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交错级数与绝对/条件收敛

高等数学 · 无穷级数

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 莱布尼茨判别法：单调下降，而且趋于零

正负号交替出现的级数叫交错级数：

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} u_{n}, u_{n} > 0.

莱布尼茨判别法. 若同时满足

① $u_{n}$ 单调不增（

u_{n + 1} \leq u_{n}

）；② $u_{n} \to 0$ ，

则级数收敛，并且用前

n

项作近似时，误差有现成的估计：

∣ r_{n} ∣ \leq u_{n + 1} .

两个条件缺一不可。 只有

u_{n} \to 0

是不够的——
去掉单调性可以造出通项趋于零而级数发散的交错级数。

这是本章唯一一个不要求正项的判别法，所以它的位置很特别。

2. 绝对收敛与条件收敛

对一般的（可正可负的）级数

\sum a_{n}

，先看它的绝对值级数：

$\sum ∣ a_{n} ∣$ 收敛

\to

称

\sum a_{n}

绝对收敛；

$\sum a_{n}$ 收敛但 $\sum ∣ a_{n} ∣$ 发散

\to

称条件收敛。

定理：绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛。 所以绝对值级数一旦收敛，原级数的收敛性就有了，
不必再管正负号。

反过来不成立：

\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

收敛，
而

\sum \frac{1}{n}

发散——它只是条件收敛。

3. 两者差在哪儿：条件收敛是靠抵消维持的

表面上看，绝对收敛与条件收敛都是「收敛」，差别却很大。

绝对收敛的级数可以任意重排，和不变——它表现得像一个有限和。

条件收敛的级数重排之后，可以收敛到任何指定的数，甚至发散
（黎曼重排定理）。

原因在于：条件收敛的正项部分与负项部分各自都发散，
收敛完全靠正负相互抵消维持。重排就是改变抵消的节奏，于是和可以被「调」到任何地方。

这不是冷知识。 后面幂级数在收敛区间内部是绝对收敛的，
正因如此才允许逐项求导、逐项积分——那些操作本质上都是在重排。

4. 完整的判断流程

拿到一个任意项级数，按这四步走，不会乱：

① 取绝对值，用上一节的正项判别法判断

\sum ∣ a_{n} ∣

。

② 收敛

\Rightarrow

原级数绝对收敛，结束。

③ 发散，就回头看原级数：是不是交错级数？

u_{n}

单调吗？趋于零吗？

④ 莱布尼茨成立

\Rightarrow

条件收敛；不成立时多半是发散
（尤其当通项根本不趋于零——那一眼就能判）。

第③步有个常见的岔路：绝对值级数发散，是用比值或根值判出来的（

ρ > 1

），
这时通项不趋于零，原级数直接发散，不必再试莱布尼茨。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

任意项级数的判断流程

第一步：看通项是否趋于零；不趋于零，直接写发散。

第二步：取绝对值，用正项级数的判别法判断。

第三步：绝对值级数收敛

\Rightarrow

绝对收敛，写结论收工。

第四步：发散则回到原级数，用莱布尼茨判别法；成立就是条件收敛。

例例. 判断

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

是绝对收敛、条件收敛还是发散。

第一步，

\frac{1}{n} \to 0

，否不掉。

第二步，取绝对值：

\sum \frac{1}{n}

是

p = \frac{1}{2} \leq 1

的

p

-级数，发散。

第三步，所以不是绝对收敛。

第四步，回原级数用莱布尼茨：

u_{n} = \frac{1}{n}

单调减 ✓ 趋于

0

✓ 故原级数收敛。

结论：条件收敛。

对照：

\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}

在第二步就过了（

p = 2 > 1

），直接答「绝对收敛」，第四步根本不用走。

用莱布尼茨判别法

第一步：把级数写成

\sum (- 1)^{n - 1} u_{n}

的样子，读出

u_{n} > 0

。

第二步：验单调——比较

u_{n + 1}

与

u_{n}

，或对

u (x)

