常数项级数的概念与性质

§7.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.98 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

2.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）数列的极限③ 掌握后可解锁正项级数的判别法交错级数与绝对/条件收敛傅里叶级数

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 级数收敛的定义：部分和 $S_{n}$ 有极限 $S = n \to \infty lim S_{n}$ ，及线性、增删有限项两大基本性质★★ 必会

设级数

n = 1 \sum \infty u_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots

，记其部分和

S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = k = 1 \sum n u_{k}

。

① 收敛的定义：若部分和数列

{S_{n}}

的极限存在，即

n \to \infty lim S_{n} = S

，则称级数

\sum u_{n}

收敛，

S

叫做级数的和，记

n = 1 \sum \infty u_{n} = S

；若

lim S_{n}

不存在（含趋于

\infty

），称级数发散。级数问题本质上是数列极限问题，一切敛散性的判定与求和，最终都归结为对

{S_{n}}

的讨论。收敛时

r_{n} = S - S_{n} = u_{n + 1} + u_{n + 2} + \dots

称为余项，且

r_{n} \to 0

。

② 线性性质：若

\sum u_{n} = S, \sum v_{n} = T

都收敛，

α, β

为常数，则

\sum (α u_{n} + β v_{n})

收敛且和为

α S + β T

；特别地

k \neq = 0

时

\sum k u_{n}

与

\sum u_{n}

同敛散。推论：收敛 $+$ 发散 $=$ 发散；而发散 $+$ 发散的结果不确定，例如

\sum \frac{1}{n}

与

\sum (- \frac{1}{n})

逐项相加，所得的零级数是收敛的。

③ 增删（或改变）有限项不改变敛散性：去掉、添上或改动级数的有限多项，敛散性都不改变，但收敛时和一般会改变。因此判定敛散性只需考察级数的尾部，各判别法的条件只要从某一项起成立即可。

④ 收敛的必要条件：

\sum u_{n}

收敛

\Rightarrow u_{n} \to 0

。逆命题不成立，调和级数即为反例；它的证明以及加强形式（柯西准则）见后面的条目。它的逆否形式是

u_{n} \neq \to 0 \Rightarrow

级数必发散，这是解选择题时的常用手段。

证明 / 推导

证 ②. 记

A_{n} = k = 1 \sum n u_{k} \to S, B_{n} = k = 1 \sum n v_{k} \to T

。新级数的部分和是有限和，可以拆项重组：

W_{n} = k = 1 \sum n (α u_{k} + β v_{k}) = α A_{n} + β B_{n}

，由极限的四则运算法则得

W_{n} \to α S + β T

。

■

证 ③. 设改动只涉及前

N

项。当

n > N

时，新旧部分和恒相差一个固定常数

c

，它

=

前

N

项的改动所造成的差，即

\tilde{S}_{n} = S_{n} + c

。因此

{\tilde{S}_{n}}

与

{S_{n}}

同时收敛、同时发散，收敛时两者的和恰好相差

c

。

■

证（收敛 $+$ 发散 $=$ 发散）. 用反证法。设

\sum u_{n}

收敛、

\sum v_{n}

发散，而

\sum (u_{n} + v_{n})

收敛，那么由 ② 知

\sum v_{n} = \sum [(u_{n} + v_{n}) - u_{n}]

应当收敛，与假设矛盾。

举例说明

真题（1991 数一第 8 题，选择 3 分） 已知

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} a_{n} = 2

，

n = 1 \sum \infty a_{2 n - 1} = 5

，则

n = 1 \sum \infty a_{n} =

（　　）

(A)

3

.　(B)

7

.　(C)

8

.　(D)

9

.

