2}=d(\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2))$。它在挖去原点的区域内有单值原函数 $u=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)$，因此积分与路径无关，绕原点一周的积分为 $0$。两者应当对照记忆：角场 $-ydx+xdy$ 绕原点一周得 $2\pi$，没有单值势函数；径场 $xdx+ydy$ 处处保守，其势函数为 $\frac{1}{2}\ln r^2$。遇到形式相近的结构，必须先辨明它属于哪一类。