洛必达法则

高等数学 · 一元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 洛必达法则：上下分别求导，再求极限

定理. 设在

x \to x_{0}

的某去心邻域内

① $f (x) \to 0$ 、 $g (x) \to 0$ （即 $\frac{0}{0}$ 型）；

② $f$ 、 $g$ 可导且 $g^{'} (x) \neq = 0$ ；

③ $lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ 存在或为 $\infty$ ，

则

x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} .

\frac{\infty}{\infty}

型同样成立，

x \to \infty

也成立。

最要紧的是：这是「上下分别求导」，不是商的求导法则。 写成

\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}

就彻底错了——两件事只是长得像。

它的依据是柯西中值定理：把

\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{g ( x ) - g ( x _{0} )}

换成

\frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )}

，再令

x \to x_{0}

（此时

ξ

被夹着一起过去）。

三个条件里第①条最常被忘：不是未定式就不能用。

2. 用之前先验型：不是未定式不能用

洛必达只管

\frac{0}{0}

与

\frac{\infty}{\infty}

两种型。其余五种未定式要先化成这两种，不能直接上。

0 \cdot \infty \infty - \infty 1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0} 把一个因子倒下去 通分或有理化 取对数，化成 0 \cdot \infty

这张表和上一章「变成分式」那条主线是一回事。

不是未定式却硬用，会得到一个完全错的答案，而且过程看着很顺。例如

x \to 0 lim \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2},

但硬用洛必达会得到

\frac{1}{1} = 1

。代入是 $\frac{1}{2}$ 不是 $\frac{0}{0}$ ，根本不该用。

所以动笔的第一步永远是代入定型——这和上一章求极限的三步走完全一致。

3. 连用与失效：什么时候该换别的办法

连用. 求导一次之后还是

\frac{0}{0}

或

\frac{\infty}{\infty}

，可以再用一次。但每次都要重新验型——很多人第一次验了，后面就一路求导下去，而中间某一步可能早就不是未定式了。

失效. 条件③说的是「

lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}

存在或为

\infty

」。若这个极限不存在且不是 $\infty$ ，洛必达用不了，但这并不说明原极限不存在。例如

x \to \infty lim \frac{x + sin x}{x} .

上下求导得

\frac{1 + cos x}{1}

，当

x \to \infty

时它振荡、极限不存在；可原式稍加整理就是

1 + \frac{sin x}{x} \to 1.

洛必达失效 $\neq =$ 极限不存在，这是判断题的常客。

另外，含

sin

、

cos

的式子求导后往往更乱，这时泰勒展开比洛必达稳；连用三次以上还下不来，基本就该换展开了。

4. 洛必达 vs 等价代换 vs 泰勒：怎么挑

到这里，

\frac{0}{0}

型已经有三件工具。挑的办法：

乘除为主，能整块代换 加减相消、要展几项 求导后明显变简单 等价无穷小 泰勒 洛必达

三者常常混用：先用等价把乘除的因子换掉，剩下相消的部分再展开。

等价代换永远是第一选择，因为它最快；但它在加减里会失效，那时泰勒接手（它本来就是等价的加强版）。

洛必达适合分子分母求导后变简单的情形——多项式、指数、对数都好；而带

sin

、

cos

的求导不变简单，反复用容易越算越乱。

还有一条实际的理由偏向展开：洛必达每用一次都要重新验型，而泰勒展开一次就把该有的项全写出来了，步骤少、验的次数也少。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用洛必达：三步，每次都验

第一步：代入定型，确认是

\frac{0}{0}

或

\frac{\infty}{\infty}

，并在卷面上写出来。

第二步：分子分母各自求导（不是商的求导法则），再求极限。

第三步：若还是未定式，回第一步重新验，再用一次。

第四步：若

\frac{f ^{'}}{g ^{'}}

的极限不存在且非

\infty

，停手换别的办法。

例求

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}}

。

第一步，代入定型：分子

1 - 1 - 0 = 0

，分母

0

，是

\frac{0}{0}

。在卷面上写出这一句。

第二步，分子分母各自求导：

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{2 x} .

第三步，再代一次：还是

\frac{0}{0}

。重新验过之后才再用一次：

x \to 0 lim \frac{e ^{x}}{2} = \frac{1}{2} .

这时已不是未定式，停手。

其余五种未定式：先化成分式

$0 \cdot \infty$ ：把一个因子倒到分母上（挑倒完更简单的那个）。

$\infty - \infty$ ：通分或乘共轭有理化。

$1^{\infty}$ 、 $0^{0}$ 、 $\infty^{0}$ ：取对数，化成

0 \cdot \infty

，再倒成分式。

化完之后回到上一条的三步。

例求

x \to 0^{+} lim x ln x

。

第一步，定型：

x \to 0

、

ln x \to - \infty

，是

0 \cdot \infty

，不能直接洛必达。

第二步，倒哪一个？倒

ln x

会得到

\frac{x}{1/ ln x}

，更难看；倒 $x$ 得到

\frac{ln x}{1/ x},

这是

\frac{- \infty}{+ \infty}

，可以洛必达了。挑「倒完更简单」的那个，就是这个意思。

第三步，上下求导：

x \to 0^{+} lim \frac{1/ x}{- 1/ x ^{2}} = x \to 0^{+} lim (- x) = 0.

