向量及其运算（数量积、向量积、混合积）

§4.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.19 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

2.3 分支撑的下游价值

前置诊断

这是地基知识点，无前置要求，可以直接学习。

③ 掌握后可解锁平面及其方程空间直线及其方程第二类曲线积分（对坐标）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 向量积（叉积）的定义：模为 $∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ 、方向由右手定则确定、坐标用行列式表示★★ 必会

① 定义：

a \times b

是一个向量（数量积的结果是数，向量积的结果是向量）：

模：

∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ

，其中

θ

为两向量的夹角，

0 \leq θ \leq π

。它的几何意义是以

a, b

为邻边的平行四边形的面积；

方向：垂直于

a, b

所决定的平面，且

a, b, a \times b

构成右手系。也就是说，右手四指自

a

经小于

π

的角转向

b

时，拇指所指的方向就是

a \times b

的方向。

② 坐标公式：设

a = (a_{x}, a_{y}, a_{z})

，

b = (b_{x}, b_{y}, b_{z})

，则

a \times b = i a_{x} b_{x} j a_{y} b_{y} k a_{z} b_{z} = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) i - (a_{x} b_{z} - a_{z} b_{x}) j + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) k,

把它记成按第一行展开的三阶行列式，最不易出错。

③ 运算律与平行的判定：反交换律

b \times a = - a \times b

，可见向量积不满足交换律，次序不能颠倒；分配律

a \times (b + c) = a \times b + a \times c

；数乘可以提出，

(λ a) \times b = λ (a \times b)

；

a \times a = 0

；基向量按轮换次序相乘，

i \times j = k

，

j \times k = i

，

k \times i = j

。平行的判定：

a \times b = 0 ⟺ a ∥ b

其中约定零向量与任何向量平行。主要用途：求同时垂直于两个已知向量的向量（平面的法向量、交线的方向向量），求面积，求点到直线的距离，判定三点共线。

证明 / 推导

坐标公式的来历。 用③中的分配律展开

(a_{x} i + a_{y} j + a_{z} k) \times (b_{x} i + b_{y} j + b_{z} k)

共得九项。其中形如

i \times i

的三项均为

0

；其余六项按基向量的乘法表（

i \times j = k = - j \times i

等）合并，恰好得到

(a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) i - (a_{x} b_{z} - a_{z} b_{x}) j + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) k

。可见行列式只是这一展开式的一种便于记忆的写法。

平行判定的证明。 当

a, b

均非零时，

∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ = 0 ⟺ sin θ = 0 ⟺ θ = 0

或

π

，即两向量共线；含零向量时结论显然成立。

■

举例说明

真题（1987 数一） 求与两直线

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = - 1 + t z = 2 + t

及

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}

都平行、且过原点的平面方程。

解. 两直线的方向向量分别为

s_{1} = (0, 1, 1)

与

s_{2} = (1, 2, 1)

。平面与两直线都平行

⟺

它的法向量

n

同时垂直于

s_{1}, s_{2}

；求这样的向量，可用向量积。于是

n = s_{1} \times s_{2} = i 01 j 12 k 11 = (1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) i - (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) j + (0 \cdot 2 - 1 \cdot 1) k = (- 1, 1, - 1) .

平面过原点，法向量为

(- 1, 1, - 1)

，故所求平面为

- x + y - z = 0

，即

x - y + z = 0

。

2. 数量积的两个等价定义：几何定义与坐标公式，后者由双线性展开得出★ 要懂

数量积有两个等价的定义：几何定义

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ

说明两向量方向接近的程度，坐标定义

a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}

便于计算。两者为什么相等？根本原因在于数量积是双线性的，即对每个变元都是线性的，并且满足交换律。把

a = a_{x} i + a_{y} j + a_{z} k

与

b = b_{x} i + b_{y} j + b_{z} k

逐项相乘，再利用标准正交基所满足的

i \cdot i = 1

与

i \cdot j = 0

，交叉项全部为零，只剩下三个乘积项之和。由此得到一条解题提示：凡遇到

∣ a + b ∣^{2}

、

∣ a - b ∣^{2}

这一类模的平方，一律展开为

∣ a ∣^{2} \pm 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}

，把几何问题化为数量积的代数运算。这也就是余弦定理的向量形式。

证明 / 推导

证下面证明坐标公式。设

a = \sum_{i} a_{i} e_{i}, b = \sum_{j} b_{j} e_{j}

，其中

e_{1}, e_{2}, e_{3} = i, j, k

。由双线性性，

a \cdot b = (i \sum a_{i} e_{i}) \cdot (j \sum b_{j} e_{j}) = i, j \sum a_{i} b_{j} (e_{i} \cdot e_{j}) .

