幂级数及其收敛域

§7.4 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.15 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

2.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）正项级数的判别法交错级数与绝对/条件收敛③ 掌握后可解锁函数展开成幂级数与幂级数求和

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 阿贝尔定理的完整证明（收敛部分与发散部分）与收敛半径的存在性★ 要懂

幂级数的收敛域总是一个关于中心对称的区间，其理论依据就是阿贝尔定理。定理分为两部分：收敛部分，若级数在

x_{1} \neq = 0

处收敛，则它在一切满足

∣ x ∣ < ∣ x_{1} ∣

的点处绝对收敛；发散部分，若级数在

x_{2}

处发散，则它在一切满足

∣ x ∣ > ∣ x_{2} ∣

的点处发散，这一部分其实是收敛部分的逆否命题。有了这个定理，取使级数收敛的

∣ x ∣

的上确界，就得到收敛半径

R

：当

∣ x ∣ < R

时级数绝对收敛，当

∣ x ∣ > R

时级数发散。证明的关键步骤是：级数在一点收敛

\Rightarrow

通项有界

\Rightarrow

可用几何级数控制离中心更近的点。

证明 / 推导

收敛部分：设

\sum a_{n} x_{1}^{n}

收敛，则通项

a_{n} x_{1}^{n} \to 0

，因而有界，即

\exists M, ∣ a_{n} x_{1}^{n} ∣ \leq M

。当

∣ x ∣ < ∣ x_{1} ∣

时，记

q = ∣ x / x_{1} ∣ < 1

，则

∣ a_{n} x^{n} ∣ = ∣ a_{n} x_{1}^{n} ∣ \frac{x}{x _{1}}^{n} \leq M q^{n},

而

\sum M q^{n}

（几何级数，

q < 1

）收敛，故由比较判别法知

\sum a_{n} x^{n}

绝对收敛。
发散部分：设

\sum a_{n} x_{2}^{n}

发散。若级数在某个满足

∣ x ∣ > ∣ x_{2} ∣

的点处收敛，则由已证的收敛部分，级数在

∣ x_{2} ∣ < ∣ x ∣

的一切点处绝对收敛，这与它在

x_{2}

处发散相矛盾，故级数在

∣ x ∣ > ∣ x_{2} ∣

的点处发散。
存在性：令

E = {∣ x ∣ : \sum a_{n} x^{n} 收敛}

（它含有

0

），

R = sup E \in [0, + \infty]

。若

∣ x ∣ < R

，则由上确界的性质，存在

x_{1}

使

∣ x ∣ < ∣ x_{1} ∣ \leq R

且级数在

x_{1}

处收敛，故级数在

x

处绝对收敛；若

∣ x ∣ > R

，则

∣ x ∣ \in / E

，级数发散。

■

2. 收敛半径公式的来历：把比值/根值判别法作用在幂级数通项上★ 要懂

公式

R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}

与

R = 1/ lim n ∣ a_{n} ∣

并非凭空给出，而是对幂级数的通项

u_{n} = a_{n} x^{n}

直接施用比值判别法或根值判别法解出来的。以比值判别法为例，级数绝对收敛要求相邻两项之比的极限

< 1

，这就给出一个关于

∣ x ∣

的不等式，解之得

∣ x ∣ < R

；而边界

∣ x ∣ = R

恰好对应判别法失效的情形

ρ = 1

，这就说明了为什么端点必须单独判定。还须注意公式中各量的位置：比值形式中

a_{n}

在分子，即

R = lim ∣ a_{n} / a_{n + 1} ∣

；也可以先算出

ρ = lim ∣ a_{n + 1} / a_{n} ∣

，再取

R = 1/ ρ

。两者不可颠倒。

证明 / 推导

对

u_{n} = a_{n} x^{n}

（设

a_{n} \neq = 0

）施用比值判别法，考察

n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} ρ = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} ∣ x ∣ = ρ ∣ x ∣ = lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} .