解. 一切都回到部分和上来。记奇数项之和

A_{n} = a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1} \to 5

，偶数项之和

B_{n} = a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2 n}

。交错级数的偶下标部分和

T_{2 n} = a_{1} - a_{2} + \dots + a_{2 n - 1} - a_{2 n} = A_{n} - B_{n} \to 2

，故

B_{n} = A_{n} - T_{2 n} \to 5 - 2 = 3

。于是原级数的部分和

S_{2 n} = A_{n} + B_{n} \to 5 + 3 = 8

。又

S_{2 n + 1} = S_{2 n} + a_{2 n + 1}

，而

a_{2 n + 1} \to 0

，因为它是收敛级数

\sum a_{2 n - 1}

的通项，故

S_{2 n + 1} \to 8

。奇、偶两个子列同趋于

8

，所以

n = 1 \sum \infty a_{n} = 8

（选 C）。

易错之处：不能想当然地直接写出

\sum a_{n} = \sum a_{2 n - 1} + \sum a_{2 n}

了事。这样拆开重组是否合法，必须由部分和数列的极限运算（即本条 ② 中的推理）来保证；同时最后必须补查奇下标子列

S_{2 n + 1}

，仅有

S_{2 n}

收敛还不足以断言整个数列收敛。

2. 柯西收敛准则：级数收敛 $⟺$ 任意长的一段尾项之和都能任意小

收敛的必要条件

u_{n} \to 0

过于薄弱，调和级数就满足它而并不收敛。真正刻画收敛的充分必要条件是柯西准则：

\sum u_{n}

收敛

⟺

对任意

ε > 0

，存在

N

，使当

n > N

时，其中任意连续的一段都满足

∣ u_{n + 1} + u_{n + 2} + \dots + u_{n + p} ∣ < ε

（这里

p \geq 1

为任意正整数）。它把部分和数列是柯西列这一条件译成了级数的语言。用途有二：一是取

p = 1

即得必要条件

u_{n} \to 0

，可见必要条件只是它的一个特例，因而较弱；二是用来证明发散：只要能找出一段尾项之和不趋于零，就可以判定级数发散，这就是证明调和级数发散的依据。

证明 / 推导

证.

\sum u_{n}

收敛

⟺

部分和数列

{S_{n}}

收敛。由实数的完备性，

{S_{n}}

收敛

⟺

{S_{n}}

是柯西列，即

\forall ε > 0, \exists N, \forall m > n > N : ∣ S_{m} - S_{n} ∣ < ε

。取

m = n + p

，则

∣ S_{n + p} - S_{n} ∣ = ∣ u_{n + 1} + u_{n + 2} + \dots + u_{n + p} ∣ < ε .

这就是柯西准则。取

p = 1

便得

∣ u_{n + 1} ∣ < ε

，即

u_{n} \to 0

，可见必要条件不过是

p = 1

时的退化情形。

■

3. 调和级数发散的严格证明（奥雷姆分组放缩）： $u_{n} \to 0$ 并不蕴含收敛★ 要懂

调和级数

\sum \frac{1}{n}

的通项趋于

0

而级数却发散，它是说明必要条件并非充分条件的最重要的反例，必须会证。经典的证法是奥雷姆分组：把

\frac{1}{3} + \frac{1}{4}

、

\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}

等等按

2

的幂逐块分组，每一块都不小于

\frac{1}{2}

，而无穷多个

\frac{1}{2}

相加是发散的。用柯西准则来看更为直接：取尾段

u_{n + 1} + \dots + u_{2 n}

，它恒

\geq \frac{1}{2}

，不趋于零，违反柯西准则，故级数发散。这一 $\geq \frac{1}{2}$ 的放缩是级数比较与证明发散时的常用手法，必须掌握。

证明 / 推导

证. 考察从第

n + 1

项到第

2 n

项的这一段尾项，它共有

n

项，每项都

\geq \frac{1}{2 n}

，于是

\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n} \geq n 项 \frac{1}{2 n} + \dots + \frac{1}{2 n} = n \cdot \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} .

即

S_{2 n} - S_{n} \geq \frac{1}{2}

对一切

n

都成立。如果

{S_{n}}

收敛于

S

，那么

S_{2 n} - S_{n} \to S - S = 0

，与上式恒

\geq \frac{1}{2}

相矛盾。因此

{S_{n}}

发散，从而

\sum \frac{1}{n}

发散。

■

举例说明

用同样的方法可以判定

\sum \frac{1}{2 n - 1} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots

发散：它的尾段

\frac{1}{2 n + 1} + \dots + \frac{1}{4 n - 1}

共

n

项，每项都

\geq \frac{1}{4 n}

，故其和

\geq n \cdot \frac{1}{4 n} = \frac{1}{4} \neq \to 0

，违反柯西准则，因而发散。

4. 几何级数：用错位相减法求部分和，注意首项的下标★★ 必会

几何级数

\sum a q^{n}

是极少数能写出和的闭式表达的级数，也是比值判别法、根值判别法以及阿贝尔定理的原型。它的部分和可用错位相减法求出：

S_{n} - q S_{n} =

首项减去被错开的尾项。最常见的错误在于弄不清求和公式中的首项究竟是哪一项：

\sum_{n = 0}^{\infty} a q^{n} = \frac{a}{1 - q}

，但若从

n = 1

起求和，则

\sum_{n = 1}^{\infty} a q^{n} = \frac{a q}{1 - q}

，其分子是级数的第一项而不是

a

。稳妥的记法是

\frac{首项}{1 - 公比}

，其中

∣ q ∣ < 1

。

证明 / 推导

证. 设

S_{n} = a + a q + a q^{2} + \dots + a q^{n - 1}

，它共

n

项，且

q \neq = 1

。两边乘以

q

，得

q S_{n} = a q + a q^{2} + \dots + a q^{n}

。两式错位相减，得

S_{n} - q S_{n} = a - a q^{n} \Rightarrow S_{n} = a \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} .

