函数展开成幂级数与幂级数求和

§7.5 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.94 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

1.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）幂级数及其收敛域泰勒公式

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 六个必背麦克劳林展开式全表（含收敛域）： $e^{x}, sin x, cos x, \frac{1}{1 - x}, ln (1 + x), (1 + x)^{α}$ ★★ 必会

间接展开与求和所用的基本公式就是下面六个，必须连同收敛域一并牢记：

①

e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots, x \in (- \infty, + \infty)

②

sin x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!} x^{2 n + 1} = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots, x \in (- \infty, + \infty)

③

cos x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!} x^{2 n} = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots, x \in (- \infty, + \infty)

④

\frac{1}{1 - x} = n = 0 \sum \infty x^{n} = 1 + x + x^{2} + \dots, x \in (- 1, 1)

；换

x \to - x

得

\frac{1}{1 + x} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{n}, x \in (- 1, 1)

⑤

ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} x^{n} = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots, x \in (- 1, 1]

（含右端点：令

x = 1

得

ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots

）

⑥

(1 + x)^{α} = 1 + n = 1 \sum \infty \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n}, x \in (- 1, 1)

（端点的敛散性依

α

而定；当

α

为正整数时，它退化为二项式定理给出的有限和）

六式之间的联系：②③ 由 ① 作奇偶拆分

+

交错变号而得（

sin

只取奇次项，自

x

起；

cos

只取偶次项，自

1

起）；④ 就是几何级数的和；⑤ 由

\frac{1}{1 + x}

逐项积分而得（幂次升为

n

，系数多除一个

n

，收敛域并入右端点

x = 1

）；④ 是 ⑥ 的特例（取

α = - 1

并作代换

x \to - x

）。常犯的错误：符号因子究竟是

(- 1)^{n}

还是

(- 1)^{n - 1}

，取决于求和的起始下标，动笔前应先代入最小的

n

值核对第一项。

证明 / 推导

下面以 ① 为例给出直接展开的完整论证（其余各式或者同法可证，或者由 ①④ 派生）。

f (x) = e^{x}

的各阶导数仍为

e^{x}

，故

f^{(n)} (0) = 1

，麦克劳林系数为

\frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} = \frac{1}{n !}

。对任意固定的

x

，其拉格朗日余项（其中

ξ

介于

0

与

x

之间）满足

∣ R_{n} (x) ∣ = \frac{e ^{ξ}}{( n + 1 )!} x^{n + 1} \leq e^{∣ x ∣} \cdot \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \to 0 (n \to \infty),

这是因为

\frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

是收敛级数

\sum \frac{∣ x ∣ ^{n}}{n !}

的通项，必趋于零。只有余项趋于零，级数才真正收敛于

e^{x}

本身，这一步不可省略（反例见后文关于

e^{- 1/ x^{2}}

的条目）。

④ 的证明不需要余项估计：几何级数的部分和

k = 0 \sum n x^{k} = \frac{1 - x ^{n + 1}}{1 - x} ∣ x ∣ < 1 \frac{1}{1 - x}

，由定义直接验证即可。

■

举例说明

真题（2018 数一第 3 题，选择 4 分）

n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{2 n + 3}{( 2 n + 1 )!} =

（　　）

(A)

sin 1 + cos 1

.　(B)

2 sin 1 + cos 1

.　(C)

2 sin 1 + 2 cos 1

.　(D)

2 sin 1 + 3 cos 1

.

解. 设法把系数化为 ②③ 在

x = 1

处的取值。将分子拆开，

2 n + 3 = (2 n + 1) + 2

，于是

n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{2 n + 3}{( 2 n + 1 )!} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{( 2 n + 1 )!} + 2 n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!} = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!} + 2 n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!} .

对照 ②③（其中取

x = 1

）：

cos 1 = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!}

，

sin 1 = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!}

，故原式

= cos 1 + 2 sin 1

，应选 B（

2 sin 1 + cos 1

）。

易错之处：约分

\frac{2 n + 1}{( 2 n + 1 )!} = \frac{1}{( 2 n )!}

是把阶乘中的最高因子消去，若把

(2 n)!

与

(2 n + 1)!

