正项级数的判别法

高等数学 · 无穷级数

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 正项级数的根基：部分和只会往上走

各项都非负（

a_{n} \geq 0

）的级数叫正项级数。它有一个别的级数没有的好处：

S_{n + 1} = S_{n} + a_{n + 1} \geq S_{n},

部分和单调不减。

由单调有界定理，单调数列只有两种命运：有上界就收敛，没上界就趋于

+ \infty

。
不会振荡。 于是

正项级数收敛 ⟺ {S_{n}} 有上界 .

这一条是本节所有判别法的根基：比较判别法就是「用一个已知收敛的去压住它」，
压住了就有上界，就收敛。

2. 比较判别法：挑一把尺子去比

设

0 \leq a_{n} \leq b_{n}

（当

n

充分大时即可）：

大的收敛 $\Rightarrow$ 小的收敛；小的发散 $\Rightarrow$ 大的发散。

实际做题用极限形式更省事。设

a_{n}, b_{n} > 0

，

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = l .

0 < l < + \infty

时两者同敛散（最常用的一行）；

l = 0

时「

b

收敛

\Rightarrow

a

收敛」；

l = + \infty

时「

b

发散

\Rightarrow

a

发散」。

尺子只有两把：

p

-级数与等比级数。挑哪一把？
看通项在

n \to \infty

时的主要部分——分式就分子分母各取最高次。

3. 比值与根值：专治阶乘与 $n$ 次幂

比值判别法：

n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = ρ

，

ρ < 1 ρ > 1 ρ = 1 收敛 发散 失效

根值判别法：

n \to \infty lim n a_{n} = ρ

，同一张表。

什么时候用：通项里有

n!

、

a^{n}

、

n^{n}

——
一相除（或开

n

次方）就能约掉一大片。

什么时候别用：纯分式（如

\frac{1}{n ^{p}}

）。
那时

ρ

必然是

1

，判别法失效，白忙一场。

4. 认题流程，以及 $ln n$ 那一类

拿到一个正项级数，按这个顺序走：

① 通项趋于零吗？ 不趋于零，直接发散。

② 是不是那两把尺子本身？ 是就直接查表。

③ 纯分式？ 抓主要部分，用极限比较判别法。

④ 含 $n!$ 、 $a^{n}$ 、 $n^{n}$ ？ 用比值或根值。

⑤ 含 $ln n$ ？ 比较判别法常常比不出来，改用积分判别法。

积分判别法：

f

非负递减时，

\sum f (n)

与

\int_{1}^{+ \infty} f (x) d x

同敛散。

p

-级数的那条分界线就是这么来的。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

极限比较判别法：抓主要部分

第一步：把通项的主要部分找出来（分式就分子分母各取最高次）。

第二步：由主要部分定尺子——分母次数减分子次数就是

p

。

第三步：算

lim \frac{a _{n}}{b _{n}}

，落在

(0, + \infty)

内就同敛散。

第四步：查尺子的敛散性（

p > 1

收敛），写结论。

例例. 判断

n = 1 \sum \infty \frac{2 n + 1}{n ^{3} + n}

。

第一步，抓主要部分：分子最高次是

n

，分母最高次是

n^{3}

。

第二步，定尺子：

p = 3 - 1 = 2

，取

b_{n} = \frac{1}{n ^{2}}

。

第三步，

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = n \to \infty lim \frac{( 2 n + 1 ) n ^{2}}{n ^{3} + n} = 2 \in (0, + \infty),

落在开区间内，两者同敛散。

第四步，

p = 2 > 1

，

\sum \frac{1}{n ^{2}}

收敛，故原级数收敛。

尺子选错是这一条唯一会翻车的地方：

p

是分母次数减分子次数，这里是

3 - 1 = 2

，不是

3

。

比值／根值判别法

第一步：先看通项有没有

n!

、

a^{n}

、

n^{n}

——没有就别用。

第二步：写出

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

（或

n a_{n}

），大胆约分。

第三步：求极限

ρ

，查表：

< 1

收敛、

> 1

发散。

第四步：

ρ = 1

时立刻换方法，别在这里耗时间。

例例.

n = 1 \sum \infty \frac{n !}{n ^{n}}

与

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}}

各该用什么？

第一步，第一个含

n!

和

n^{n}

\Rightarrow

比值判别法正对口；第二个只有幂，别用——比值一定是

1

。

第二步，大胆约分：

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \cdot \frac{n ^{n}}{n !} = (\frac{n}{n + 1})^{n} .