当

∣ q ∣ < 1

时

q^{n} \to 0

，故

S_{n} \to \frac{a}{1 - q}

。当

∣ q ∣ > 1

时

q^{n}

无界而发散；当

q = 1

时

S_{n} = na \to \infty

；当

q = - 1

时

S_{n}

在

0, a

之间振荡。

■

举例说明

求

n = 1 \sum \infty \frac{3 ^{n - 1}}{4 ^{n + 1}}

。把通项改写为

\frac{3 ^{n - 1}}{4 ^{n + 1}} = \frac{1}{16} \cdot (\frac{3}{4})^{n - 1}

，可见它是首项

a = \frac{1}{16}

、公比

q = \frac{3}{4}

的几何级数，故其和

= \frac{1/16}{1 - 3/4} = \frac{1/16}{1/4} = \frac{1}{4}

。

5. 加括号定理：收敛级数任意加括号仍收敛且和不变，但反过来不成立★ 要懂

加括号相当于对部分和数列

{S_{n}}

抽取一个子列

{S_{n_{k}}}

，每个括号的末尾对应一个部分和。如果原级数收敛，那么

{S_{n}}

有极限，它的任何子列都以同一个数为极限，所以加括号以后仍然收敛，且和不变。这就是收敛级数可以任意加括号的道理。但反方向的结论不成立：由加括号后收敛（即子列收敛）推不出原数列收敛，因为发散数列也可能有收敛的子列。典型的反例是

1 - 1 + 1 - 1 + \dots

：加括号成

(1 - 1) + (1 - 1) + \dots = 0

是收敛的，但原级数的部分和在

0, 1

之间振荡而发散。由此可知：证明收敛不能依靠加括号；但若加括号后的级数发散，则原级数必发散，这是上述结论的逆否形式。

证明 / 推导

证. 设

\sum u_{n}

收敛，

S_{n} \to S

。加括号后所得级数的部分和为

T_{k} = S_{n_{k}}

，其中

n_{1} < n_{2} < \dots

是各括号末项的下标。由于

{S_{n_{k}}}

是收敛数列

{S_{n}}

的子列，故

T_{k} = S_{n_{k}} \to S

，即加括号后的级数收敛于同一个

S

。

■

下面说明反方向不成立。取

u_{n} = (- 1)^{n - 1}

，则

S_{n} = {1, 0, n 奇 n 偶

发散；但按

(u_{1} + u_{2}) + (u_{3} + u_{4}) + \dots

加括号后，每个括号都为

0

，

T_{k} = S_{2 k} = 0 \to 0

收敛。这里子列收敛而原数列发散，可见由加括号后收敛不能反推原级数收敛。

💡 小知识

调和级数发散得极其缓慢：要让它的和超过

100

，大约需要

1 0^{43}

项，把宇宙的年龄换算成秒都不够一项项加完，可它终究会发散到无穷。早在十四世纪，奥雷姆就用一套巧妙的分组放缩证明了这一点。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求下列几何级数的和：(1)

n = 1 \sum \infty \frac{1}{3 ^{n}}

；(2)

n = 0 \sum \infty (\frac{2}{5})^{n}

。难度 1

几何级数

\sum a q^{n}

当

∣ q ∣ < 1

时收敛，和为

\frac{首项}{1 - q}

。 (1) 首项

\frac{1}{3}

（

n

从

1

起），公比

q = \frac{1}{3}

：

n = 1 \sum \infty \frac{1}{3 ^{n}} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2} .

(2) 首项

1

（

n

从

0

起），公比

q = \frac{2}{5}

：

n = 0 \sum \infty (\frac{2}{5})^{n} = \frac{1}{1 - 2/5} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3} .

例 2 用裂项（望远镜求和）求级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )}

的和。难度 1

先裂项：

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

。写出部分和

S_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} .

中间项全部抵消。令

n \to \infty

：

S = n \to \infty lim (1 - \frac{1}{n + 1}) = 1.

故级数收敛，和为

1

。

例 3 判断下列级数的敛散性：(1)

n = 1 \sum \infty \frac{n}{3 n + 1}

；(2)

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{n})

。难度 2

(1) 先查收敛的必要条件（通项是否趋于

0

）：

n \to \infty lim \frac{n}{3 n + 1} = \frac{1}{3} \neq = 0.

