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微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）

高等数学 · 一元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 罗尔定理：两端一样高，中间必有水平切线

定理（罗尔）. 设

f

满足

① 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；

② 在开区间 $(a, b)$ 内可导；

③ $f (a) = f (b)$ ，

则存在

ξ \in (a, b)

，使

f^{'} (ξ) = 0

。

几何上：曲线两端一样高，中间一定有一处切线是水平的。想一想一条连续的曲线从某高度出发、又回到同一高度，必定先升后降（或先降后升），那个转折处的切线就是水平的。

三个条件的区间不一样，这是最容易写错的地方：连续要闭区间，可导只要开区间。可导只要开区间是有道理的——端点处只能单侧求导，要求它可导就太苛刻了，而结论里的

ξ

本来就在内部。

三个条件缺一不可，各有反例：

f (x) = ∣ x ∣

在

[- 1, 1]

上缺②，导数处处不为零；

f (x) = x

在

[0, 1]

上缺③，同样找不到水平切线。

两条定理的几何意思画出来就是一句话——罗尔是「两端等高，中间必有一条水平切线」，拉格朗日是「必有一点的切线平行于弦 $A B$ 」：

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

这一条的「证明 / 推导」里，已经证过罗尔定理。它的骨架是：用最值定理拿到内部的极值点，再从两侧各夹一个不等号，逼出 $f^{'} (ξ) = 0$ 。

下面的拉格朗日中值定理，表面上比罗尔多了「两端不一样高」这件事。办法是构造一个辅助函数，把两端拉回同一高度，再对它用罗尔定理。这一手（造辅助函数）是整章最值钱的东西，后面证柯西、证不等式都要用。请你用罗尔定理证明拉格朗日中值定理：设

f

在

[a, b]

上连续、在

(a, b)

内可导，则存在

ξ \in (a, b)

，使

f^{'} (ξ) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .

2. 拉格朗日中值定理：弦的斜率总能被某处的切线追上

定理（拉格朗日）. 设

f

在

[a, b]

上连续、在

(a, b)

内可导，则存在

ξ \in (a, b)

使

f^{'} (ξ) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a},

也常写成

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a) .

几何意义一句话：连接两端的弦，总有一处切线与它平行。罗尔定理是它在

f (a) = f (b)

（弦水平）时的特例。

第二种写法才是它在考场上的主要用途：把函数值之差换成导数。凡是题目里出现

f (b) - f (a)

、而条件给的是

f^{'}

的信息（例如

∣ f^{'} ∣ \leq M

），就该想到它。

两个最常用的推论：

① 导数恒为零的函数是常数. 这是后面不定积分「相差一个常数」的根据。

② 导数处处相等的两个函数只差一个常数。

3. 柯西中值定理：两个函数一起用

定理（柯西）. 设

f

、

g

在

[a, b]

上连续、在

(a, b)

内可导，且

g^{'} (x) \neq = 0

，则存在

ξ \in (a, b)

使

\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )} .

取

g (x) = x

就回到拉格朗日，所以三条定理是一个套一个的：

罗尔 \subset 拉格朗日 \subset 柯西 .

注意等号右端是两个导数在同一点 $ξ$ 的比，不是两个中值定理各用一次。若对

f

、

g

分别用拉格朗日，得到的是

\frac{f ^{'} ( ξ _{1} )}{g ^{'} ( ξ _{2} )}

，两个

ξ

一般不相等——那样推出来的结论是错的。

柯西中值定理在基础阶段的主要身份是洛必达法则的证明依据，直接考它的题不多，但这个「同一个

ξ

」的要点常出判断题。

4. 三条定理在考场上干什么

题里出现 f (a) = f (b) f (b) - f (a) 与 f^{'} 两个差之比 证 f^{'} (ξ) = 0 想到 罗尔 拉格朗日 柯西 造辅助函数