第三步，它等于

(1 + \frac{1}{n})^{- n} \to e^{- 1} < 1

，故收敛。

第四步，第二个：

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = (\frac{n}{n + 1})^{2} \to 1

，

ρ = 1

——立刻换方法（

p = 2 > 1

，收敛）。

在

ρ = 1

上耗时间是纯浪费：

\sum \frac{1}{n}

与

\sum \frac{1}{n ^{2}}

的

ρ

都是

1

，一个发散一个收敛。

积分判别法

第一步：确认

f (x)

在某个

[N, + \infty)

上非负且递减（这是前提）。

第二步：算反常积分

\int_{N}^{+ \infty} f (x) d x

。

第三步：积分收敛则级数收敛，积分发散则级数发散。

第四步：适用的信号是通项里含

ln n

，或者原函数好写。

例例. 判断

n = 2 \sum \infty \frac{1}{n ln n}

。

第一步，取

f (x) = \frac{1}{x ln x}

：在

[2, + \infty)

上非负 ✓ 递减 ✓（分母递增）。前提要先验。

第二步，算反常积分：

\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x ln x} = ln (ln x)_{2}^{+ \infty} = + \infty.

第三步，积分发散

\Rightarrow

级数发散。

第四步，信号就是那个

ln n

：比值判别法在这里

ρ = 1

（白跑一趟），比较判别法也找不到尺子——它比

\frac{1}{n}

小、又比任何

\frac{1}{n ^{1 + ε}}

大。只有积分判别法能定。

顺带：

\sum \frac{1}{n ( ln n ) ^{2}}

用同一招，原函数是

- \frac{1}{ln x}

，积分收敛，所以级数收敛。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

比较判别法的方向用反

能推的只有两条：大的收敛 $\Rightarrow$ 小的收敛、小的发散 $\Rightarrow$ 大的发散。

「比一个发散的小」和「比一个收敛的大」都推不出任何结论。

\frac{1}{n ln n} < \frac{1}{n}

而后者发散——这正是比较判别法失灵的典型。

对纯分式硬用比值判别法

ρ

必然等于

1

，判别法失效。

症状：算了半天得到

ρ = 1

，然后卡住。

看到通项只有 $n$ 的幂次，直接走比较判别法。

忘了验「正项」这个前提

本节所有判别法都要求

a_{n} \geq 0

（至少从某项起）。

通项带

(- 1)^{n}

时不能直接用，要么先取绝对值（判绝对收敛），
要么用下一节的莱布尼茨判别法。

解答题里写一句「这是正项级数」是一分。

积分判别法不检查单调性

定理要求

f

非负且递减，否则「矩形面积与曲线下面积互相夹」的论证不成立。

f (x) = \frac{1}{x ln x}

在

x \geq 2

上才递减，所以求和与积分都从

2

起。

下限选在单调开始的地方，前面有限项不影响敛散性。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认判别法

练 1

正项级数收敛的充要条件是（）。

A通项趋于零
B通项单调递减
C部分和数列有上界
D和小于 $1$

练 2

用极限比较判别法判断

\sum \frac{1}{n ^{2} + n}

时，最合适的尺子是 ________。

练 3

比值判别法中，

ρ < 1

时级数 ________。

练 4

比值判别法算出

ρ = 1

时，应当（）。

A判定收敛
B判定发散
C判定振荡
D换别的判别法

第二组 · 挑尺子

练 5

\sum \frac{1}{n ^{2} + n}

的敛散性是 ________。

练 6

\sum \frac{2 n + 1}{n ^{2} + 3}

的敛散性是 ________。

练 7

判断

\sum \frac{n !}{n ^{n}}

最合适的方法是（）。

A极限比较判别法
B比值判别法
C积分判别法
D莱布尼茨判别法

练 8

通项

\frac{2 n + 1}{n ^{2} + 3}

的「主要部分」是 ________。

第三组 · 综合

练 9

对

p

-级数

\sum \frac{1}{n ^{p}}

使用比值判别法，算出的

ρ =

（）。

A $0$
B $1$
C $p$
D $\frac{1}{p}$

练 10

n = 2 \sum \infty \frac{1}{n ln n}

的敛散性是 ________。

练 11

\sum \frac{2 ^{n}}{n !}

的敛散性是 ________。

练 12

下列级数中最适合用极限比较判别法的是（）。

A $\sum \frac{3 n ^{2} + 1}{n ^{4} + n}$
B $\sum \frac{n !}{n ^{n}}$
C $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$
D $\sum \frac{1}{2 ^{n}}$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

正项级数的判别法

先打基础

1. 正项级数的根基：部分和只会往上走

2. 比较判别法：挑一把尺子去比

3. 比值与根值：专治阶乘与 n 次幂

4. 认题流程，以及 lnn 那一类

常用结构

极限比较判别法：抓主要部分

比值／根值判别法

积分判别法

基础易错

比较判别法的方向用反

对纯分式硬用比值判别法

忘了验「正项」这个前提

积分判别法不检查单调性

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

3. 比值与根值：专治阶乘与 $n$ 次幂

4. 认题流程，以及 $ln n$ 那一类