而标准正交基满足

e_{i} \cdot e_{j} = δ_{ij}

，即当

i = j

时其值为

1

，否则为

0

，故只有

i = j

的项保留下来：

a \cdot b = i \sum a_{i} b_{i} = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z} . ■

3. 拉格朗日恒等式 $∣ a \times b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ ：叉积与点积之间的联系

这个恒等式由

sin^{2} + cos^{2} = 1

把面积（叉积的模）与投影（点积）联系起来，既可用来检验叉积的计算，也可在不便求夹角时用来求面积。由它还可以看出

(a \cdot b)^{2} \leq ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2}

，这就是柯西-施瓦茨不等式，因为左端等于右端减去非负的

∣ a \times b ∣^{2}

。可见叉积的模非负这一事实直接给出了柯西不等式，其中等号成立当且仅当

a \times b = 0

，即两向量平行。如果要求以两向量为邻边的三角形的面积，那么用

\frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}

往往比先求叉积再求模更为简便。

证明 / 推导

证由

∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ

与

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ

，且当

θ \in [0, π]

时

sin θ \geq 0

，得

∣ a \times b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} sin^{2} θ = ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} (1 - cos^{2} θ) = ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2} .

因

∣ a \times b ∣^{2} \geq 0

，即得

(a \cdot b)^{2} \leq ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2}

，其中等号成立

⟺ sin θ = 0 ⟺ a ∥ b

。

■

4. 混合积的行列式表示，由它可同时得出轮换不变、对换变号与共面判别法★ 要懂

混合积

[a b c] = (a \times b) \cdot c

等于三个向量的坐标排成的三阶行列式。有了这个表示，它的三条基本性质都可以由行列式的性质直接得出：轮换对称性，即

[a b c] = [b c a]

，对应于行列式循环换行时不变号（相当于交换两次行）；对换变号对应于交换两行时行列式变号；三向量共面 $⟺$ 混合积为零对应于三行线性相关

⟺

行列式为零。由轮换对称性还立即得到一个常用的等式

(a \times b) \cdot c = a \cdot (b \times c)

，即点乘与叉乘的位置可以互换。这是判定四点共面与求四面体体积的统一工具，四面体的体积

= \frac{1}{6} ∣ [a b c] ∣

。

证明 / 推导

证设

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

，其余类似。先证

[a b c] = det (a; b; c)

。事实上，

a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}),

(a \times b) \cdot c = c_{1} (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) + c_{2} (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) + c_{3} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}),

而这恰好是行列式

a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3}

按第三行的展开式。于是有：交换两行使行列式变号

\Rightarrow

对换两个向量时混合积变号；循环移动三行相当于作两次对换

\Rightarrow

轮换时不变号；三向量共面

⟺

三行线性相关

⟺

行列式为

0

。这就证明了所述的三条性质。

■

5. 叉积不满足结合律：二重向量积公式 $a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$

常有人误认为

(a \times b) \times c = a \times (b \times c)

，这是不对的。二重向量积公式（又称 BAC−CAB 公式）给出了正确的展开式：

a \times (b \times c)

必定落在

b, c

所张成的平面内，因为它垂直于

b \times c

，而其系数由点积确定。结合律为什么不成立：左边的

(a \times b) \times c

落在

a, b

所张成的平面内，右边的

a \times (b \times c)

落在

b, c

所张成的平面内，二者一般位于不同的平面，因此不相等。这个公式在场论中（例如求旋度的旋度）经常用到，在数一的综合题中也时有涉及。

证明 / 推导

证下面用坐标证明二重向量积公式。设

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

，

b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

，

c = (c_{1}, c_{2}, c_{3})

。由向量积的坐标公式，

b \times c = (b_{2} c_{3} - b_{3} c_{2}, b_{3} c_{1} - b_{1} c_{3}, b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) .