最后一行是重头戏。要证某点的导数满足某个等式，一律是「造一个辅助函数，对它用罗尔」。怎么造？把要证的式子里的

ξ

换成

x

，想办法凑成某个函数的导数。

两个最常用的凑法：

① 要证 $f^{'} (ξ) + f (ξ) = 0$ ，令 $F (x) = e^{x} f (x)$ ，因为

F^{'} = e^{x} (f^{'} + f)

。

② 要证 $f^{'} (ξ) ξ + f (ξ) = 0$ ，令 $F (x) = x f (x)$ ，因为

F^{'} = x f^{'} + f

。

基础阶段先把这两个认熟，再体会「凑导数」这件事本身。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

验证型：三条逐一核对，再解方程求 $ξ$

第一步：验连续——在闭区间上。

第二步：验可导——在开区间内。

第三步：验第三个条件（罗尔是

f (a) = f (b)

）。

第四步：由结论式解出

ξ

，并确认它落在开区间内。

三条都要写出来，「显然满足」拿不到分。

例验证

f (x) = x^{2}

在

[0, 2]

上满足拉格朗日中值定理，并求出

ξ

。

第一步，验连续：

x^{2}

是多项式，在闭区间

[0, 2]

上连续。

第二步，验可导：在开区间

(0, 2)

内可导，

f^{'} (x) = 2 x

。

第三步，拉格朗日没有第三个条件（那是罗尔要的

f (a) = f (b)

），直接写结论式：

f^{'} (ξ) = \frac{f ( 2 ) - f ( 0 )}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2} = 2.

第四步，解

2 ξ = 2

得

ξ = 1

，确认

1

确实落在

(0, 2)

内。

前两步看着「显然」也要写出来，那是分。

证明型：造辅助函数，对它用罗尔

第一步：把要证的式子里的

ξ

换成

x

，整理成「

\dots = 0

」。

第二步：看它像谁的导数——

f^{'} + f

想到

e^{x} f

；

x f^{'} + f

想到

x f

；

x f^{'} - f

想到

\frac{f}{x}

。

第三步：写出

F (x)

，逐条验罗尔的三个条件（尤其

F (a) = F (b)

）。

第四步：由

F^{'} (ξ) = 0

反推回要证的等式，把非零因子除掉。

例设

f

在

[0, 1]

上连续、在

(0, 1)

内可导，且

f (0) = f (1) = 0

。证明存在

ξ \in (0, 1)

使

f^{'} (ξ) + f (ξ) = 0

。

第一步，把

ξ

换成

x

：要证的是

f^{'} (x) + f (x) = 0

。

第二步，它像谁的导数？试着对

e^{x} f (x)

求导：

(e^{x} f (x))^{'} = e^{x} f^{'} (x) + e^{x} f (x) = e^{x} (f^{'} (x) + f (x)),

正好是要证的式子乘上一个恒不为零的

e^{x}

。所以取

F (x) = e^{x} f (x)

。

第三步，逐条验罗尔：①

F

是两个连续函数之积，在

[0, 1]

上连续；② 在

(0, 1)

内可导；③

F (0) = e^{0} f (0) = 0

，

F (1) = e f (1) = 0

，两端相等。

第四步，由罗尔存在

ξ \in (0, 1)

使

F^{'} (ξ) = 0

，即

e^{ξ} (f^{'} (ξ) + f (ξ)) = 0.

e^{ξ} \neq = 0

，两边除掉它就得到

f^{'} (ξ) + f (ξ) = 0

。

不等式型：把差换成 $f^{'} (ξ)$ ，再用 $ξ$ 的范围夹

第一步：认出式子里有

f (b) - f (a)

的形状（

ln (1 + x) - ln 1

这类）。

第二步：用拉格朗日写成

f^{'} (ξ) (b - a)

。

第三步：由

a < ξ < b

估计

f^{'} (ξ)

的上下界。

第四步：代回去得到不等式。注意严格不等号能不能取到。

例设

0 < a < b

，证明

\frac{b - a}{b} < ln \frac{b}{a} < \frac{b - a}{a}

。

第一步，认形状：

ln \frac{b}{a} = ln b - ln a

，正是

f (b) - f (a)

，取

f (x) = ln x

。

第二步，

f

在

[a, b]

上连续、

(a, b)

内可导，

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

。由拉格朗日，存在

ξ \in (a, b)

使

ln b - ln a = \frac{1}{ξ} (b - a) = \frac{b - a}{ξ} .