绝对收敛要求

ρ ∣ x ∣ < 1

，即

∣ x ∣ < \frac{1}{ρ}

；而当

ρ ∣ x ∣ > 1

即

∣ x ∣ > \frac{1}{ρ}

时通项不趋于零，级数发散。因此收敛半径

R = \frac{1}{ρ} = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}

（当

ρ = 0

时

R = + \infty

，当

ρ = + \infty

时

R = 0

）。对根值判别法同理，由

lim n ∣ u_{n} ∣ = ∣ x ∣ lim n ∣ a_{n} ∣ < 1

得

R = 1/ lim n ∣ a_{n} ∣

。

■

3. 缺项幂级数不能套用系数公式，必须对整个通项施用比值或根值判别法★★ 必会

形如

\sum a_{n} x^{2 n}

、

\sum a_{n} x^{3 n + 1}

的级数称为缺项幂级数，它按幂次排列的系数序列中夹有大量的

0

（例如奇次项的系数全为

0

）。这时

\frac{a _{n}}{a _{n + 1}}

会出现

\frac{0}{0}

或

\frac{数}{0}

而失去意义，若直接套用系数公式，必然出错。正确的做法是把

x

看作参数，对完整的通项 $u_{n} (x)$ 直接施用比值判别法或根值判别法，令所得极限

< 1

，解出

x

的范围，再由这个范围的半宽读出收敛半径。这是数一选择题与填空题中常见的失误。

举例说明

求

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{2 n}}{n \cdot 3 ^{n}}

的收敛域。通项为

u_{n} = \frac{x ^{2 n}}{n 3 ^{n}}

，对它施用比值判别法，得

n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = n \to \infty lim \frac{n 3 ^{n}}{( n + 1 ) 3 ^{n + 1}} x^{2} = \frac{x ^{2}}{3} .

令

\frac{x ^{2}}{3} < 1

，解得

∣ x ∣ < 3

，故

R = 3

。再判端点

x = \pm 3

：此时级数化为

\sum \frac{( 3 ) ^{2 n}}{n 3 ^{n}} = \sum \frac{3 ^{n}}{n 3 ^{n}} = \sum \frac{1}{n}

，发散。因此收敛域为

(- 3, 3)

。如果误把它当作

\sum a_{n} x^{n}

而套用系数公式，那么由于奇次项系数为

0

，将得到错误的

R

。

4. 端点判定：三种结果都可能，且逐项求导/积分后端点敛散会变（半径不变）★★ 必会

收敛区间

(x_{0} - R, x_{0} + R)

是开区间，两个端点必须分别代入原级数，用常数项级数的方法逐一判定。判定的结果可能是绝对收敛、条件收敛或发散，三种情形都很常见，只写出开区间是不完整的。还须注意：和函数在收敛区间内可以逐项求导、逐项积分，且收敛半径 $R$ 保持不变，但端点处的敛散性可能改变。逐项积分后分母多出一个因子

n

，端点处的收敛性通常增强；逐项求导后则通常减弱。因此对求导或积分所得的新级数，端点必须重新判定，不能沿用原级数的结论。

举例说明

考察

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}

。系数为

a_{n} = \frac{1}{n}

，故

R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = lim \frac{n + 1}{n} = 1

。再判端点：

x = 1

时级数为

\sum \frac{1}{n}

，发散；

x = - 1

时级数为

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

，条件收敛。故收敛域为

[- 1, 1)

。
逐项求导得

\sum_{n = 1}^{\infty} x^{n - 1} = \frac{1}{1 - x}

，

R

仍等于

1

，但在两端点

x = \pm 1

处通项都不趋于零，级数均发散，收敛域缩为

(- 1, 1)

。原来在

x = - 1

处收敛，求导后变为发散，可见求导会使端点处的收敛性减弱。
逐项积分原级数得

\sum \frac{x ^{n + 1}}{n ( n + 1 )}

，仍有

R = 1

，此时

x = \pm 1

处都绝对收敛（通项

\sim \frac{1}{n ^{2}}

），收敛域扩为

[- 1, 1]

，可见积分会使端点处的收敛性增强。

💡 小知识

函数

\frac{1}{1 + x ^{2}}

在整条实轴上都光滑，可它的幂级数

\sum (- 1)^{n} x^{2 n}

只在

∣ x ∣ < 1

内收敛，仿佛在

x = \pm 1

处撞上了一堵看不见的墙。谜底藏在复平面里：它在

x = \pm i

处有奇点，到原点的距离恰好是

1

。收敛半径其实就是到最近奇点的距离，实轴上的怪现象要到复数世界里才看得明白。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}

的收敛域。难度 1

第一步：求收敛半径。 系数

a_{n} = \frac{1}{n}

，

R = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = n \to \infty lim \frac{n + 1}{n} = 1.

