微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）

本节所有的方法都建立在三条定理的原文之上，条件与结论都必须一字不差。设 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，这是三条定理共同的条件。

① 罗尔定理：如果还有 $f(a)=f(b)$，那么存在 $\xi \in (a,b)$，使$$f^{\prime }(\xi )=0.$$几何意义：两端等高的光滑曲线，其内部必有一条水平切线。

② 拉格朗日中值定理（不再要求 $f(a)=f(b)$）：存在 $\xi \in (a,b)$，使$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a),\text{即}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi ).$$几何意义：曲线上必有一点，它的切线平行于弦 $AB$。常用的增量形式是 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0+\theta \Delta x)\Delta x(0<\theta <1)$。这条定理是用导数的信息控制函数增量的总桥梁，单调性的判别法（§2.8）与导数极限定理（§2.1）都由它推出。

③ 柯西中值定理：如果 $g$ 也满足上述条件，且在 $(a,b)$ 内 $g^{\prime }(x)\ne 0$，那么存在 $\xi \in (a,b)$，使$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}.$$几何意义：把 $(g(t),f(t))$ 看作参数曲线，它就是这条曲线上的拉格朗日中值定理；洛必达法则的证明就以它为依据。

④ 三者的关系：从结论上看，一条比一条更一般。在柯西定理中取 $g(x)=x$ 即得拉格朗日定理，再加上条件 $f(a)=f(b)$ 即得罗尔定理；而从证明上看，方向恰好相反，是先证罗尔定理，再借助辅助函数逐级推出后两条。条件缺一不可，但它们只是充分条件：$f(x)=|x|$ 在 $[-1,1]$ 上连续且两端等高，仅在内部一点不可导，而 $f^{\prime }$ 恒等于 $\pm 1$，水平切线并不存在；又如在 $[0,1]$ 上取 $f(x)=x(0\le x<1),f(1)=0$，只在端点一处不连续，$f^{\prime }\equiv 1$，结论同样不成立。最后还应注意：$\xi$ 只保证存在，未必唯一，位置一般也求不出来，中值定理都是存在性定理。

罗尔定理的证明中用到了内部极值点处导数为零这一事实，这就是费马引理，它才是全部微分中值定理的真正基础。直观的说明：在极大值点处，左侧函数上升，差商 $\ge 0$；右侧函数下降，差商 $\le 0$。可导要求左、右导数相等，因此只能都等于 $0$。为什么必须是内部的点：端点处只有单侧的差商，无法从两侧夹住。例如 $f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上的最大值在端点 $x=1$ 处取得，但 $f^{\prime }\equiv 1\ne 0$。为什么必须可导：$|x|$ 在极小值点 $0$ 处不可导。这两个条件缺少任何一个，结论都不再成立。

柯西定理 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$ 的要点在于分子与分母中是同一个 $\xi$。常见的错误：对 $f,g$ 分别应用拉格朗日定理，得 $f(b)-f(a)=f^{\prime }({\xi }_1)(b-a)$ 与 $g(b)-g(a)=g^{\prime }({\xi }_2)(b-a)$，再把两式相除。但 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 一般并不相等，约去两个 $b-a$ 之后所得的是 $\frac{f^{\prime }({\xi }_1)}{g^{\prime }({\xi }_2)}$，并非所要的结论。正确的做法是构造一个辅助函数，只用一次罗尔定理，这样才能得到同一个 $\xi$。

凡要证存在 $\xi$ 使某个含 $f,f^{\prime }$ 的等式成立，一般的做法是把结论改写成某个 $g^{\prime }(\xi )=0$ 的形式，再对 $g$ 应用罗尔定理。困难在于由 $f^{\prime }$ 的关系式倒推出 $g$，这实质上是求原函数。最有用的一个办法是乘上积分因子 $e^{\int p}$：如果结论形如 $f^{\prime }(\xi )+p(\xi )f(\xi )=0$，那么取 $g(x)=e^{\int pdx}f(x)$；由于 $g^{\prime }=e^{\int p}(f^{\prime }+pf)$，故 $g^{\prime }(\xi )=0\iff f^{\prime }(\xi )+p(\xi )f(\xi )=0$。常用的对应关系有：$f^{\prime }-f\to e^{-x}f$；$f^{\prime }+f\to e^{x}f$；$x{f}^{\prime }+2f\to x^{2}f$；$f^{\prime }-\frac{n}{x}f\to x^{-n}f$。

有些题目要证存在两个不同的点 $\xi \ne \eta$ 满足某个关系。做法是：先在整个区间上取一个分点 $c$（通常由介值定理或取平均值确定），把 $[a,b]$ 分成 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 两段，在每一段上各用一次拉格朗日定理，得到 $\xi \in (a,c),\eta \in (c,b)$；它们分别位于不同的子区间，因而自然互异。这里的要点是选好分点 $c$，通常使 $f(c)$ 取某个特定的中间值，从而把待证的关系拆成两段导数信息之和。

连续函数具有介值性；导函数却未必连续（例如 $x^2\sin \frac{1}{x}$ 的导数），但它仍然必有介值性，这就是达布定理：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导，则 $f^{\prime }$ 取遍 $f^{\prime }(a)$ 与 $f^{\prime }(b)$ 之间的一切值。由此得到一个重要推论：导函数不可能有第一类（跳跃）间断点。如果有，左、右极限存在而不相等，中间的值就被跳过，这与介值性矛盾。也正因如此，分段函数在分界点处，若两段的导数极限都存在但不相等，则该点不可导；否则 $f^{\prime }$ 将有跳跃间断点，与达布定理矛盾。