第三步，由

a < ξ < b

估计。

ξ

在分母上，所以大小关系要反过来：

\frac{1}{b} < \frac{1}{ξ} < \frac{1}{a}

。两边同乘正数

b - a

：

\frac{b - a}{b} < \frac{b - a}{ξ} < \frac{b - a}{a} .

第四步，把中间那项换回

ln \frac{b}{a}

即得。两端都是严格不等号，因为

ξ

严格落在

a

与

b

之间。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把两个区间写成一样

连续要闭区间

[a, b]

，可导只要开区间

(a, b)

。

写反了不只是笔误：要求端点可导会排除掉

1 - x^{2}

这类本该适用的函数。每次写条件时提醒自己「连续闭、可导开」。

例例.

f (x) = 1 - x^{2}

在

[- 1, 1]

上能不能用拉格朗日？

能。它在闭区间

[- 1, 1]

上连续，在开区间

(- 1, 1)

内可导。

若把可导也要求到闭区间，就会卡住：

f^{'} (x) = \frac{- x}{1 - x ^{2}},

在

x = \pm 1

处分母为零、导数是无穷——一个本该适用的函数被自己的条件排除掉了。

照常写结论式：

f^{'} (ξ) = \frac{f ( 1 ) - f ( - 1 )}{1 - ( - 1 )} = 0

，解得

ξ = 0

。

造了辅助函数却不验三条

F (a) = F (b)

正是造那个辅助函数的目的，不验等于没说明白。

完整的写法是：写出

F

，验连续、验可导、验两端相等，再引罗尔。缺一条都要扣分。

柯西定理里用两个不同的 $ξ$

\frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )}

里上下是同一个 $ξ$ 。对

f

、

g

各用一次拉格朗日得到的是

\frac{f ^{'} ( ξ _{1} )}{g ^{'} ( ξ _{2} )}

，推不出柯西。

这正是柯西定理需要自己证明的原因。判断题里年年考。

例例. 取

f (x) = x^{2}

、

g (x) = x^{3}

在

[1, 2]

上，看看两种做法差在哪。

各用一次拉格朗日（错的那条路）：

f (2) - f (1) = 3 = 2 ξ_{1} \Rightarrow ξ_{1} = 1.5, g (2) - g (1) = 7 = 3 ξ_{2}^{2} \Rightarrow ξ_{2} = 7/3 \approx 1.53.

两个点本来就不相等，

\frac{f ^{'} ( ξ _{1} )}{g ^{'} ( ξ _{2} )}

这个式子在定理里根本不存在。

柯西要的是同一个 $ξ$ ：

\frac{f ( 2 ) - f ( 1 )}{g ( 2 ) - g ( 1 )} = \frac{3}{7} = \frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )} = \frac{2}{3 ξ} \Rightarrow ξ = \frac{14}{9} \approx 1.56.

这个

ξ

和上面两个都不是同一个点——这正是柯西定理必须单独证明、而不能由两次拉格朗日拼出来的原因。

停在 $F^{'} (ξ) = 0$ 不回到原式

罗尔给出的是辅助函数的导数为零，要把它写开、除掉非零因子，才回到要证的等式。

F = e^{x} f

时要说明

e^{ξ} \neq = 0

才能除——这一句也是分。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 条件与结论

练 1

罗尔定理的三个条件是（）。

A $[a, b]$ 上连续、 $(a, b)$ 内可导、 $f (a) = f (b)$
B $[a, b]$ 上连续、 $[a, b]$ 上可导、 $f (a) = f (b)$
C $(a, b)$ 内连续、 $(a, b)$ 内可导、 $f (a) = f (b)$
D $[a, b]$ 上连续、 $(a, b)$ 内可导、 $f (a) f (b) < 0$