通项不趋于

0

，故级数发散。 (2) 用级数的线性性质分析：

\sum \frac{1}{2 ^{n}}

是公比

\frac{1}{2}

的几何级数，收敛；

\sum \frac{1}{n}

是调和级数，发散。「收敛

+

发散

=

发散」，故原级数发散。提示：若两个级数都发散，其和不一定发散，须具体分析；但收敛与发散之和一定发散。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

幂级数

n = 1 \sum \infty [\frac{3 + ( - 1 ) ^{n}}{4}]^{n} x^{2 n}

的收敛域为（　　）

A $[- 2, 2]$
B $[- 1, 1]$
C $(- 2, 2)$
D $(- 1, 1)$

2023 年 · 数一 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

已知

a_{n} < b_{n} (n = 1, 2, \dots)

。若级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

与

n = 1 \sum \infty b_{n}

均收敛，则"

n = 1 \sum \infty a_{n}

绝对收敛"是"

n = 1 \sum \infty b_{n}

绝对收敛"的（　　）

A充分必要条件.
B充分不必要条件.
C必要不充分条件.
D既不充分也不必要条件.

2021 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设

u_{n} (x) = e^{- n x} + \frac{x ^{n + 1}}{n ( n + 1 )} (n = 1, 2, \dots)

，求级数

n = 1 \sum \infty u_{n} (x)

的收敛域及和函数.

2020 年 · 数一 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

设

R

为幂级数

n = 1 \sum \infty a_{n} x^{n}

的收敛半径，

r

是实数，则（　　）

A当 $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时， $∣ r ∣ \geq R$ .
B当 $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛时， $∣ r ∣ \leq R$ .
C当 $∣ r ∣ \geq R$ 时， $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 发散.
D当 $∣ r ∣ \leq R$ 时， $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

几何级数

n = 1 \sum \infty (\frac{2}{3})^{n}

的和为

A $2$
B $3$
C $\frac{3}{2}$
D $\frac{2}{3}$

练习 2 · 选择题

下列级数中发散的是

A $n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{n}}$
B $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}}$
C $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}$
D $n = 1 \sum \infty \frac{1}{3 ^{n}}$

练习 3 · 填空题

级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}

的和为 ____。

练习 4 · 选择题

设级数

\sum u_{n}

收敛，

\sum v_{n}

发散，则级数

\sum (u_{n} + v_{n})

A必收敛
B必发散
C可能收敛也可能发散
D和一定为 $0$

练习 5 · 填空题

级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 2 )}

的和为 ____。

练习 6 · 选择题

设

n = 1 \sum \infty u_{n}

为常数项级数，则下列命题中正确的是（　）。

A若 $n \to \infty lim u_{n} = 0$ ，则 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛
B若 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛
C若 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$ 收敛
D若 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 发散，则 $n \to \infty lim u_{n} \neq = 0$

练习 7 · 填空题

级数

n = 1 \sum \infty ln (1 - \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}})

的和为 ____。

练习 8 · 解答题

已知级数

n = 1 \sum \infty \frac{n}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )} .

(1) 说明该级数收敛；

(2) 求出部分和

S_{n}

的表达式，并求该级数的和。

2019 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

设

{u_{n}}

是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（　　）

A $n = 1 \sum \infty \frac{u _{n}}{n}$ .
B $n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{1}{u _{n}}$ .
C $n = 1 \sum \infty (1 - \frac{u _{n}}{u _{n + 1}})$ .
D $n = 1 \sum \infty (u_{n + 1}^{2} - u_{n}^{2})$ .

2006 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 4 分

若级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

收敛，则级数（　　）

A $n = 1 \sum \infty ∣ a_{n} ∣$ 收敛.
B $n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} a_{n}$ 收敛.
C $n = 1 \sum \infty a_{n} a_{n + 1}$ 收敛.
D $n = 1 \sum \infty \frac{a _{n} + a _{n + 1}}{2}$ 收敛.

常数项级数的概念与性质

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 级数收敛的定义：部分和 Sn​ 有极限 S=n→∞lim​Sn​，及线性、增删有限项两大基本性质★★ 必会

2. 柯西收敛准则：级数收敛 ⟺ 任意长的一段尾项之和都能任意小

3. 调和级数发散的严格证明（奥雷姆分组放缩）：un​→0 并不蕴含收敛★ 要懂

4. 几何级数：用错位相减法求部分和，注意首项的下标★★ 必会

5. 加括号定理：收敛级数任意加括号仍收敛且和不变，但反过来不成立★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 级数收敛的定义：部分和 $S_{n}$ 有极限 $S = n \to \infty lim S_{n}$ ，及线性、增删有限项两大基本性质★★ 必会

2. 柯西收敛准则：级数收敛 $⟺$ 任意长的一段尾项之和都能任意小

3. 调和级数发散的严格证明（奥雷姆分组放缩）： $u_{n} \to 0$ 并不蕴含收敛★ 要懂