要点精讲
把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。
1. 费马引理是各个微分中值定理的基础：在内部极值点处 f′(x0)=0
罗尔定理的证明依赖于
内部极值点处导数为零这一事实，这就是
费马引理，它是整个微分中值定理系列的真正基础。
极值点必须是内部点：在端点处只能考虑单侧导数，两侧的不等式无法同时成立。例如
f(x)=x 在
[0,1] 上的最大值在端点处取到，而
f′≡1=0。
函数还必须可导：例如
∣x∣ 在极小值点
0 处不可导，费马引理就不能应用。
证明 / 推导
证. 设 x0 是内部极大值点，且 f′(x0) 存在。于是在该点的某个邻域内 f(x)≤f(x0)，即 f(x)−f(x0)≤0。
- 右导数：x→x0+ 时 x−x0>0，差商 ≤0，因此 f+′(x0)≤0；
- 左导数：x→x0− 时 x−x0<0，差商 ≥0，因此 f−′(x0)≥0。
由于函数在该点可导，左右导数必相等，于是 0≤f′(x0)≤0，即 f′(x0)=0。■2. 构造辅助函数的一般方法：把结论化成 g′(ξ)=0 的形式★★ 必会
如果要证明存在 ξ，使含有 f,f′ 的等式成立，那么通常的做法是把结论改写成 g′(ξ)=0 的形式，再对 g 应用罗尔定理。困难在于由 f′ 所满足的关系倒推出 g，这实质上是求原函数。最常用的办法是乘积分因子 e∫p：如果结论形如 f′(ξ)+p(ξ)f(ξ)=0，那么取 g(x)=e∫pdxf(x)。常用的对应关系有：f′−f→e−xf；f′+f→exf；xf′+2f→x2f。
举例说明
例. 设 f 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=f(1)=0。证明：存在 ξ∈(0,1)，使 f′(ξ)=f(ξ)。
分析. 结论即 f′(ξ)−f(ξ)=0，与上述形式对照可知 p=−1，积分因子为 e−x，故构造 g(x)=e−xf(x)。
证. g(0)=f(0)=0, g(1)=e−1f(1)=0，g 在闭区间上连续、在开区间内可导，满足罗尔定理的条件。因此存在 ξ∈(0,1)，使
g′(ξ)=e−ξ(f′(ξ)−f(ξ))=0 ⟹ f′(ξ)=f(ξ).
■3. 用拉格朗日中值定理证明不等式：把函数值之差化为导数 × 区间长度★★ 必会
拉格朗日中值定理的增量形式 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a) 是证明不等式的主要依据。它把两端点处函数值之差化为 f′(ξ) 与区间长度之积，然后对 ξ∈(a,b) 上的 f′ 作范围估计。凡是含有函数值之差的不等式，或者自变量相邻的不等式，都可以用这种方法处理。
举例说明
例. 证明：对任意实数 a,b，都有 ∣sina−sinb∣≤∣a−b∣。
证. 不妨设 a=b。对 f(x)=sinx 在以 a,b 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得知存在 ξ 介于 a,b 之间，使
sina−sinb=cosξ(a−b).
两边取绝对值，由于 ∣cosξ∣≤1，得
∣sina−sinb∣=∣cosξ∣∣a−b∣≤∣a−b∣.
a=b 时等号显然成立。■4. 柯西中值定理的证明，以及为什么不能对分子分母各用一次拉格朗日中值定理再相除★ 要懂
柯西中值定理 g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ) 的要点在于分子与分母中是同一个 ξ。常见的错误是对 f,g 分别应用拉格朗日中值定理，得 f(b)−f(a)=f′(ξ1)(b−a)、g(b)−g(a)=g′(ξ2)(b−a)，再把两式相除。但一般说来 ξ1=ξ2，这样得到的结论并不成立。正确的做法是构造一个辅助函数，用一次罗尔定理得出同一个 ξ。
证明 / 推导
证. 由于 g′=0，由拉格朗日中值定理得 g(b)−g(a)=g′(η)(b−a)=0，可见所论比值有意义。作辅助函数
φ(x)=f(x)−f(a)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)[g(x)−g(a)].
则 φ(a)=0，φ(b)=0。φ 满足罗尔定理的条件，故存在 ξ∈(a,b) 使 φ′(ξ)=0，即
f′(ξ)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)g′(ξ)=0.
由于 g′(ξ)=0，移项即得所要的结论。分子与分母中是同一个 ξ，这一点由这一次罗尔定理所保证。■5. 反复应用罗尔定理：由函数零点的个数推出导数零点的个数★★ 必会
罗尔定理可以逐阶反复使用。如果 f 在 [a,b] 上有两个零点，那么 f′ 在这两个零点之间至少有一个零点；一般地，如果 f 有 m 个互不相同的零点，那么 f′ 至少有 m−1 个零点。这样逐阶推进，便得：f 有 n+1 个互不相同的零点 ⇒f(n) 在 (a,b) 内至少有一个零点。凡是要证明某个高阶导数有零点，或者要证明某方程恰有若干个实根，都常用这种方法。
证明 / 推导
证. 先证由 f 的零点得出 f′ 的零点这一步。设 f 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且有 m 个互不相同的零点
a≤x1<x2<⋯<xm≤b.