收敛区间为

(- 1, 1)

。 第二步：判别端点。 -

x = 1

：级数为

\sum \frac{1}{n}

，调和级数，发散； -

x = - 1

：级数为

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

，由莱布尼茨判别法收敛。故收敛域为

[- 1, 1)

。

例 2 求幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n ^{2}}

的收敛域。难度 1

求收敛半径：

a_{n} = \frac{1}{n ^{2}}

，

R = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = n \to \infty lim \frac{( n + 1 ) ^{2}}{n ^{2}} = 1,

收敛区间

(- 1, 1)

。 判别端点： -

x = 1

：

\sum \frac{1}{n ^{2}}

（

p = 2 > 1

）收敛； -

x = - 1

：

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}

绝对收敛，收敛。两端点都收敛，故收敛域为

[- 1, 1]

。 对比例 1：同为

R = 1

，端点敛散却不同，端点必须逐个单独判定。

例 3 求幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{( x - 2 ) ^{n}}{n \cdot 3 ^{n}}

的收敛域。难度 2

这是以

x_{0} = 2

为中心的幂级数。先求半径，系数

a_{n} = \frac{1}{n 3 ^{n}}

：

R = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = n \to \infty lim \frac{( n + 1 ) 3 ^{n + 1}}{n 3 ^{n}} = n \to \infty lim \frac{3 ( n + 1 )}{n} = 3.

收敛区间

∣ x - 2∣ < 3

，即

- 1 < x < 5

。 判别端点： -

x = 5

：级数为

\sum \frac{3 ^{n}}{n 3 ^{n}} = \sum \frac{1}{n}

，发散； -

x = - 1

：级数为

\sum \frac{( - 3 ) ^{n}}{n 3 ^{n}} = \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

，由莱布尼茨收敛。故收敛域为

[- 1, 5)

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

幂级数

n = 1 \sum \infty [\frac{3 + ( - 1 ) ^{n}}{4}]^{n} x^{2 n}

的收敛域为（　　）

A $[- 2, 2]$
B $[- 1, 1]$
C $(- 2, 2)$
D $(- 1, 1)$

2024 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知幂级数

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

的和函数为

ln (2 + x)

，则

n = 0 \sum \infty n a_{2 n} =

（　　）

A $- \frac{1}{6}$ .
B $- \frac{1}{3}$ .
C $\frac{1}{6}$ .
D $\frac{1}{3}$ .

2022 年 · 数一 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

已知级数

n = 1 \sum \infty \frac{n !}{n ^{n}} e^{- n x}

的收敛域为

(a, + \infty)

，则

a =

______.

2021 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设

u_{n} (x) = e^{- n x} + \frac{x ^{n + 1}}{n ( n + 1 )} (n = 1, 2, \dots)

，求级数

n = 1 \sum \infty u_{n} (x)

的收敛域及和函数.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{3 ^{n}}

的收敛半径

R =

____。

练习 2 · 填空题

幂级数

n = 1 \sum \infty n x^{n}

的收敛半径

R =

____。

练习 3 · 选择题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}

的收敛域是

A $(- 1, 1)$
B $[- 1, 1]$
C $[- 1, 1)$
D $(- 1, 1]$

练习 4 · 填空题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n}}{n} x^{n}

的收敛半径

R =

____。

练习 5 · 选择题

缺项幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{2 n}}{2 ^{n}}

的收敛半径为

A $2$
B $2$
C $1$
D $\frac{1}{2}$

练习 6 · 填空题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{( x - 1 ) ^{n}}{n \cdot 2 ^{n}}

的收敛域为 ____。

练习 7 · 选择题

已知幂级数

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

在

x = 2

处收敛，在

x = - 3

处发散。则下列结论中一定正确的是（　　）。

A该级数在 $x = 1$ 处绝对收敛
B该级数在 $x = - 2$ 处条件收敛
C该级数的收敛半径 $R = 3$
D该级数在 $x = \frac{5}{2}$ 处收敛

练习 8 · 解答题

求幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}} (x - 1)^{n}

的收敛域与和函数

S (x)

。

2020 年 · 数一 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

设

R

为幂级数

n = 1 \sum \infty a_{n} x^{n}

的收敛半径，

r

是实数，则（　　）

A当 $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时， $∣ r ∣ \geq R$ .
B当 $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛时， $∣ r ∣ \leq R$ .
C当 $∣ r ∣ \geq R$ 时， $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 发散.
D当 $∣ r ∣ \leq R$ 时， $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛.

2015 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

若级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

条件收敛，则

x = 3

与

x = 3

依次为幂级数

n = 1 \sum \infty n a_{n} (x - 1)^{n}

的（　　）

A收敛点，收敛点.
B收敛点，发散点.
C发散点，收敛点.
D发散点，发散点.