洛必达法则

§2.7 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.55 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

0.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）导数与微分的概念

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 洛必达法则的单向性，以及 $\frac{f ^{'}}{g ^{'}} \neq = (\frac{f}{g})^{'}$

洛必达法则是单向的：只有当

lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}} = A

，且这里的极限值为有限数或

\infty

时，才能推出

lim \frac{f}{g} = A

；反过来，原极限存在并不能推出

\frac{f ^{'}}{g ^{'}}

有极限。正是因为如此，法则失效时不能反过来断言原极限不存在。此外，法则右端是导数之比

\frac{f ^{'}}{g ^{'}}

，而不是商的导数

(\frac{f}{g})^{'}

，后者要按商的求导法则计算，与前者完全不同。

证明 / 推导

证（ $x \to a^{+}$ 的 $\frac{0}{0}$ 型）. 补充定义

f (a) = g (a) = 0

，则

f, g

在

[a, x]

上连续，在

(a, x)

内可导，且

g^{'} \neq = 0

。根据柯西中值定理，存在

ξ \in (a, x)

，使

\frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{f ( x ) - f ( a )}{g ( x ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )} .

当

x \to a^{+}

时

ξ \to a^{+}

。如果

\frac{f ^{'}}{g ^{'}} \to A

，那么上式右端

\to A

，从而

\frac{f}{g} \to A

。

■

由证明过程可见，这里是由

\frac{f ^{'}}{g ^{'}}

的极限推出

\frac{f}{g}

的极限，方向不能颠倒。

2. 七种未定式的转化：先化成标准形式才能使用洛必达法则★★ 必会

只有

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}

两种可以直接使用洛必达法则，其余五种必须先作转化：

0 \cdot \infty

型，把其中一个因子取倒数移到分母上

f \cdot g = \frac{f}{1/ g}

；

\infty - \infty

型，通分或提出公因子，合并成一个分式；

0^{0}, 1^{\infty}, \infty^{0}

型，取对数，即令

y = e^{v l n u}

，先求出

lim v ln u = A

，则原极限为

e^{A}

。

举例说明

例（ $\infty - \infty$ 型）. 求

x \to 1 lim (\frac{1}{ln x} - \frac{1}{x - 1})

。
解. 先通分，原式化为

\frac{( x - 1 ) - ln x}{( x - 1 ) ln x}

，它是

\frac{0}{0}

型。令

x = 1 + t (t \to 0)

，并利用

ln (1 + t) = t - \frac{t ^{2}}{2} + o (t^{2})

：分子

= t - ln (1 + t) = \frac{t ^{2}}{2} + o (t^{2})

，分母

= t ln (1 + t) \sim t^{2}

，故所求极限

= \frac{1}{2}

。

■

3. 使用洛必达法则的三种常见错误：算不出 $\neq =$ 原极限不存在★ 要懂

必须注意：洛必达法则只是一种尝试性的方法，

\frac{f ^{'}}{g ^{'}}

的极限算不出来并不表示原极限不存在。使用之前必须先核对所给的式子是否为

\frac{0}{0} / \frac{\infty}{\infty}

型，使用过程中还要留意会不会出现循环。

举例说明

(1) $\frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ 振荡而原极限却存在.

lim_{x \to + \infty} \frac{x + sin x}{x} = lim (1 + \frac{sin x}{x}) = 1

；但用洛必达法则得到

\frac{1 + cos x}{1}

，它振荡而无极限，若据此断言原极限不存在，就错了。
(2) 出现循环.

lim_{x \to + \infty} \frac{x ^{2} + 1}{x}

用洛必达法则以后又回到原来的形状，如此反复不能终止；正确的做法是提出公因子，化为

1 + \frac{1}{x ^{2}} \to 1

。
(3) 对非未定式套用法则.

lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}

，直接代入即可；若误用洛必达法则，则得

\frac{1}{1} = 1

，这是错误的。

4. 使用时的要领：先化简，并配合等价无穷小与泰勒公式，不要一味求导

应当先用等价无穷小代换、提出非零因子、约分等办法把式子化简，再对确实难以处理的部分使用洛必达法则；有不少题目改用泰勒展开反而一步就能算出。一般地，如果分式中含有

sin, cos, ln (1 + x), e^{x}

，并且需要求导三次以上，那么通常应当改用泰勒公式。

举例说明

例. 求

x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{1/ x} - e}{x}

。
解. 先处理分子：

(1 + x)^{1/ x} = e^{\frac{l n ( 1 + x )}{x}}

。由

\frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o (x)

，得

(1 + x)^{1/ x} = e^{1 - \frac{x}{2} + o (x)} = e \cdot e^{- \frac{x}{2} + o (x)} = e (1 - \frac{x}{2} + o (x))

。于是分子

= - \frac{e}{2} x + o (x)

，从而

x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{1/ x} - e}{x} = - \frac{e}{2} .

