傅里叶级数

课本与本页其余各条多限于周期 $2\pi$、区间 $[-\pi ,\pi ]$ 或 $[0,\pi ]$ 的情形，系数中出现的是 $\cos nx,\sin nx$。但真题中 $f$ 的周期常为 $2$（即 $l=1$），属于一般周期 $2l$ 的情形。这时整个三角函数系换成 $\cos \frac{n\pi x}{l},\sin \frac{n\pi x}{l}$，公式的形式不变，只是把 $nx$ 中的因子 $1$ 换成 $\frac{\pi }{l}$。
① 周期 $2l$ 的系数公式（$[-l,l]$ 上）：设 $f$ 以 $2l$ 为周期，则
$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}),$$
$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx(n\ge 0)\\ b_n& =\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx(n\ge 1).\end{array}$$
把 $l=\pi$ 代回，就还原成课本中的 $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\cos nxdx$。可见上式是更一般的公式，周期为 $2\pi$ 的情形只是 $l=\pi$ 的特例。必须注意，这里的归一化因子是 $\frac{1}{l}$ 而不是 $\frac{1}{\pi }$，这是第一个容易出错的地方。
② 半区间 $[0,l]$ 上的正弦级数与余弦级数：当 $f$ 只定义在 $[0,l]$ 上时，靠延拓的方式决定级数的类型（与本页半区间展开一条相同，只是此处的 $l$ 是一般的）。奇延拓 $\Rightarrow$ 正弦级数（此时 $a_n=0$）：
$$b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx;$$
偶延拓 $\Rightarrow$ 余弦级数（此时 $b_n=0$）：
$$a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx.$$
半区间的公式只在 $[0,l]$ 上积分，而系数多出一个因子 $2$（用 $\frac{2}{l}$ 而不是 $\frac{1}{l}$）。这是因为奇延拓或偶延拓后的被积函数在 $[-l,l]$ 上是偶函数，积分值恰好加倍。
③ 收敛值应按以 $2l$ 为周期延拓后由狄利克雷定理判定：和函数 $S(x)$ 以 $2l$ 为周期，其中正弦级数的和函数为奇函数，余弦级数的和函数为偶函数。求 $S(x_0)$ 分两步：先利用周期性，把 $x_0$ 减去 $2l$ 的整数倍，移入主区间（对正弦级数还要利用奇性变号）；再判定该点的类型：若为连续点，则 $S(x_0)=f(x_0)$；若为第一类间断点，则 $S(x_0)=\frac{f(x_0^{-})+f(x_0^{+})}{2}$，延拓后的端点 $\pm l$ 与分段的接缝处都属于这种情形。最容易出错的地方就是忽略了延拓这一步：把 $x_0$ 直接代入原式，或者在跳跃点只取单侧的值，都会得出错误的结果。

系数公式 $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\cos nxdx$ 之所以成立，依据是三角函数系 $\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots \}$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上两两正交，即其中任意两个不同函数之积的积分为 $0$。下面把几个关键的积分逐一算出。所用的方法是积化和差：先把两个三角函数之积化为和，再逐项积分，并利用 ${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kxdx=0$（其中 $k$ 为非零整数）。算完之后就能明白系数公式中的 $\frac{1}{\pi }$ 从何而来：它是函数自乘的积分值 $=\pi$ 的倒数，起归一化的作用。

在分段单调、只有有限个第一类间断点的条件下，傅里叶级数处处收敛，但收敛到的值在间断点处会发生变化：在连续点收敛到 $f(x)$ 本身，在间断点收敛到 $\frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2}$。把 $f$ 作周期延拓后，区间端点 $x=\pm \pi$ 常常成为间断点，此处收敛到 $\frac{f(-{\pi }^{+})+f({\pi }^{-})}{2}$。这是傅里叶级数一章中最重要的考点：若题目问傅里叶级数在某点之和，则不能简单地代入 $f$，而应按上述规则先判定该点是连续点还是间断点。反过来，若在展开式中代入选得适当的点，还可以求出一些著名数项级数的和。

只定义在 $[0,\pi ]$（或 $[0,l]$）上的函数本身谈不上奇偶性，但可以人为地延拓到 $[-\pi ,\pi ]$ 上再作展开，而延拓的方式决定了级数的类型：奇延拓 $\Rightarrow$ 展开式中只含正弦项（正弦级数，此时 $a_n=0$）；偶延拓 $\Rightarrow$ 展开式中只含余弦项（余弦级数，此时 $b_n=0$）。可见展成正弦级数还是余弦级数，并不是 $f$ 本身的属性，而取决于所选取的延拓方式。有了这一自由度，偏微分方程的分离变量法就能按边界条件选取相应的级数。系数只需在半区间上积分：$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f\sin nxdx$（正弦级数）或 $a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f\cos nxdx$（余弦级数）。还须注意，延拓后原点或端点可能成为间断点，其和仍由狄利克雷定理确定。