再算

a \times (b \times c)

的第一个分量。仍用坐标公式，它等于

a_{2} (b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) - a_{3} (b_{3} c_{1} - b_{1} c_{3}) = b_{1} (a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3}) - c_{1} (a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) .

在两个括号中各补一项

a_{1} c_{1}

与

a_{1} b_{1}

。它们所配的系数分别是

b_{1}

与

c_{1}

，因而补进去的两项都等于

a_{1} b_{1} c_{1}

，一正一负相互抵消，等式仍然成立。于是上式等于

b_{1} (a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3}) - c_{1} (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) = (a \cdot c) b_{1} - (a \cdot b) c_{1},

它就是

(a \cdot c) b - (a \cdot b) c

的第一个分量。向量积的坐标公式对下标的轮换

1 \to 2 \to 3 \to 1

保持不变，把上面的推导作同样的轮换，即得第二、第三个分量也相等。这就证明了

a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c .

由它还可以得出与之配对的一式。由

u \times v = - v \times u

，得

(a \times b) \times c = - c \times (a \times b) = - [(c \cdot b) a - (c \cdot a) b] = (a \cdot c) b - (b \cdot c) a .

两式相减，得

a \times (b \times c) - (a \times b) \times c = (b \cdot c) a - (a \cdot b) c .

由此可见，结合律成立的充分必要条件是

(b \cdot c) a = (a \cdot b) c

。例如当

b

同时垂直于

a

与

c

时，两端都是零向量，这时结合律成立。所以结合律并非在任何情形下都失效，只是一般不成立，因此不能不加检验地搬用。

■

举例说明

下面验证结合律不成立。取

a = b = i, c = j

。
先算右边：

b \times c = i \times j = k

，故

a \times (b \times c) = i \times k = - j

。用上述公式核对：

(a \cdot c) b - (a \cdot b) c = (i \cdot j) i - (i \cdot i) j = 0 \cdot i - 1 \cdot j = - j

，二者一致。
再算左边：

a \times b = i \times i = 0

，故

(a \times b) \times c = 0

。
因

- j \neq = 0

，可见结合律确实不成立。

💡 小知识

向量的叉乘只有在三维和七维空间里才有这样漂亮的定义。它脱胎于哈密顿的四元数：吉布斯与亥维赛德把点积和叉积从四元数中拆了出来，才有了今天物理与工程通用的向量分析。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设向量

a = (1, 2, 2), b = (3, - 4, 0)

。求：(1) 数量积

a \cdot b

；(2) 模

∣ a ∣, ∣ b ∣

；(3)

a

与

b

夹角的余弦。难度 1

(1) 数量积（对应坐标相乘再相加）：

a \cdot b = 1 \times 3 + 2 \times (- 4) + 2 \times 0 = 3 - 8 + 0 = - 5.

(2) 模：

∣ a ∣ = 1^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 9 = 3, ∣ b ∣ = 3^{2} + (- 4)^{2} + 0^{2} = 25 = 5.

(3) 夹角余弦（套公式

cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}

）：

cos θ = \frac{- 5}{3 \times 5} = - \frac{1}{3} .

余弦为负，说明夹角为钝角。

例 2 设向量

a = (2, 1, - 1), b = (1, - 1, 2)

。求：(1) 向量积

a \times b

；(2) 以

a, b

为邻边的平行四边形的面积。难度 1

(1) 向量积用行列式按第一行展开：

a \times b = i 21 j 1 - 1 k - 1 2 .

逐个分量：

i 分量 = 1 \times 2 - (- 1) \times (- 1) = 2 - 1 = 1,

j 分量 = - (2 \times 2 - (- 1) \times 1) = - (4 + 1) = - 5,

k 分量 = 2 \times (- 1) - 1 \times 1 = - 2 - 1 = - 3.

故

a \times b = (1, - 5, - 3)

。 (2) 面积等于向量积的模：

S = ∣ a \times b ∣ = 1^{2} + (- 5)^{2} + (- 3)^{2} = 1 + 25 + 9 = 35 .