弄混，本题即告失分。遇到这类需要辨认出处的数项级数，应首先想到上述六个展开式在

x = 1

（或

\frac{1}{2}

、

- 1

等特殊值）处的取值。

2. 泰勒级数收敛于原函数 $⟺$ 余项 $R_{n} (x) \to 0$ ：仅有各阶导数还不够，反例 $e^{- 1/ x^{2}}$ ★ 要懂

f

无限次可导只保证能够写出泰勒级数，并不保证这个级数等于

f

。等号成立的充分必要条件是拉格朗日余项

R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1} \to 0

。经典的反例是

f (x) = e^{- 1/ x^{2}}

（补充定义

f (0) = 0

）：它在

x = 0

处的各阶导数全为 $0$ ，因而它的麦克劳林级数为

0 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + \dots \equiv 0

，除

x = 0

一点外都不等于

f (x) > 0

。由此可见，泰勒级数可能收敛，却收敛于另一个函数，判定的依据只能是余项。

e^{x}, sin x, cos x

之所以能在整个实轴上展开，正是因为它们的余项一致趋于零。

证明 / 推导

设

f (x) = e^{- 1/ x^{2}} (x \neq = 0), f (0) = 0

，往证

f^{(n)} (0) = 0

。当

x \neq = 0

时，用归纳法可知

f^{(n)} (x) = P_{n} (1/ x) e^{- 1/ x^{2}}

，其中

P_{n}

为多项式。在

x = 0

处按定义计算，并令

t = 1/ x \to \infty

，得

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{e ^{- 1/ x^{2}} - 0}{x} = t \to \infty lim t e^{- t^{2}} = 0,

这是因为指数衰减快于任何多项式的增长。同法归纳可得

f^{(n)} (0) = lim_{t \to \infty} P_{n} (t) t e^{- t^{2}} = 0

。于是它的麦克劳林级数

\sum \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n} \equiv 0

，而

f (x) > 0 (x \neq = 0)

，故级数并不收敛于

f

。这就是余项不趋于零（此时

R_{n} (x) = f (x) \neq \to 0

）所造成的结果。

■

3. 间接展开法：以已知展开式为基础逐项求导或积分，每一步都要追踪收敛域★★ 必会

直接法要逐阶求导并验证余项，过程十分繁琐，因此实际计算中几乎都用间接法：以上述六个展开式为基础，经过变量代换、四则运算以及逐项求导、逐项积分，拼出所要的展开式。这样做的依据是幂级数在收敛区间内可以逐项求导、逐项积分，且收敛半径不变。最典型的做法是从

\frac{1}{1 + t}

或

\frac{1}{1 + t ^{2}}

出发，积分得到

ln (1 + x)

与

arctan x

的展开式。必须注意三点：(1) 变量代换会改变收敛范围（例如作代换

t \to - x^{2}

），须同步更新；(2) 求导或积分之后端点的敛散性可能改变，要单独判定；(3) 积分应自

0

到

x

，并利用

f (0)

定出积分常数。

举例说明

将

arctan x

展开，并求

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1}

之和。由

\frac{1}{1 + t ^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} t^{2 n} (∣ t ∣ < 1)

逐项积分，得

arctan x ∣ x ∣ = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t ^{2}} = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1} \leq 1.

下面追踪收敛域：原展开式要求

∣ t ∣ < 1

，积分后收敛半径仍为

1

；在两端点

x = \pm 1

处由莱布尼茨判别法知级数收敛，故收敛域扩为

[- 1, 1]

。在

x = 1

处级数收敛，而

arctan x

在

x = 1

处连续，故由阿贝尔第二定理取极限，得

n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} = arctan 1 = \frac{π}{4} .

这就是莱布尼茨–马达瓦级数

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots = \frac{π}{4}

。

4. 幂级数求和：用逐项求导或积分消去系数中的 $n$ 或 $\frac{1}{n}$ ，化归为几何级数后再还原★★ 必会

求和函数的一般方法是：先求出收敛域，再用逐项求导消去分母中的

\frac{1}{n}

、

\frac{1}{n + 1}

，或用逐项积分消去分子中的

n

，把级数化为容易辨认的几何级数

\frac{1}{1 - x}

或它的导数、原函数，最后作相反的运算还原。有两个常用的公式：

\sum_{n \geq 1} n x^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}

与

\sum_{n \geq 1} \frac{x ^{n}}{n} = - ln (1 - x)

