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泰勒公式
高等数学 · 一元函数微分学
这一条要先会：微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）、高阶导数
先打基础
一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。
1. 泰勒公式：用多项式去逼近一个函数
切线是用一次多项式逼近曲线：f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)。泰勒公式把这件事做到任意高次。
设 f 在 x0 处有 n 阶导数，则
f(x)=k=0∑nk!f(k)(x0)(x−x0)k+Rn(x),
其中 Rn 是余项，即逼近的误差。x0=0 的特例称为麦克劳林公式，考研里用的几乎全是它：
f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+Rn(x).
系数公式 ak=k!f(k)(x0) 是整个公式的核心，高阶导数那一节「展开式系数乘以 n! 等于导数值」说的就是它反过来。
余项有两种常用写法，用途完全不同——下一条专讲。2. 两种余项：佩亚诺用来求极限，拉格朗日用来估误差
① 佩亚诺余项. Rn(x)=o((x−x0)n)。
它只说「误差比 n 次项更高阶」，不给具体大小。求极限时用它——因为求极限时本来就只关心主项，高阶的东西一律丢进 o 里。
② 拉格朗日余项.
Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,
其中 ξ 介于 x0 与 x 之间。它给出了误差的具体形状，于是能用 ξ 的范围去估计误差的大小。估计误差、证不等式时用它。
注意 n=0 时拉格朗日余项的公式就是
f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x−x0),
正是拉格朗日中值定理。所以带拉格朗日余项的泰勒公式是中值定理的推广，它的证明也确实是反复用罗尔定理做出来的。
挑哪一种，只看题目要什么：要一个数（极限）用佩亚诺，要一个范围（误差、不等式）用拉格朗日。3. 必须背下来的几个麦克劳林展开
下面六个是考场上的硬通货（都在 x→0 时成立）：
exsinxcosxln(1+x)1−x1(1+x)a=1+x+2!x2+3!x3+o(x3),=x−3!x3+5!x5+o(x5),=1−2!x2+4!x4+o(x4),=x−2x2+3x3+o(x3),=1+x+x2+x3+o(x3),=1+ax+2a(a−1)x2+o(x2).
几条记忆线索，比死背管用：
① sin 是奇函数，展开式只有奇次项；cos 是偶函数，只有偶次项。
② sin、cos 的符号正负交替，分母是阶乘；ln(1+x) 的分母是 n 本身，不是阶乘。
③ 每个展开式的前一两项就是对应的等价无穷小：sinx∼x、1−cosx∼2x2、ex−1∼x 全在里面。
第③条解释了上一章那张等价表是从哪儿来的——等价无穷小就是泰勒展开的首项。4. 用泰勒公式求极限：展开到分母的次数
上一章说过，等价无穷小在加减里会失效，因为主项抵消之后，被丢掉的高阶部分才是答案。泰勒公式正是那个补救办法——它把被丢掉的部分一项一项写了出来。
做法只有一句：展开到与分母同次，剩下的丢进 o。
展少了不够用（分子还是 0），展多了是白费力气。判断展到几次看分母：
分母x2x3xsinx∼x2分子展到x2x3x2
分母不是现成的幂时，先用等价无穷小把它化成 xk 的形状，再定次数。
这是处理 00 型相消问题最稳的办法，比洛必达连用几次要稳得多——洛必达每用一次都要重新验条件，而展开一次就全有了。常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
写麦克劳林展开：算导数值，除阶乘
第一步：算 f(0)、f′(0)、f′′(0)…到需要的阶。
第二步：第 k 项的系数是 k!f(k)(0)。
第三步：按次数写出来，末尾加上 o(xn) 或拉格朗日余项。
常见函数直接查第三条里那六个，不必每次现算。例写出 f(x)=ex 的麦克劳林展开（到 xn）。
第一步，算各阶导数在 0 处的值：f(k)(x)=ex，所以 f(k)(0)=1 对一切 k 成立。
第二步，第 k 项是 k!f(k)(0)xk=k!xk。
第三步，连同余项写出来：
ex=1+x+2!x2+⋯+n!xn+o(xn).
