幂级数及其收敛域

高等数学 · 无穷级数

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 幂级数与阿贝尔定理：收敛的点必成区间

形如

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} 或 n = 0 \sum \infty a_{n} (x - x_{0})^{n}

的级数叫幂级数。它对每个固定的

x

都是一个常数项级数——
所以「它收不收敛」要看

x

取多少。

阿贝尔定理. 若幂级数在某点

x_{1} \neq = 0

处收敛，则对一切

∣ x ∣ < ∣ x_{1} ∣

它绝对收敛；
若在某点

x_{2}

处发散，则对一切

∣ x ∣ > ∣ x_{2} ∣

它发散。

这条定理有「传染性」：收敛性往内传，发散性往外传。于是必存在一个数

R \geq 0

：

∣ x ∣ < R 绝对收敛, ∣ x ∣ > R 发散,

R

叫收敛半径。

∣ x ∣ = R

这两点，定理什么也没说。

2. 求收敛半径：只看系数

设

a_{n}

是系数（不含

x

），则

R = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}},

或者用根值：

R = \frac{1}{n \to \infty lim n ∣ a _{n} ∣} .

两个极端也要会读：

极限是

+ \infty

\Rightarrow

R = + \infty

，整条实轴上都收敛；

极限是

0

\Rightarrow

R = 0

，只在中心一点收敛。

公式里没有 $x$ ——这是最容易搞混的地方：

R

是级数自身的属性，
和你取哪个

x

无关。

3. 收敛域 $=$ 开区间 $+$ 两个端点单独判

求出

R

之后，收敛域的主体是

(- R, R)

，里面绝对收敛。

剩下的工作只有一件：把 $x = R$ 与 $x = - R$ 分别代进去，
各得到一个常数项级数，用前两节的办法判断。

于是收敛域有四种可能的样子：

(- R, R), [- R, R), (- R, R], [- R, R] .

两个端点的结论可以完全不同，下面的例子就是。

这一步是本节失分最多的地方：很多人求出

R

就收工，答案少了端点。

4. 两种变形：中心不在原点、缺项

① 中心在 $x_{0}$ . 对

\sum a_{n} (x - x_{0})^{n}

，
照旧用系数求出

R

，收敛区间是

(x_{0} - R, x_{0} + R),

端点

x_{0} \pm R

仍要分别代入判断。别忘了把区间平移回去。

② 缺项幂级数（如

\sum \frac{x ^{2 n}}{n}

）：
一半的系数是

0

，比值

\frac{a _{n}}{a _{n + 1}}

一会儿是

0

、一会儿没意义，
公式法用不了。

两个办法：令

t = x^{2}

当成关于

t

的幂级数做完再换回去；
或者直接把含

x

的通项丢给比值判别法，解

ρ (x) < 1

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求收敛域的四步

第一步：认出系数

a_{n}

（不含

x

），用比值或根值求出

R

。

第二步：写出收敛区间——中心在

x_{0}

时是

(x_{0} - R, x_{0} + R)

。

第三步：把两个端点分别代入，得到常数项级数，用前两节的判别法判断。

第四步：把端点的结论并进区间，写出完整的收敛域。

例例. 求

n = 1 \sum \infty \frac{( x - 1 ) ^{n}}{n \cdot 2 ^{n}}

的收敛域。

第一步，系数

a_{n} = \frac{1}{n 2 ^{n}}

（不含 $x$ ）：

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n 2 ^{n}}{( n + 1 ) 2 ^{n + 1}} \to \frac{1}{2} \Rightarrow R = 2.

第二步，中心是

x_{0} = 1

，收敛区间

(1 - 2, 1 + 2) = (- 1, 3)

。

第三步，两端分别代入：

x = 3

：

\sum \frac{2 ^{n}}{n 2 ^{n}} = \sum \frac{1}{n}

，发散；

x = - 1

：

\sum \frac{( - 2 ) ^{n}}{n 2 ^{n}} = \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

，由莱布尼茨收敛。

第四步，收敛域是

[- 1, 3)

。

一个端点收敛、另一个发散很常见，所以两端必须各判一次，看一个推另一个是行不通的。

缺项幂级数

第一步：先看级数展开后是不是每次幂都有；缺项就不要套公式。

第二步：令

t = x^{2}

（或别的整块）化成普通幂级数。

第三步：求出

t

的收敛范围，再换回

x

（注意开方后是双边区间）。

第四步：也可以直接对通项用比值判别法，解

ρ (x) < 1

——这条路最稳。

例例. 求

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{2 n}}{n}

的收敛域。

第一步，展开是

x^{2} + \frac{x ^{4}}{2} + \dots

——奇次幂全缺，不能套 $R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}$ 的公式。

第二步，令

t = x^{2}

，化成

\sum \frac{t ^{n}}{n}

。

第三步，它的收敛域是

- 1 \leq t < 1

；而

t = x^{2} \geq 0

，所以

0 \leq x^{2} < 1

，即

- 1 < x < 1

。

第四步，也可以直接对通项用比值判别法：

n \to \infty lim \frac{x ^{2 n + 2}}{n + 1} \cdot \frac{n}{x ^{2 n}} = x^{2} < 1 \Rightarrow ∣ x ∣ < 1,