求导看符号。

第三步：验

u_{n} \to 0

。

第四步：两条都过才能写收敛；要估计误差就用

∣ r_{n} ∣ \leq u_{n + 1}

。

例例. 判断

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} \frac{n}{n ^{2} + 1}

是否收敛，并估计用前

3

项近似的误差。

第一步，写成

\sum (- 1)^{n - 1} u_{n}

，

u_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1} > 0

✓

第二步，验单调。取

u (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}

，

u^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} < 0 (x > 1),

而

u_{1} = \frac{1}{2} > u_{2} = \frac{2}{5}

，所以从

n = 1

起就单调递减 ✓

第三步，

u_{n} \to 0

✓

第四步，两条都过，级数收敛；误差

∣ r_{3} ∣ \leq u_{4} = \frac{4}{17} \approx 0.235

。

「验单调」最常被跳过——可

u_{n} \to 0

的交错级数未必收敛，单调是莱布尼茨不可少的另一半。

区分绝对与条件收敛

第一步：先判

\sum ∣ a_{n} ∣

——这一步决定是不是「绝对」。

第二步：

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛，答「绝对收敛」。

第三步：

\sum ∣ a_{n} ∣

发散而原级数收敛，答「条件收敛」。

第四步：两个都发散，答「发散」。三种结论要答得明确，不能只写「收敛」。

例例. 三道题，三种结论。

①

\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}

：

\sum \frac{1}{n ^{2}}

收敛

\Rightarrow

绝对收敛。

②

\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

：

\sum \frac{1}{n}

发散，而莱布尼茨给出原级数收敛

\Rightarrow

条件收敛。

③

\sum (- 1)^{n - 1} \frac{n}{n + 1}

：通项不趋于零

\Rightarrow

发散。

第四步，三种结论要答得明确。只写「收敛」在 ① ② 上都不算全对——后面求幂级数的收敛域、讨论能不能重排求和时，绝对与条件是两件完全不同的事。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

用莱布尼茨时只验趋于零，不验单调

两个条件缺一不可。

u_{n} \to 0

但不单调时，级数可以发散。

单调性有时要动手证：对

u (x)

求导看符号，或比较

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

与

1

。

解答题里这两句都要写出来，少一句扣一句的分。

由「绝对值级数发散」直接断定原级数发散

\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

就是反例：绝对值发散，原级数却收敛。

只有当通项不趋于零（比如比值判别法给出

ρ > 1

）时，才能直接判发散。

用比较判别法判出的发散不能这样用。

答案只写「收敛」

题目问「绝对收敛还是条件收敛」时，只答「收敛」是不完整的。

两者支持的后续操作完全不同——这正是题目要考的东西。

三种结论：绝对收敛、条件收敛、发散，答哪一个要写明白。

把条件收敛的级数当成有限和来重排

条件收敛的级数重排后，和可以变成任何数。

所以不能随便交换次序、分组、与别的级数逐项相乘。

只有绝对收敛才有这些权利——幂级数能逐项求导积分，靠的正是它在内部绝对收敛。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认两个概念

练 1

莱布尼茨判别法的两个条件：

u_{n}

单调不增，以及 ________。

练 2

级数

\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

（）。

A绝对收敛
B条件收敛
C发散
D部分和振荡无界

练 3

若

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛，则称

\sum a_{n}

________ 收敛。

练 4

绝对收敛与收敛的关系是（）。

A绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛
B收敛 $\Rightarrow$ 绝对收敛
C两者等价
D两者无关

第二组 · 判两类

练 5

\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}

是 ________ 收敛。

练 6

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

是 ________ 收敛。

练 7

判断任意项级数敛散性，取绝对值这一步的理由是（）。

A莱布尼茨判别法更简单
B可以看出通项的正负
C正项级数的判别法最多、最好用，而且绝对收敛更强
D可以加括号

练 8

用

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

的前

n

项作近似，误差不超过 ________。

第三组 · 性质与陷阱

练 9

莱布尼茨判别法中「

u_{n}

单调不增」这个条件（）。

A可以省略
B不能省略
C只在 $u_{n} \to 0$ 时才需要
D只对正项级数才需要

练 10

条件收敛的级数重排各项的次序后，它的和 ________（填「可能改变」或「一定不变」）。

练 11

\sum (- 1)^{n} \frac{n}{n + 1}

的敛散性是 ________。

练 12

下列级数中绝对收敛的是（）。

A $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$
B $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$
C $\sum (- 1)^{n}$
D $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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