。若系数中含有

n^{2}

或

n (n - 1)

，则须求导两次。还原时必须核对起始项、积分常数以及 $x = 0$ 处的值。

举例说明

求

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} x^{n} (∣ x ∣ < 1)

，并计算

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n ^{2}}{2 ^{n}}

。先由基本公式得

\sum_{n \geq 1} n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}

，再对它求导并乘以

x

，使幂次升高一次：

n = 1 \sum \infty n^{2} x^{n} = x \frac{d}{d x} (n \geq 1 \sum n x^{n}) = x \frac{d}{d x} \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}} = x \cdot \frac{1 + x}{( 1 - x ) ^{3}} = \frac{x ( 1 + x )}{( 1 - x ) ^{3}} .

再令

x = \frac{1}{2}

，即得

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n ^{2}}{2 ^{n}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{( \frac{1}{2} ) ^{3}} = \frac{3/4}{1/8} = 6.

5. 数项级数求和的母函数法：把数项级数化为幂级数，再在特定点取值★ 要懂

许多数项级数

\sum c_{n}

直接求和很困难，但若把它看作幂级数

S (x) = \sum c_{n} x^{n}

在某点

x_{0}

处的值

S (x_{0})

，就可以借助微积分的方法求出：先用逐项求导或逐项积分求出

S (x)

的表达式，再令

x = x_{0}

。这种方法的要旨，是把一个固定的数值化为一个函数，从而使求导与积分能够施展。如果

x_{0}

恰好是收敛区间的端点，那么还须用阿贝尔第二定理（级数在端点收敛时，和函数在该端点单侧连续）取极限，以保证代值的合法性。

举例说明

求

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2 ^{n}}

之和。作母函数

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}

。由

S^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n - 1} = \frac{1}{1 - x} (∣ x ∣ < 1)

及

S (0) = 0

，积分得

S (x) - 1 = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t} = - ln (1 - x) \leq x < 1.

令

x = \frac{1}{2}

，即得

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2 ^{n}} = - ln (1 - \frac{1}{2}) = ln 2.

此外，在端点

x = - 1

处有

S (- 1) = \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} = - ln 2

，即

\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln 2

，这与阿贝尔第二定理相符。

💡 小知识

把

e^{x}

、

cos x

、

sin x

三行幂级数并排写下来，再令

x = i θ

，三行会严丝合缝地拼成

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

。继续代入

θ = π

，得到的

e^{i π} + 1 = 0

常被称作最美的公式。幂级数在这里把指数、三角与虚数接到了一起。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 将函数

f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}

展开成

x

的幂级数，并指出收敛区间。难度 1

利用基本展开式

\frac{1}{1 - t} = n = 0 \sum \infty t^{n} (∣ t ∣ < 1)

。令

t = - x^{2}

：

\frac{1}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{1 - ( - x ^{2} )} = n = 0 \sum \infty (- x^{2})^{n} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{2 n} .

收敛条件为

∣ - x^{2} ∣ < 1

，即

∣ x ∣ < 1

，故收敛区间为

(- 1, 1)

。要点：间接展开的核心是把目标凑成

\frac{1}{1 - t}

的形式再代换，代换会改变收敛范围，需重新确定。

例 2 将函数

f (x) = e^{2 x}

展开成

x

的幂级数，并指出收敛区间。难度 1

利用基本展开式

e^{u} = n = 0 \sum \infty \frac{u ^{n}}{n !} (u \in R)

。令

u = 2 x

：

e^{2 x} = n = 0 \sum \infty \frac{( 2 x ) ^{n}}{n !} = n = 0 \sum \infty \frac{2 ^{n}}{n !} x^{n} .

由于

e^{u}

的展开对一切实数成立，故收敛区间为

(- \infty, + \infty)

。

例 3 求幂级数

n = 1 \sum \infty n x^{n}

的和函数

S (x)

（

∣ x ∣ < 1

），并由此求数项级数

n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}}

的和。难度 2

第一步：求和函数。 从几何级数

n = 0 \sum \infty x^{n} = \frac{1}{1 - x} (∣ x ∣ < 1)

两边逐项求导：

n = 1 \sum \infty n x^{n - 1} = (\frac{1}{1 - x})^{'} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} .