例 3 设向量

a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 1), c = (1, 0, 1)

。求：(1) 混合积

[a b c]

；(2) 以

a, b, c

为棱的平行六面体的体积；(3) 判断三向量是否共面。难度 2

(1) 混合积等于三向量坐标排成的三阶行列式：

[a b c] = 101110011 .

按第一行展开：

= 1 \times 1011 - 1 \times 0111 + 0 = 1 \times (1 - 0) - 1 \times (0 - 1) = 1 + 1 = 2.

(2) 体积取混合积的绝对值：

V = [a b c] = ∣2∣ = 2.

(3) 因为

[a b c] = 2 \neq = 0

，故三向量不共面（体积不为零）。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

设向量

v_{1} = (0, x, z)

，

v_{2} = (y, 0, 1)

，令

F (x, y, z) = v_{1} \times v_{2}

，则

div F =

___.

2020 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

已知直线

l_{1} : \frac{x - a _{2}}{a _{1}} = \frac{y - b _{2}}{b _{1}} = \frac{z - c _{2}}{c _{1}}

与直线

l_{2} : \frac{x - a _{3}}{a _{2}} = \frac{y - b _{3}}{b _{2}} = \frac{z - c _{3}}{c _{2}}

相交于一点，记向量

α_{i} = a_{i} b_{i} c_{i}

，

i = 1, 2, 3

，则（　　）

A $α_{1}$ 可由 $α_{2}, α_{3}$ 线性表示.
B $α_{2}$ 可由 $α_{1}, α_{3}$ 线性表示.
C $α_{3}$ 可由 $α_{1}, α_{2}$ 线性表示.
D $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关.

1998 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 3 分

设矩阵

a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} c_{1} c_{2} c_{3}

是满秩的，则直线

\frac{x - a _{3}}{a _{1} - a _{2}} = \frac{y - b _{3}}{b _{1} - b _{2}} = \frac{z - c _{3}}{c _{1} - c _{2}}

与直线

\frac{x - a _{1}}{a _{2} - a _{3}} = \frac{y - b _{1}}{b _{2} - b _{3}} = \frac{z - c _{1}}{c _{2} - c _{3}}

（　　）

A相交于一点
B重合
C平行但不重合
D异面

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

a = (1, - 1, 2), b = (2, 1, - 1)

，则

a \cdot b =

A $- 1$
B $1$
C $3$
D $- 3$

练习 2 · 选择题

已知向量

a = (1, 2, λ)

与

b = (3, - 3, 1)

垂直，则

λ =

A $1$
B $2$
C $3$
D $- 3$

练习 3 · 填空题

设

∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 3

，

a

与

b

的夹角为

\frac{π}{3}

，则

a \cdot b =

____。

练习 4 · 填空题

设

a = (1, 0, 1), b = (2, 1, 0)

，则

∣ a \times b ∣ =

____。

练习 5 · 选择题

设

a = (1, 2, 3), b = (2, 3, 4), c = (3, 4, 5)

，则下列判断正确的是

A三向量共面（混合积为 $0$ ）
B三向量不共面，所张平行六面体体积为 $1$
C三向量不共面，所张平行六面体体积为 $2$
D三向量两两垂直

1995 年 · 数一 · 第 3 题 · 填空题 · 3 分

设

(a \times b) \cdot c = 2

，则

[(a + b) \times (b + c)] \cdot (c + a) =

___.

向量及其运算（数量积、向量积、混合积）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 向量积（叉积）的定义：模为 ∣a∣∣b∣sinθ、方向由右手定则确定、坐标用行列式表示★★ 必会

2. 数量积的两个等价定义：几何定义与坐标公式，后者由双线性展开得出★ 要懂

3. 拉格朗日恒等式 ∣a×b∣2=∣a∣2∣b∣2−(a⋅b)2：叉积与点积之间的联系

4. 混合积的行列式表示，由它可同时得出轮换不变、对换变号与共面判别法★ 要懂

5. 叉积不满足结合律：二重向量积公式 a×(b×c)=(a⋅c)b−(a⋅b)c

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 向量积（叉积）的定义：模为 $∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ 、方向由右手定则确定、坐标用行列式表示★★ 必会

3. 拉格朗日恒等式 $∣ a \times b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ ：叉积与点积之间的联系

5. 叉积不满足结合律：二重向量积公式 $a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$