挑工具：等价 → 泰勒 → 洛必达

第一步：先看乘除里的因子能不能等价代换，能就先换掉。

第二步：剩下的若是加减相消型，用泰勒展开到分母的次数。

第三步：若分子分母求导后明显变简单（多项式、指数、对数），用洛必达。

第四步：连用三次以上还下不来，换泰勒。

例求

x \to 0 lim \frac{tan x - sin x}{x ^{3}}

。

第一步，先看能不能等价代换。分子是减法，不能逐项换；先提出公因子变成乘积：

tan x - sin x = sin x (\frac{1}{cos x} - 1) = sin x \cdot \frac{1 - cos x}{cos x} .

第二步，现在全是乘除因子，可以换了：

sin x \sim x

、

1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}

、

cos x \to 1

，于是

\frac{tan x - sin x}{x ^{3}} ⟶ \frac{x \cdot \frac{x ^{2}}{2}}{x ^{3}} = \frac{1}{2} .

第三步，对照一下另一条路：直接对原式用洛必达要连用三次，每次都得重新验型，中途还要处理

sec^{2} x

的导数——先化简再动手省得多。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

写成商的求导法则

洛必达是

\frac{f ^{'}}{g ^{'}}

——上下分别求导；商的求导法则是

\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}

，那是另一件事。

写出分母带平方的那个，说明没分清在做哪件事。这是本节最严重的错。

不是未定式也用

x \to 0 lim \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}

，硬用洛必达会得

1

。

它用错了不报错，只是静静地给个错答案。 动笔第一步永远是代入定型，并把型写在卷面上。

连用时不重新验型

每用一次都要重新确认还是

\frac{0}{0}

或

\frac{\infty}{\infty}

。

第一次验了就一路求导下去，很可能中间某一步早已不是未定式，后面全错。

例例. 求

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x ^{2}}

。

第一次：代入是

\frac{0}{0}

，上下求导得

x \to 0 lim \frac{e ^{x}}{2 x}

。

错：不验型，顺手再求一次导得

x \to 0 lim \frac{e ^{x}}{2} = \frac{1}{2}

。

对：第二次动手前先验——此时分子趋于

1

、分母趋于

0

，早就不是未定式了，洛必达不能再用。正确结论是

x \to 0^{+} lim \frac{e ^{x} - 1}{x ^{2}} = + \infty, x \to 0^{-} lim \frac{e ^{x} - 1}{x ^{2}} = - \infty,

极限不存在。

少验这一次，答案从「不存在」变成了

\frac{1}{2}

。

把「洛必达失效」当成「极限不存在」

x \to \infty lim \frac{x + sin x}{x}

求导后振荡，但原极限是

1

。

条件③不满足只说明这条路走不通，换拆项、等价或泰勒即可。判断题常客。

例例. 求

x \to \infty lim \frac{x + sin x}{x}

。

洛必达：上下求导得

x \to \infty lim (1 + cos x)

，振荡、没有极限。

但这只说明这条路走不通，不说明原极限不存在——洛必达的条件③要求求导后的极限存在，它不满足，定理就不适用，仅此而已。

换条路，拆项：

\frac{x + sin x}{x} = 1 + \frac{sin x}{x},

而

\frac{sin x}{x} \leq \frac{1}{∣ x ∣} \to 0

，所以原极限是

1

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认型再动手

练 1

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} =

________。

练 2

洛必达法则的结论是

lim \frac{f}{g} =

（）。

A $lim \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$
B $lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$
C $lim \frac{f ^{'}}{g}$
D $lim f^{'} \cdot lim g^{'}$

练 3

下列极限中，可以直接用洛必达法则的是（）。

A $x \to 0 lim \frac{x + 1}{x + 2}$
B $x \to 0^{+} lim x ln x$
C $x \to \infty lim (x + 1 - x)$
D $x \to 0 lim \frac{sin x}{x}$

练 4

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} =

________。

第二组 · 化型与连用

练 5

x \to 0^{+} lim x ln x =

________。

练 6

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} =

________。

练 7

求

x \to 0 lim (1 + x)^{1/ x}

时，正确的第一步是（）。

A直接用洛必达
B上下分别求导
C取对数，化成 $\frac{ln ( 1 + x )}{x}$
D把底的极限取成 $1$

练 8

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} =

________。

第三组 · 失效与挑工具

练 9

x \to \infty lim \frac{x + sin x}{x}

用洛必达得

lim (1 + cos x)

，不存在。由此（）。

A原极限不存在
B原极限等于 $0$
C洛必达在此失效，原极限等于 $1$
D原极限等于 $2$

练 10

求

x \to 0 lim \frac{x - sin x}{x ^{3}}

，下列做法中最省事的是（）。

A把 $sin x$ 换成 $x$
B用泰勒展开 $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$
C连用三次洛必达
D两边取对数

练 11

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}} =

________。

练 12

关于洛必达法则，下列说法正确的是（）。

A只要是分式就能用
B连用时只需在第一次验型
C $lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ 不存在则原极限必不存在
D $\frac{0}{0}$ 与 $\frac{\infty}{\infty}$ 两种型都适用

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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