任取相邻的两个零点，考察区间 [xk,xk+1]。f 在其上连续，在其内部可导，且 f(xk)=f(xk+1)=0。由罗尔定理，存在 ξk∈(xk,xk+1)，使 f′(ξk)=0。这样的区间共有 m−1 个，除端点外互不相交，因此所得的 ξ1<ξ2<⋯<ξm−1 互不相同。可见 f′ 在 (x1,xm) 内至少有 m−1 个零点。
再逐阶推进。设 f 在 [a,b] 上有 n+1 个互不相同的零点，且在 (a,b) 内 n 阶可导。把上一段的结论用于 f，得 f′ 至少有 n 个零点；用于 f′，得 f′′ 至少有 n−1 个零点。一般地，第 k 步给出：f(k) 在 (a,b) 内至少有 n+1−k 个零点。每一步所用的零点都落在 (a,b) 内。当 k<n 时 f(k) 在 (a,b) 内可导，因而连续。可见罗尔定理的条件得到满足。取 k=n，便得 f(n) 在 (a,b) 内至少有一个零点。这就证明了所述的结论。
还有两点必须注意。① 每用一次罗尔定理，都要求相应阶的导数在所论区间上存在。条件不足时不能继续推进。② 定理给出的只是零点个数的下界，实际的零点可能更多。■举例说明
例. 设 f(x) 在 [0,3] 上三阶可导，且 f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0。证明：存在 ξ∈(0,3) 使 f′′′(ξ)=0。
证. 函数 f 有 4 个零点 0,1,2,3。由罗尔定理，f′ 在 (0,1),(1,2),(2,3) 内各至少有一个零点，共 ≥3 个；再对 f′ 应用罗尔定理，f′′ 至少有 2 个零点；同样再用一次，f′′′ 至少有 1 个零点 ξ∈(0,3)，即 f′′′(ξ)=0。■真题精选
近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。
2025 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分
设函数 f(x) 在区间 (a,b) 内可导，证明：导函数 f′(x) 在 (a,b) 内严格单调增加的充分必要条件是：对 (a,b) 内任意的 x1,x2,x3，当 x1<x2<x3 时，
x2−x1f(x2)−f(x1)<x3−x2f(x3)−f(x2).
2024 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分
设函数
f(x) 具有
2 阶导数，且
f′(0)=f′(1)，
∣f′′(x)∣≤1。证明：
（Ⅰ）当
x∈(0,1) 时，
∣f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x∣≤2x(1−x)；
（Ⅱ）
∫01f(x)dx−2f(0)+f(1)≤121。
2020 年 · 数二 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分
设函数 f(x)=∫1xet2dt。
（Ⅰ）证明：存在 ξ∈(1,2)，使得 f(ξ)=(2−ξ)eξ2；
（Ⅱ）证明：存在 η∈(1,2)，使得 f(2)=ln2⋅ηeη2。
2019 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分
已知函数 f(x) 在 [0,1] 上具有二阶导数，且 f(0)=0，f(1)=1，∫01f(x)dx=1，证明：
（Ⅰ）存在 ξ∈(0,1)，使得 f′(ξ)=0；
（Ⅱ）存在 η∈(0,1)，使得 f′′(η)<−2。
随堂练习
先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。
练习 1 · 选择题
f(x)=x2−4x+3 在 [1,3] 上满足罗尔定理，其中 ξ=（ ）
练习 2 · 选择题
下列函数在 [−1,1] 上满足罗尔定理全部条件的是（ ）
- Af(x)=∣x∣
- Bf(x)=x2
- Cf(x)=x1
- Df(x)=x
练习 3 · 填空题
对 f(x)=x3 在 [0,1] 上应用拉格朗日中值定理，ξ= ____。
练习 4 · 填空题
设 f(x) 在 R 上可导且 f′(x)≡0，又 f(0)=2，则 f(2025)= ____。
练习 5 · 填空题
函数 f(x)=lnx 在 [1,2] 上应用拉格朗日中值定理所得的 ξ= ____。
练习 6 · 选择题
设 f(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(1)=0。则下列结论中必定成立的是（ ）
- A存在 ξ∈(0,1)，使 f′(ξ)=0
- B存在 ξ∈(0,1)，使 ξf′(ξ)+f(ξ)=0
- C存在 ξ∈(0,1)，使 f′(ξ)=f(ξ)
- D存在 ξ∈(0,1)，使 ξf′(ξ)−f(ξ)=0
练习 7 · 填空题
对 f(x)=x2 与 g(x)=x3 在区间 [1,2] 上应用柯西中值定理，所得的 ξ= ____。
练习 8 · 解答题
设 f(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=0，f(1)=1。证明：
(1) 存在 ξ∈(0,1)，使 f′(ξ)=2ξ；
(2) 对任意给定的实数 λ，存在 η∈(0,1)，使
f′(η)−2η=λ[f(η)−η2].
2018 年 · 数二 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分
x→+∞limx2[arctan(x+1)−arctanx]= ___。
2018 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分
设数列 {xn} 满足：x1>0，xnexn+1=exn−1 (n=1,2,⋯)。证明 {xn} 收敛，并求 n→∞limxn。