■

本题若直接使用洛必达法则，计算十分繁琐，先化简再用泰勒公式就简洁得多。

💡 小知识

法则以侯爵洛必达（l'Hôpital）的名字冠名，实际上却是他的老师约翰·伯努利发现的。洛必达付给伯努利薪水，买下了这些数学成果的使用权，算是 17 世纪的一种知识付费。它后来写进了洛必达 1696 年出版的教材，那是世界上第一本微分学教科书。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x}

。难度 1

这是

\frac{0}{0}

型，分子分母都可导且分母导数

\neq = 0

，用洛必达法则：

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{( e ^{x} - 1 ) ^{'}}{( x ) ^{'}} = x \to 0 lim \frac{e ^{x}}{1} = 1.

（右端是导数之比，不是商的导数。）

例 2 求

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x}

。难度 1

x \to + \infty

时为

\frac{\infty}{\infty}

型，用洛必达：

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = x \to + \infty lim \frac{1/ x}{1} = x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0.

说明

ln x

增长远慢于

x

。

例 3 求

x \to 0^{+} lim x ln x

。难度 2

这是

0 \cdot (- \infty)

型，先化为标准形——把

x

倒到分母：

x ln x = \frac{ln x}{1/ x} (\frac{\infty}{\infty} 型) .

洛必达：

x \to 0^{+} lim \frac{ln x}{1/ x} = x \to 0^{+} lim \frac{1/ x}{- 1/ x ^{2}} = x \to 0^{+} lim (- x) = 0.

例 4 求

x \to 0^{+} lim x^{x}

。难度 2

0^{0}

型，取对数：设

y = x^{x}

，

ln y = x ln x

。由上一题

lim_{x \to 0^{+}} x ln x = 0

，故

lim ln y = 0

，于是

x \to 0^{+} lim x^{x} = e^{0} = 1.

（幂指型一律「取对数

\to

求

lim v ln u = A \to

原极限

e^{A}

」。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数二 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ∣ x ∣^{\frac{1}{( 1 - x ) ( x - 2 )}}

的第一类间断点的个数是（　　）

A $3$
B $2$
C $1$
D $0$

2020 年 · 数二 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

已知函数

f (x)

连续且

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = 1

，

g (x) = \int_{0}^{1} f (x t) d t

，求

g^{'} (x)

并证明

g^{'} (x)

在

x = 0

处连续。

2017 年 · 数二 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

求

x \to 0^{+} lim \frac{\int _{0}^{x} x - t e ^{t} d t}{x ^{3}}

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} =

（　）

A $1$
B $\frac{1}{2}$
C $0$
D $2$

练习 2 · 选择题

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} =

（　）

A $1$
B $0$
C $+ \infty$
D $e$

练习 3 · 填空题

x \to 0 lim \frac{tan x - x}{x ^{3}} =

____。

练习 4 · 填空题

x \to 0^{+} lim x^{s i n x} =

____。

练习 5 · 填空题

x \to 0 lim (1 + 2 x)^{\frac{1}{x}} =

____。

练习 6 · 选择题

下列极限中，不能直接用洛必达法则求出的是（　）

A $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}}$
B $x \to + \infty lim \frac{x + cos x}{x - cos x}$
C $x \to 1 lim \frac{ln x}{x - 1}$
D $x \to 0^{+} lim \frac{ln x}{cot x}$

练习 7 · 填空题

x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{\frac{1}{x}} - e}{x} =

____。

练习 8 · 解答题

设常数

a, b

使

x \to 0 lim (\frac{sin 3 x}{x ^{3}} + \frac{a}{x ^{2}} + b) = 0.

(1)

求

a, b

的值；

(2)

在所求的

a, b

下，求

x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}} (\frac{sin 3 x}{x ^{3}} + \frac{a}{x ^{2}} + b)

。

2011 年 · 数二 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

已知函数

F (x) = \frac{\int _{0}^{x} ln ( 1 + t ^{2} ) d t}{x ^{α}}

。设

x \to + \infty lim F (x) = x \to 0^{+} lim F (x) = 0

，试求

α

的取值范围。

2006 年 · 数二 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

试确定常数

A, B, C

的值，使得

e^{x} (1 + B x + C x^{2}) = 1 + A x + o (x^{3})

，其中

o (x^{3})

是当

x \to 0

时比

x^{3}

高阶的无穷小量。

2003 年 · 数二 · 第 13 题 · 解答题 · 10 分

设函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{ln ( 1 + a x ^{3} )}{x - arcsin x}, 6, \frac{e ^{a x} + x ^{2} - a x - 1}{x sin \frac{x}{4}}, x < 0, x = 0, x > 0,

问

a

为何值时，

f (x)

在

x = 0

处连续；

a

为何值时，

x = 0

是

f (x)

的可去间断点？

洛必达法则

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 洛必达法则的单向性，以及 g′f′​=(gf​)′

2. 七种未定式的转化：先化成标准形式才能使用洛必达法则★★ 必会

3. 使用洛必达法则的三种常见错误：算不出 = 原极限不存在★ 要懂

4. 使用时的要领：先化简，并配合等价无穷小与泰勒公式，不要一味求导

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 洛必达法则的单向性，以及 $\frac{f ^{'}}{g ^{'}} \neq = (\frac{f}{g})^{'}$

3. 使用洛必达法则的三种常见错误：算不出 $\neq =$ 原极限不存在★ 要懂