练 2

设

f (x) = x^{2} - 2 x

，在

[0, 2]

上由罗尔定理得到的

ξ =

________。

练 3

拉格朗日中值定理的结论是（）。

A $f^{'} (ξ) = 0$
B $f (ξ) = \frac{f ( a ) + f ( b )}{2}$
C $f^{'} (ξ) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
D $f (b) - f (a) = f^{'} (b) (b - a)$

练 4

f (x) = ∣ x ∣

在

[- 1, 1]

上不满足罗尔定理，原因是（）。

A $f (- 1) \neq = f (1)$
B $f$ 在 $[- 1, 1]$ 上不连续
C $f$ 在 $x = 0$ 处不可导
D $f$ 在 $[- 1, 1]$ 上无界

第二组 · 用中值定理

练 5

设

f (x) = x^{2}

，在

[0, 2]

上由拉格朗日中值定理得到的

ξ =

________。

练 6

要证明「

f

在

[a, b]

上

f^{'} \equiv 0

则

f

为常数」，应该用（）。

A罗尔定理
B零点定理
C介值定理
D拉格朗日中值定理

练 7

关于柯西中值定理

\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )}

，下列说法正确的是（）。

A可以由 $f$ 、 $g$ 各用一次拉格朗日相除得到
B上下两个 $ξ$ 可以不同
C取 $g (x) = x$ 即得拉格朗日中值定理
D不需要 $g^{'} (x) \neq = 0$ 的条件

练 8

要证明存在

ξ

使

f^{'} (ξ) + f (ξ) = 0

，应构造辅助函数

F (x) =

________。

第三组 · 造辅助函数

练 9

要证明存在

ξ

使

ξ f^{'} (ξ) + f (ξ) = 0

，应构造（）。

A $F (x) = e^{x} f (x)$
B $F (x) = \frac{f ( x )}{x}$
C $F (x) = x f (x)$
D $F (x) = f (x) + x$

练 10

要证明存在

ξ

使

ξ f^{'} (ξ) - f (ξ) = 0

，应构造（）。

A $F (x) = \frac{f ( x )}{x}$
B $F (x) = x f (x)$
C $F (x) = e^{- x} f (x)$
D $F (x) = f (x) - x$

练 11

由拉格朗日中值定理，当

x > 0

时

ln (1 + x) = \frac{x}{1 + ξ}

，其中

ξ \in (0, x)

。由此可得

ln (1 + x)

的下界是 ________。

练 12

设

f

在

[0, 1]

上连续、

(0, 1)

内可导，

f (0) = f (1) = 0

。用

F (x) = e^{x} f (x)

证明时，下列哪一步不能省（）。

A验证 $F (0) = F (1) = 0$
B求出 $ξ$ 的具体值
C验证 $f$ 单调
D验证 $f$ 在 $[0, 1]$ 上有界

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）

先打基础

1. 罗尔定理：两端一样高，中间必有水平切线

请你先证

2. 拉格朗日中值定理：弦的斜率总能被某处的切线追上

3. 柯西中值定理：两个函数一起用

4. 三条定理在考场上干什么

常用结构

验证型：三条逐一核对，再解方程求 ξ

证明型：造辅助函数，对它用罗尔

不等式型：把差换成 f′(ξ)，再用 ξ 的范围夹

基础易错

把两个区间写成一样

造了辅助函数却不验三条

柯西定理里用两个不同的 ξ

停在 F′(ξ)=0 不回到原式

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

验证型：三条逐一核对，再解方程求 $ξ$

不等式型：把差换成 $f^{'} (ξ)$ ，再用 $ξ$ 的范围夹

柯西定理里用两个不同的 $ξ$

停在 $F^{'} (ξ) = 0$ 不回到原式