两边乘

x

，得

S (x) = n = 1 \sum \infty n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}, ∣ x ∣ < 1.

第二步：代值求数项级数。 注意

n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}} = S (\frac{1}{2})

，代入

x = \frac{1}{2}

：

n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}} = \frac{1/2}{( 1 - 1/2 ) ^{2}} = \frac{1/2}{1/4} = 2.

要点：数项级数求和的「母函数法」——把常数升格为幂级数，求出和函数再代特定点。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知幂级数

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

的和函数为

ln (2 + x)

，则

n = 0 \sum \infty n a_{2 n} =

（　　）

A $- \frac{1}{6}$ .
B $- \frac{1}{3}$ .
C $\frac{1}{6}$ .
D $\frac{1}{3}$ .

2021 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设

u_{n} (x) = e^{- n x} + \frac{x ^{n + 1}}{n ( n + 1 )} (n = 1, 2, \dots)

，求级数

n = 1 \sum \infty u_{n} (x)

的收敛域及和函数.

2020 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1

，

(n + 1) a_{n + 1} = (n + \frac{1}{2}) a_{n}

，证明当

∣ x ∣ < 1

时，幂级数

n = 1 \sum \infty a_{n} x^{n}

收敛，并求其和函数.

2019 年 · 数一 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

幂级数

n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!} x^{n}

在

(0, + \infty)

内的和函数

S (x) =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

函数

\frac{1}{1 - x}

的幂级数展开

n = 0 \sum \infty x^{n}

的收敛区间是

A $(- 1, 1)$
B $(- 1, 1]$
C $[- 1, 1]$
D $(- \infty, + \infty)$

练习 2 · 选择题

sin x

的麦克劳林展开式是

A $n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$
B $n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}$
C $n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !}$
D $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n}$

练习 3 · 填空题

将

e^{- x}

展开成

x

的幂级数，则

x^{n}

项的系数为 ____。

练习 4 · 填空题

数项级数

n = 1 \sum \infty \frac{n}{3 ^{n}}

的和为 ____。

练习 5 · 选择题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}

的和函数是（

∣ x ∣ < 1

）

A $- ln (1 - x)$
B $ln (1 + x)$
C $\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$
D $ln (1 - x)$

练习 6 · 填空题

将

f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 3 x + 2}

展开成

x

的幂级数，则

x^{n}

项的系数为 ____。

练习 7 · 填空题

级数

n = 1 \sum \infty \frac{n ^{2}}{2 ^{n}}

的和为 ____。

练习 8 · 解答题

（1）将

f (x) = arctan x

展开成

x

的幂级数，并指出收敛区间；
（2）利用（1）的结果求数项级数

n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 ) 3 ^{n}}

的和。

2018 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{2 n + 3}{( 2 n + 1 )!} =

（　　）

A $sin 1 + cos 1$
B $2 sin 1 + cos 1$
C $2 sin 1 + 2 cos 1$
D $2 sin 1 + 3 cos 1$

2017 年 · 数一 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

已知函数

f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}

，则

f^{(3)} (0) =

______.

函数展开成幂级数与幂级数求和

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 六个必背麦克劳林展开式全表（含收敛域）：ex, sinx, cosx, 1−x1​, ln(1+x), (1+x)α★★ 必会

2. 泰勒级数收敛于原函数 ⟺ 余项 Rn​(x)→0：仅有各阶导数还不够，反例 e−1/x2★ 要懂

3. 间接展开法：以已知展开式为基础逐项求导或积分，每一步都要追踪收敛域★★ 必会

4. 幂级数求和：用逐项求导或积分消去系数中的 n 或 n1​，化归为几何级数后再还原★★ 必会

5. 数项级数求和的母函数法：把数项级数化为幂级数，再在特定点取值★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 六个必背麦克劳林展开式全表（含收敛域）： $e^{x}, sin x, cos x, \frac{1}{1 - x}, ln (1 + x), (1 + x)^{α}$ ★★ 必会

2. 泰勒级数收敛于原函数 $⟺$ 余项 $R_{n} (x) \to 0$ ：仅有各阶导数还不够，反例 $e^{- 1/ x^{2}}$ ★ 要懂

4. 幂级数求和：用逐项求导或积分消去系数中的 $n$ 或 $\frac{1}{n}$ ，化归为几何级数后再还原★★ 必会