再单独判

x = \pm 1

：都得

\sum \frac{1}{n}

，发散。收敛域

(- 1, 1)

。

这条路最稳——它不在乎缺不缺项。

端点怎么判

第一步：把

x = R

代入，整理成一个常数项级数。

第二步：正项的用比较／

p

-级数；交错的用莱布尼茨。

第三步：换

x = - R

再来一遍——两个端点必须各判一次。

第四步：答收敛域时用方括号／圆括号把结论写准。

例例. 同样是

R = 1

、中心在

0

，三个级数的端点各不相同。

①

\sum x^{n}

：

x = 1

得

\sum 1

发散，

x = - 1

得

\sum (- 1)^{n}

发散

\Rightarrow

收敛域

(- 1, 1)

。

②

\sum \frac{x ^{n}}{n}

：

x = 1

得调和级数发散，

x = - 1

得交错调和级数收敛

\Rightarrow

[- 1, 1)

。

③

\sum \frac{x ^{n}}{n ^{2}}

：两端一个正项、一个交错，

p = 2

都收敛

\Rightarrow

[- 1, 1]

。

第四步，同一个

R

，三种收敛域。端点的开闭只能由计算得出，拿半径是猜不出来的。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

求出 $R$ 就收工，不判端点

收敛域要的是完整的区间，端点含不含是答案的一部分。

\sum \frac{x ^{n}}{n}

的答案是

[- 1, 1)

，写成

(- 1, 1)

就丢了分。

求 $R$ 只是第一步，端点那两次判断是第二步。

把含 $x$ 的通项当成 $a_{n}$

公式

R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}

里的

a_{n}

不含 $x$ 。

把

x

带进去算出来的是「这一点收不收敛」，不是半径。

真要用含

x

的通项，那就走比值判别法解

ρ (x) < 1

——那是另一条路，别混着用。

中心在 $x_{0}$ 时忘了平移

\sum a_{n} (x - x_{0})^{n}

的收敛区间是

(x_{0} - R, x_{0} + R)

，不是

(- R, R)

。

症状：答案的区间中心在原点，而级数的中心明明是

1

。

写完区间回头看一眼中心对不对。

对缺项幂级数硬套公式

一半系数为零时，

\frac{a _{n}}{a _{n + 1}}

的极限不存在。

改用换元

t = x^{2}

，或者对通项用比值判别法。

展开前三项看一眼就知道缺不缺项，这一步只要五秒。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认半径

练 1

\sum x^{n}

的收敛半径

R =

________。

练 2

幂级数的收敛域的形状只能是（）。

A若干个孤立的点
B一个以中心为心的区间（端点待定）
C任意的集合
D一定是整条实轴

练 3

\sum \frac{x ^{n}}{n !}

的收敛半径

R =

________。

练 4

公式

R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}

中的

a_{n}

指的是（）。

A含 $x$ 的通项
B部分和
C余项
D系数（不含 $x$ ）

第二组 · 求收敛域

练 5

\sum n! x^{n}

的收敛半径

R =

________。

练 6

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}

的收敛域是 ________。

练 7

在

∣ x ∣ < R

的范围内，幂级数（）。

A发散
B只是条件收敛
C绝对收敛
D敛散性不定

练 8

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n ^{2}}

的收敛域是 ________。

第三组 · 变形

练 9

n = 1 \sum \infty \frac{( x - 1 ) ^{n}}{n \cdot 2 ^{n}}

的收敛区间（不含端点）是 ________。

练 10

幂级数在端点

x = \pm R

处的敛散性（）。

A必须把两个端点分别代入判断
B一定收敛
C一定发散
D与 $R$ 的大小无关

练 11

承上，

n = 1 \sum \infty \frac{( x - 1 ) ^{n}}{n \cdot 2 ^{n}}

的完整收敛域是 ________。

练 12

对缺项幂级数

\sum \frac{x ^{2 n}}{n}

，求收敛域应当（）。

A直接套 $R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}$
B令 $t = x^{2}$ ，或对含 $x$ 的通项用比值判别法
C无法求出收敛域
D收敛半径一定是 $1$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

幂级数及其收敛域

先打基础

1. 幂级数与阿贝尔定理：收敛的点必成区间

2. 求收敛半径：只看系数

3. 收敛域 = 开区间 + 两个端点单独判

4. 两种变形：中心不在原点、缺项

常用结构

求收敛域的四步

缺项幂级数

端点怎么判

基础易错

求出 R 就收工，不判端点

把含 x 的通项当成 an​

中心在 x0​ 时忘了平移

对缺项幂级数硬套公式

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

3. 收敛域 $=$ 开区间 $+$ 两个端点单独判

求出 $R$ 就收工，不判端点

把含 $x$ 的通项当成 $a_{n}$

中心在 $x_{0}$ 时忘了平移