末尾那个 o(xn) 不能省——它说明「只展到这一阶，后面还有」。
用泰勒求极限：看分母定次数
第一步：把分母化成 xk 的形状（必要时先用等价无穷小）。
第二步：把分子里每个函数展到 k 次，末尾统一写 o(xk)。
第三步：合并同类项。若主项全消光，回第二步多展一次。
第四步：除以分母，xko(xk)→0 直接丢掉。例求 x→0limx3x−sinx。
第一步，看分母：三次，所以分子展到三次就够。
第二步，sinx=x−6x3+o(x3)，代进分子：
x−sinx=x−(x−6x3+o(x3))=6x3+o(x3).
第三步，相除取极限：
x→0limx36x3+o(x3)=61.
若只展到一次（sinx≈x），分子成了 o(x)，除以 x3 什么也定不出来——这就是「看分母定次数」的意思。
整块代入：幂次连着算
第一步：认出括号里那一块 □，确认 □→0。
第二步：把展开式里每个 x 换成整块 □。
第三步：带幂次的项要把系数一起乘方——(2x)2=4x2。
第四步：余项写成 o(□n)，再按 x 的次数折算。例求 e−x2 的麦克劳林展开到 x4。
第一步，写出已知的那个：eu=1+u+2!u2+o(u2)。
第二步，把 u 整块换成 −x2（不是只换一处，是每个 u 都换）：
e−x2=1+(−x2)+2!(−x2)2+o(x4)=1−x2+2x4+o(x4).
第三步，核一下幂次：u 只展到二次，而 u2=x4 已经到四次了——幂次是连着算的，不必再往后展。
基础易错
基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。
ln(1+x) 的分母写成阶乘
ln(1+x)=x−2x2+3x3−…，分母是 n，不是 n!。
系数永远由 n!f(n)(0) 算出来；ex 的分母是阶乘，恰恰因为它的各阶导数都等于 1。把一个的形状套到另一个上是最常见的记混。展开的次数不够
分母是 x3 却只展到二次，剩下 x3o(x2)，极限不定，算不出答案。
先看分母是几次，分子就展到几次；主项全消光了再多展一项。整块代入时幂次没连着算
cos2x=1−2(2x)2+⋯=1−2x2+…，不是 1−22x2。
括号里的整块要连系数一起乘方，这与等价无穷小整块代换是同一条规矩。求极限用拉格朗日余项
拉格朗日余项带着未知的 ξ，求极限时处理不掉。
求极限用佩亚诺 o(xn)，估误差、证不等式才用拉格朗日。挑错了余项，式子会越写越乱。例例. 求 x→0limx2ex−1−x。
用拉格朗日余项：ex=1+x+2eξx2（ξ 在 0 与 x 之间），代进去得 2eξ。
式子里留着一个不知道在哪的 ξ，还得再说明「x→0 时 ξ→0，故 eξ→1」才能收尾——绕了一道。
用佩亚诺余项：ex=1+x+2x2+o(x2)，直接
x→0limx22x2+o(x2)=21.
求极限只关心「余下的部分小到什么量级」，这正是佩亚诺余项能说的话；估误差、证不等式要的是一个能代值的余项，那时才用拉格朗日。
自己试一试
这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。
第一组 · 记住那几个展开
练 1
ex=1+x+ ________ +o(x2)（填 x2 项）。练 2
sinx 的麦克劳林展开式中（ ）。- A只有偶次项
- B奇偶次项都有
- C只有奇次项
- D没有常数项但有二次项
练 3
ln(1+x)=x− ________ +o(x2)（填 x2 项，含符号写成正的那一块）。练 4
泰勒公式中第 k 项的系数是（ ）。- Af(k)(x0)
- Bk!f(k)(x0)
- Ck!f(k)(x0)
- Dkf(k)(x0)
第二组 · 用展开求极限
练 5
x→0limx2ex−1−x= ________。练 6
x→0limx3x−sinx= ________。练 7
求 x→0limx2cosx−1 时，cosx 应展开到（ ）。练 8
cos2x=1− ________ +o(x2)（填 x2 项）。第三组 · 余项与综合
练 9
求极限时应使用（ ）余项。练 10
带拉格朗日余项的泰勒公式在 n=0 时就是（ ）。- A罗尔定理
- B柯西中值定理
- C介值定理
- D拉格朗日中值定理
练 11
x→0limx3tanx−x= ________。练 12
设 f(x)=ln(1+x)，则 f(3)(0)=（ ）。